【培优版】浙教版（2024）七上2.1有理数的加法 同步练习
一、选择题
1．（2024七上·重庆市期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的加法；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】原式
故选：A
【分析】本题考查了绝对值和有理数的运算．先计算，再+1即可．
2．（2023七上·章贡期中）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D．
【答案】D
【知识点】有理数的加法；化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴上a，b两点的位置可知-2＜a＜-1，0A、aB、|a|>|b|，B不符合题意；
C、a+b<0，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】先根据数轴得到-2＜a＜-1，03．（2019七上·和平期中）如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．b为正数，c为负数 B．c为正数，b为负数
C．c为正数，a为负数 D．c为负数，a为负数
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法
【解析】【解答】解：由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，
如果假设两负一正情况合理，
要使a+b+c=0成立，
则必是b＜0、c＜0、a＞0，
否则a+b+c≠0，
但题中并无此答案，则假设不成立，D被否定，
于是应在两正一负的答案中寻找符合题意答案，
若a，b为正数，c为负数时，
则：|a|+|b|＞|c|，
∴a+b+c≠0，
∴A被否定，
若a，c为正数，b为负数时，
则：|a|+|c|＞|b|，
∴a+b+c≠0，
∴B被否定，
只有C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据不等式|a|＞|b|＞|c|及等式a+b+c=0，利用特殊值法，验证即得到正确答案．
4．（2023七上·杭州月考）如图，数轴上、、三点所表示的数分别为、、，且如果有、、，那么该数轴原点的位置应该在（ ）
A．点的左边 B．点与之间 C．点与之间 D．点的右边
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、若果该数轴原点在点A的左边，则0＜a＜b＜c，∴a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0，这与题意不相符，故此选项错误；
B、若果该数轴原点在点A与点B之间，则a＜0＜b＜c，∴b+c＞0，a+c＞0，这与题意不相符，故此选项错误；
C、若果该数轴原点在点B与点C之间，且靠近点B，则a＜b＜0＜c，∴a+b＜0，b+c＞0，a+c＜0，这与题意相符，故此选项正确；
D、若果该数轴原点在点C的右边，则a＜b＜c＜0，∴a+b＜0，b+c＜0，a+c＜0，这与题意不相符，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】就每一个选项所给的数轴原点的位置，结合数轴上的点所表示的数的特点，分别判断出a、b、c的正负，进而再根据有理数的加法法则判断出a+b、b+c、a+c的正负，然后与题干给出的条件比对，即可判断得出答案.
5．（2023七上·岳池期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．7 B．3或7 C． D．或
【答案】D
【知识点】有理数的加法；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴或；
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的法则，结合，得到，求出的值，再代入代数式计算．
6．（2023七上·大化期中）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有6排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加2个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有8排，则该礼堂的座位总数是（ ）
A．390个 B．402个 C．540个 D．780个
【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用
7．（2023七上·石家庄月考）若两个有理数的和为负数，则这两个有理数（ ）
A．一定都是负数
B．一定是一正一负，且负数的绝对值大
C．一定是一个为零，另一个为负数
D．至少有一个是负数，且仅有一个负数时该负数绝对值最大
【答案】D
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】解： 已知两个有理数的和为负数，则这两个有理数只能是：①均为负数；②一个负数，一个为0；③一正一负，且负数的绝对值大。
综上所述，这两个有理数至少有一个为负数.
故答案为：D.
【分析】已知两个有理数的和为负数，这两个数要么均为负数；要么一个负数，一个为0；要么一个正数，一个负数且负数的绝对值大，总共三种情况，综上所述，这两个有理数至少有一个为负数。
8．（2023七上·金沙月考）已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（ ）
A．0 B．-3 C．-1 D．3
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法
【解析】【解答】①当a<0，b<0，c<0时，；
②当a>0，b>0，c>0时，；
③当a>0，b>0，c<0或a>0，b<0，c>0或a<0，b>0，c>0时，；
④当a>0，b<0，c<0或a<0，b<0，c>0或a<0，b>0，c<0时，；
综上，的值可能为±3和±1，
故答案为：A.
【分析】分类讨论，再利用绝对值的性质化简并求解即可.
二、填空题
9．（2024七上·南海期中）某公交车原坐有人，经过个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，，，则车上还有 人．
【答案】13
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：∵公交车原坐有人，上车为正，下车为负， 经过个站点时上下车情况为：（+3，-6），（-5，+8），（-4，+2），（+1，-8），
∴22+3+（-6）+（-5）+8+（-4）+2+1+（-8）
=(22+3+8+2+1)+[(-6)+(-5)+(-4)+(-8)]
=36+(-23)
=13（人），
∴经过个站点后车上还有人，
故答案为：．
【分析】由题意，将经过个站点记录的数据相加，根据有理数加减法运算法则计算即可求解．
10．（2023七上·天山月考）用符号表示a，b两数中的较大者，用符号表示a，b两数中的较小者，则的值为 ．
【答案】
【知识点】有理数的加法法则
11．（2023七上·德城期中）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下： ．战国时代，中国人已经有了正负数的概念，并用红算筹代表正数，黑算筹代表负数．则 （整体为黑色） 与（整体为红色）的和是 ．
【答案】
【知识点】有理数的加法实际应用
12．（2021七上·丽水期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 .
【答案】1119
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法
【解析】【解答】解：依题意a≤b≤c≤d，
则原式=（b-a）+（c-b）+（d-c）+（d-a）=2（d-a）最大，
则d=9，a=1 四位数要取最小值且可以重复，
故答案为1119.
【分析】 由于低位上的数字不小于高位上的数字， 得出a≤b≤c≤d，依此去绝对值，得出原式的结果为2（d-a），要使结果取得最大值，则保证两正数之差最大，得出a=1， d=9，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答，即可得出结果.
三、解答题
13．（2019七上·长春期末）数字1、2、3、4、5及6可组成不同组合的三个两位数，且每个数字恰好用一次．把每组合的三个两位数相加，写出全部由此得到的和．（例如，因为12+34+56＝102，所以102是其中一个得到的和．）
【答案】解：数字1、2、3、4、5及6组成的两位数有：12，21，13，31，14，41，15，51，16，61，23，32，24，42，25，52，26，62，34，43，35，53，36，63，45，54，46，64，56，65，一共30个；
将符合条件的三个两位数相加：
12+34+56＝102，21+34+56＝111，12+43+56＝111，12+43+65＝120，12+34+65＝111，21+34+65＝120，21+43+56＝120，21+43+65＝129；
13+24+56＝93，31+24+56＝111，13+42+56＝111，13+42+65＝120，13+24+65＝102，31+24+65＝120，31+42+56＝129，31+42+65＝138．
【知识点】有理数的加法
【解析】【分析】先写出由数字1、2、3、4、5及6组成的两位数，再根据要求将组合的三个两位数相加即可．
14．（2022七上·晋州期中）
（1）比较大小（用“”“ ”或“”填空）．
① ；
② ；
③ ．
（2）在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整：
①当， ▲ （填“同号”或“异号” 时，有；
②当， ▲ （填“同号”或“异号” 时，有；
③当，中至少有一个为0时，有 ▲ ．
总之，对于有理数，，有 ▲ ．
（3）根据上述结论，请你直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1）>；=；=
（2）①异号；②同号；③；
（3）解：由（2）可知，若，则，
的取值范围是．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的加法
【解析】【解答】解：（1）①；
∴；
②；；
∴；
③，，
∴；
故答案为：①，②，③；
（2）①当，异号时，有；
②当，同号时，有；
③当，中至少有一个为0时，有．
总之，对于有理数，，有，
故答案为：①异号；②同号；③；；
【分析】（1）分别计算，再比较大小即可；
（2）根据（1）进行总结即可；
（3）由（2）结论即可得解.
15．（2018七上·南山期末）阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S=1+2+3+…+100， ①
则S=100+99+98+…+1，②
①+②，得
2S=101+101+101+…+101．
(两式左右两端分别相加，左端等于2s，右端等于100个101的和)
所以2S=100x101，
S= ×100x101=5050 ③
所以1+2+3+…+100=5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请解答下面的问题：
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200．
（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：
1+2+3+…+n= ．
（3）计算：101+102+103+…+2018．
【答案】（1）解：设S=1+2+3+…+200， ① 则S=200+199+198+…+1，②①+②，得 2S=201+201+201+…+201． ∴2S=200x101，
S=×200x201=20100 . ③
∴1+2+3+…+200=20100．
（2）n（n+1）
（3）解：设S=101+102+103+…+2018， ① 则S=2018+2017+2016+…+101，②①+②，得 2S=2119+2119+2119+…+2119．∴2S=（2018-101+1）x2119，即2S=1918x2119，
S=x1918x2119=2032121 . ③
∴101+102+103+…+2018=2032121 .
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（2）解：设S=1+2+3+…+n， ①
则S=n+（n-1）+（n-2）+…+1，②
①+②，得
2S=（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）．
∴2S=n（n+1），
S=n（n+1）. ③
∴1+2+3+…+n=n（n+1）.
【分析】（1）仿照题干，设S=1+2+3+…+200及S=200+199+198+…+1，倒序相加，得到S的值即可；（2）仿照题干，设S=1+2+3+…+n及S=n+（n-1）+（n-2）+…+1，倒序相加，得到S的值即可；（3）仿照题干，设S=101+102+103+…+2018及S=2018+2017+2016+…+101，倒序相加，得到S的值即可.
1 / 1【培优版】浙教版（2024）七上2.1有理数的加法 同步练习
一、选择题
1．（2024七上·重庆市期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七上·章贡期中）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D．
3．（2019七上·和平期中）如果a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．b为正数，c为负数 B．c为正数，b为负数
C．c为正数，a为负数 D．c为负数，a为负数
4．（2023七上·杭州月考）如图，数轴上、、三点所表示的数分别为、、，且如果有、、，那么该数轴原点的位置应该在（ ）
A．点的左边 B．点与之间 C．点与之间 D．点的右边
5．（2023七上·岳池期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．7 B．3或7 C． D．或
6．（2023七上·大化期中）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有6排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加2个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有8排，则该礼堂的座位总数是（ ）
A．390个 B．402个 C．540个 D．780个
7．（2023七上·石家庄月考）若两个有理数的和为负数，则这两个有理数（ ）
A．一定都是负数
B．一定是一正一负，且负数的绝对值大
C．一定是一个为零，另一个为负数
D．至少有一个是负数，且仅有一个负数时该负数绝对值最大
8．（2023七上·金沙月考）已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（ ）
A．0 B．-3 C．-1 D．3
二、填空题
9．（2024七上·南海期中）某公交车原坐有人，经过个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，，，则车上还有 人．
10．（2023七上·天山月考）用符号表示a，b两数中的较大者，用符号表示a，b两数中的较小者，则的值为 ．
11．（2023七上·德城期中）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下： ．战国时代，中国人已经有了正负数的概念，并用红算筹代表正数，黑算筹代表负数．则 （整体为黑色） 与（整体为红色）的和是 ．
12．（2021七上·丽水期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 .
三、解答题
13．（2019七上·长春期末）数字1、2、3、4、5及6可组成不同组合的三个两位数，且每个数字恰好用一次．把每组合的三个两位数相加，写出全部由此得到的和．（例如，因为12+34+56＝102，所以102是其中一个得到的和．）
14．（2022七上·晋州期中）
（1）比较大小（用“”“ ”或“”填空）．
① ；
② ；
③ ．
（2）在（1）的基础上，嘉淇又举出若干个例子，并归纳得出以下结论，请你补充完整：
①当， ▲ （填“同号”或“异号” 时，有；
②当， ▲ （填“同号”或“异号” 时，有；
③当，中至少有一个为0时，有 ▲ ．
总之，对于有理数，，有 ▲ ．
（3）根据上述结论，请你直接写出当时，的取值范围．
15．（2018七上·南山期末）阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S=1+2+3+…+100， ①
则S=100+99+98+…+1，②
①+②，得
2S=101+101+101+…+101．
(两式左右两端分别相加，左端等于2s，右端等于100个101的和)
所以2S=100x101，
S= ×100x101=5050 ③
所以1+2+3+…+100=5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请解答下面的问题：
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200．
（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：
1+2+3+…+n= ．
（3）计算：101+102+103+…+2018．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的加法；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】原式
故选：A
【分析】本题考查了绝对值和有理数的运算．先计算，再+1即可．
2．【答案】D
【知识点】有理数的加法；化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴上a，b两点的位置可知-2＜a＜-1，0A、aB、|a|>|b|，B不符合题意；
C、a+b<0，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】先根据数轴得到-2＜a＜-1，03．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法
【解析】【解答】解：由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，
如果假设两负一正情况合理，
要使a+b+c=0成立，
则必是b＜0、c＜0、a＞0，
否则a+b+c≠0，
但题中并无此答案，则假设不成立，D被否定，
于是应在两正一负的答案中寻找符合题意答案，
若a，b为正数，c为负数时，
则：|a|+|b|＞|c|，
∴a+b+c≠0，
∴A被否定，
若a，c为正数，b为负数时，
则：|a|+|c|＞|b|，
∴a+b+c≠0，
∴B被否定，
只有C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据不等式|a|＞|b|＞|c|及等式a+b+c=0，利用特殊值法，验证即得到正确答案．
4．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、若果该数轴原点在点A的左边，则0＜a＜b＜c，∴a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0，这与题意不相符，故此选项错误；
B、若果该数轴原点在点A与点B之间，则a＜0＜b＜c，∴b+c＞0，a+c＞0，这与题意不相符，故此选项错误；
C、若果该数轴原点在点B与点C之间，且靠近点B，则a＜b＜0＜c，∴a+b＜0，b+c＞0，a+c＜0，这与题意相符，故此选项正确；
D、若果该数轴原点在点C的右边，则a＜b＜c＜0，∴a+b＜0，b+c＜0，a+c＜0，这与题意不相符，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】就每一个选项所给的数轴原点的位置，结合数轴上的点所表示的数的特点，分别判断出a、b、c的正负，进而再根据有理数的加法法则判断出a+b、b+c、a+c的正负，然后与题干给出的条件比对，即可判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】有理数的加法；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴或；
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的法则，结合，得到，求出的值，再代入代数式计算．
6．【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用
7．【答案】D
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】解： 已知两个有理数的和为负数，则这两个有理数只能是：①均为负数；②一个负数，一个为0；③一正一负，且负数的绝对值大。
综上所述，这两个有理数至少有一个为负数.
故答案为：D.
【分析】已知两个有理数的和为负数，这两个数要么均为负数；要么一个负数，一个为0；要么一个正数，一个负数且负数的绝对值大，总共三种情况，综上所述，这两个有理数至少有一个为负数。
8．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法
【解析】【解答】①当a<0，b<0，c<0时，；
②当a>0，b>0，c>0时，；
③当a>0，b>0，c<0或a>0，b<0，c>0或a<0，b>0，c>0时，；
④当a>0，b<0，c<0或a<0，b<0，c>0或a<0，b>0，c<0时，；
综上，的值可能为±3和±1，
故答案为：A.
【分析】分类讨论，再利用绝对值的性质化简并求解即可.
9．【答案】13
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：∵公交车原坐有人，上车为正，下车为负， 经过个站点时上下车情况为：（+3，-6），（-5，+8），（-4，+2），（+1，-8），
∴22+3+（-6）+（-5）+8+（-4）+2+1+（-8）
=(22+3+8+2+1)+[(-6)+(-5)+(-4)+(-8)]
=36+(-23)
=13（人），
∴经过个站点后车上还有人，
故答案为：．
【分析】由题意，将经过个站点记录的数据相加，根据有理数加减法运算法则计算即可求解．
10．【答案】
【知识点】有理数的加法法则
11．【答案】
【知识点】有理数的加法实际应用
12．【答案】1119
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法
【解析】【解答】解：依题意a≤b≤c≤d，
则原式=（b-a）+（c-b）+（d-c）+（d-a）=2（d-a）最大，
则d=9，a=1 四位数要取最小值且可以重复，
故答案为1119.
【分析】 由于低位上的数字不小于高位上的数字， 得出a≤b≤c≤d，依此去绝对值，得出原式的结果为2（d-a），要使结果取得最大值，则保证两正数之差最大，得出a=1， d=9，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答，即可得出结果.
13．【答案】解：数字1、2、3、4、5及6组成的两位数有：12，21，13，31，14，41，15，51，16，61，23，32，24，42，25，52，26，62，34，43，35，53，36，63，45，54，46，64，56，65，一共30个；
将符合条件的三个两位数相加：
12+34+56＝102，21+34+56＝111，12+43+56＝111，12+43+65＝120，12+34+65＝111，21+34+65＝120，21+43+56＝120，21+43+65＝129；
13+24+56＝93，31+24+56＝111，13+42+56＝111，13+42+65＝120，13+24+65＝102，31+24+65＝120，31+42+56＝129，31+42+65＝138．
【知识点】有理数的加法
【解析】【分析】先写出由数字1、2、3、4、5及6组成的两位数，再根据要求将组合的三个两位数相加即可．
14．【答案】（1）>；=；=
（2）①异号；②同号；③；
（3）解：由（2）可知，若，则，
的取值范围是．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的加法
【解析】【解答】解：（1）①；
∴；
②；；
∴；
③，，
∴；
故答案为：①，②，③；
（2）①当，异号时，有；
②当，同号时，有；
③当，中至少有一个为0时，有．
总之，对于有理数，，有，
故答案为：①异号；②同号；③；；
【分析】（1）分别计算，再比较大小即可；
（2）根据（1）进行总结即可；
（3）由（2）结论即可得解.
15．【答案】（1）解：设S=1+2+3+…+200， ① 则S=200+199+198+…+1，②①+②，得 2S=201+201+201+…+201． ∴2S=200x101，
S=×200x201=20100 . ③
∴1+2+3+…+200=20100．
（2）n（n+1）
（3）解：设S=101+102+103+…+2018， ① 则S=2018+2017+2016+…+101，②①+②，得 2S=2119+2119+2119+…+2119．∴2S=（2018-101+1）x2119，即2S=1918x2119，
S=x1918x2119=2032121 . ③
∴101+102+103+…+2018=2032121 .
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（2）解：设S=1+2+3+…+n， ①
则S=n+（n-1）+（n-2）+…+1，②
①+②，得
2S=（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）．
∴2S=n（n+1），
S=n（n+1）. ③
∴1+2+3+…+n=n（n+1）.
【分析】（1）仿照题干，设S=1+2+3+…+200及S=200+199+198+…+1，倒序相加，得到S的值即可；（2）仿照题干，设S=1+2+3+…+n及S=n+（n-1）+（n-2）+…+1，倒序相加，得到S的值即可；（3）仿照题干，设S=101+102+103+…+2018及S=2018+2017+2016+…+101，倒序相加，得到S的值即可.
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