【培优版】浙教版（2024）七上2.5有理数的乘方 同步练习
一、选择题
1．（2024七上·六安月考）对于式子（–3）6与–36，下列说法中，正确的是（ ）
A．它们的意义相同
B．它们的结果相同
C．它们的意义不同，结果相等
D．它们的意义不同，结果也不相等
【答案】D
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（–3）6表示-3的6次幂，结果为：729
–36表示3的6次幂的相反数，结果为-729
故答案为：D
【分析】根据有理数的乘方的定义即可求出答案.
2．（2019七上·南浔月考）据科学家估计，地球年龄大约是4 600 000 000年，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．4.6×108 B．46×108 C．4.6×109 D．0.46×1010
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】4 600 000 000用科学记数法表示为：4.6×109．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2024七上·重庆市期末）根据国家统计局统计，2023年前三季度，夏粮早稻实现增产，全国夏粮早稻产量合计3511亿斤，秋粮生产总体稳定，从收获的情况看，全年粮食有望再获丰收．数据“3511亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得数据“3511亿”用科学记数法表示为，
故答案为：C
【分析】根据科学记数法结合题意表示数据“3511亿”即可求解。
4．（2023七上·濉溪月考）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；绝对值的非负性
5．（2023七上·石家庄期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解： ，
故答案为：D.
【分析】根据m个2可以表示成，n个3可以表示成3n，求解即可。
6．（2023七上·龙马潭期中）下列说法正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A：例如：1＞-2，但是12＜（-2）2，所以如果，那么 错误，所以A不正确；
B：例如：（-2）2＞12，但是-2＜1，所以 如果，那么 错误，所以B不正确；
C： 如果，那么 正确，所以C正确；
D：例如：1＞-2，但是，所以 如果，那么 错误，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据有理数的绝对值，平方的性质，分别对各选项进行判断，即可得出答案。
7．（2023七上·金华期中）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和.如：，，.……仿此，若的“分裂数”中有一个是281，则（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，.……
∴m3分裂后的第一个数是m(m-1)+1，共m个奇数，
∵17×（17-1）+1=273， 18×（18-1）+1=307，
∴若的“分裂数”中有一个是281，则m=17，
故答案为：B.
【分析】观察规律，分裂成的数均为奇数，且个数就是底数，且第一个数=底数×（底数-1）+1，再据此判断281所在的范围即可。
8．（2022七上·浦江月考）求的值，可令，则，因此，仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：令S= ，则5S= ，
∴，
∴4S=52019-1，
∴
故答案为：C.
【分析】根据题干提供的方法可设S= ，在等式的两边同时乘以5得5S= ，进而将两式相减即可得出答案.
二、填空题
9．（2023七上·英德期末）国家铁路集团有限公司（简称“国铁集团”）最新数据显示，11月份，国家铁路发送煤炭1.78亿吨．“1.78亿”用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1.78亿=1.78×108.
故答案为：1.78×108.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左数第一个数后面整数的位数.1亿=108.
10．（2023七上·吉林期中）计算：（-1）2024-（-1）2023=
【答案】2
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解： （-1）2024-（-1）2023=1-（-1）=2，
故答案为：2.
【分析】负数的奇次幂为负，偶次幂为正，再把绝对值乘方，进而求得结果。
11．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？
【答案】2小时
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵细菌分裂一次有21个细菌，细菌分裂2次有22个细菌，细菌分裂3次有23个细菌，∴当细菌分裂n次有2n个细菌,故得出2n=16，∴n=4，细菌每半小分裂一次，∴细菌分裂4次的时间是4×30=120分钟， ∴这个过程需要2小时.
【分析】根据细菌分裂规律，列出乘方算式，列出关系式是解题的关键.本题主要考查了乘方的应用.
12．（2019七上·港南期中）某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
，则6的所有正约数之和为 ；
，则12的所有正约数之和为
，则36的所有正约数之和为
参照上述方法，那么144的所有正约数之和为 .
【答案】403
【知识点】有理数的加法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】 ,则144的所有正约数之和为
【分析】参照上述方法可得， ，然后类比后续方法求出正约数之和.
三、解答题
13．（2023七上·威县期中）已知与互为相反数，与互为倒数．
（1）求，的值；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）解：与互为相反数，与互为倒数，
，；
（2）解：，，，
，
，，
解得：，，
．
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘方法则；绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【分析】（1）根据相反数、倒数的定义即可求出答案.
（2）根据绝对值，偶次方的非负性，求得、的值，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：与互为相反数，与互为倒数，
，；
（2），，，
，
，，
解得：，，
．
14．（2024七上·射阳月考）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目：
（1） ；
（2）归纳、概括： ；
（3）如果 ，，运用以上的结论，计算： ．
【答案】（1）
（2）
（3）100
【知识点】有理数乘法的实际应用；有理数乘方的实际应用
15．（2021七上·吴兴期末）[阅读理解]求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作a ，读作“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ＝ ；
（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
= （n≥2且n为正整数）
（3）[实践应用]
计算
①
② （其中n=2021）
【答案】（1）
（2）；
（3）解：由（2）可知：
①
，
②原式，
令①
则②
②-①得，
∴，
故原式.
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：(1)依题意知，；
(2) ，
；
【分析】（1）根据题意，将4个（-6）连续相除计算即可求解；
（2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据有理数的乘方运算法则，即可分别求解；
（3）①根据（2）中所得结论，依次代入进行计算即可求解；
②根据（2）中所得结论，原式可转化为，令其等于T，两边再同时乘以5，得到5T，两式进行相减，即可解得T，即为原式.
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一、选择题
1．（2024七上·六安月考）对于式子（–3）6与–36，下列说法中，正确的是（ ）
A．它们的意义相同
B．它们的结果相同
C．它们的意义不同，结果相等
D．它们的意义不同，结果也不相等
2．（2019七上·南浔月考）据科学家估计，地球年龄大约是4 600 000 000年，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．4.6×108 B．46×108 C．4.6×109 D．0.46×1010
3．（2024七上·重庆市期末）根据国家统计局统计，2023年前三季度，夏粮早稻实现增产，全国夏粮早稻产量合计3511亿斤，秋粮生产总体稳定，从收获的情况看，全年粮食有望再获丰收．数据“3511亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七上·濉溪月考）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2023七上·石家庄期中）（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七上·龙马潭期中）下列说法正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
7．（2023七上·金华期中）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和.如：，，.……仿此，若的“分裂数”中有一个是281，则（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
8．（2022七上·浦江月考）求的值，可令，则，因此，仿照以上推理，计算出的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七上·英德期末）国家铁路集团有限公司（简称“国铁集团”）最新数据显示，11月份，国家铁路发送煤炭1.78亿吨．“1.78亿”用科学记数法表示为 ．
10．（2023七上·吉林期中）计算：（-1）2024-（-1）2023=
11．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？
12．（2019七上·港南期中）某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
，则6的所有正约数之和为 ；
，则12的所有正约数之和为
，则36的所有正约数之和为
参照上述方法，那么144的所有正约数之和为 .
三、解答题
13．（2023七上·威县期中）已知与互为相反数，与互为倒数．
（1）求，的值；
（2）当时，求的值．
14．（2024七上·射阳月考）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目：
（1） ；
（2）归纳、概括： ；
（3）如果 ，，运用以上的结论，计算： ．
15．（2021七上·吴兴期末）[阅读理解]求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作a ，读作“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ＝ ；
（2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
= （n≥2且n为正整数）
（3）[实践应用]
计算
①
② （其中n=2021）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（–3）6表示-3的6次幂，结果为：729
–36表示3的6次幂的相反数，结果为-729
故答案为：D
【分析】根据有理数的乘方的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】4 600 000 000用科学记数法表示为：4.6×109．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得数据“3511亿”用科学记数法表示为，
故答案为：C
【分析】根据科学记数法结合题意表示数据“3511亿”即可求解。
4．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；绝对值的非负性
5．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解： ，
故答案为：D.
【分析】根据m个2可以表示成，n个3可以表示成3n，求解即可。
6．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：A：例如：1＞-2，但是12＜（-2）2，所以如果，那么 错误，所以A不正确；
B：例如：（-2）2＞12，但是-2＜1，所以 如果，那么 错误，所以B不正确；
C： 如果，那么 正确，所以C正确；
D：例如：1＞-2，但是，所以 如果，那么 错误，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据有理数的绝对值，平方的性质，分别对各选项进行判断，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，.……
∴m3分裂后的第一个数是m(m-1)+1，共m个奇数，
∵17×（17-1）+1=273， 18×（18-1）+1=307，
∴若的“分裂数”中有一个是281，则m=17，
故答案为：B.
【分析】观察规律，分裂成的数均为奇数，且个数就是底数，且第一个数=底数×（底数-1）+1，再据此判断281所在的范围即可。
8．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：令S= ，则5S= ，
∴，
∴4S=52019-1，
∴
故答案为：C.
【分析】根据题干提供的方法可设S= ，在等式的两边同时乘以5得5S= ，进而将两式相减即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1.78亿=1.78×108.
故答案为：1.78×108.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左数第一个数后面整数的位数.1亿=108.
10．【答案】2
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解： （-1）2024-（-1）2023=1-（-1）=2，
故答案为：2.
【分析】负数的奇次幂为负，偶次幂为正，再把绝对值乘方，进而求得结果。
11．【答案】2小时
【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】∵细菌分裂一次有21个细菌，细菌分裂2次有22个细菌，细菌分裂3次有23个细菌，∴当细菌分裂n次有2n个细菌,故得出2n=16，∴n=4，细菌每半小分裂一次，∴细菌分裂4次的时间是4×30=120分钟， ∴这个过程需要2小时.
【分析】根据细菌分裂规律，列出乘方算式，列出关系式是解题的关键.本题主要考查了乘方的应用.
12．【答案】403
【知识点】有理数的加法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】 ,则144的所有正约数之和为
【分析】参照上述方法可得， ，然后类比后续方法求出正约数之和.
13．【答案】（1）解：与互为相反数，与互为倒数，
，；
（2）解：，，，
，
，，
解得：，，
．
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘方法则；绝对值的非负性；相反数的意义与性质
【解析】【分析】（1）根据相反数、倒数的定义即可求出答案.
（2）根据绝对值，偶次方的非负性，求得、的值，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：与互为相反数，与互为倒数，
，；
（2），，，
，
，，
解得：，，
．
14．【答案】（1）
（2）
（3）100
【知识点】有理数乘法的实际应用；有理数乘方的实际应用
15．【答案】（1）
（2）；
（3）解：由（2）可知：
①
，
②原式，
令①
则②
②-①得，
∴，
故原式.
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：(1)依题意知，；
(2) ，
；
【分析】（1）根据题意，将4个（-6）连续相除计算即可求解；
（2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据有理数的乘方运算法则，即可分别求解；
（3）①根据（2）中所得结论，依次代入进行计算即可求解；
②根据（2）中所得结论，原式可转化为，令其等于T，两边再同时乘以5，得到5T，两式进行相减，即可解得T，即为原式.
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