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3.1.2三角形的外接圆五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：三角形外接圆说法辨析
【经典例题1】下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D．
【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意；
垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项B正确，符合题意；
各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意；
三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-1】下列语句中，正确的是（ ）
A．同一平面上的三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D．菱形的四个顶点在同一圆上
【答案】C
【分析】本题考查外心定义，圆的定义，垂直平分线性质，圆内接四边形性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确；
∵三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离相等，故B选项不正确，C选项正确；
∵圆内接四边形对角互补，菱形对角相加不一定等于，故D选项不正确，
故选：C．
【变式训练1-2】在中，点是的外心，则点（ ）
A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等
C．是三条高线的交点 D．是三条角平分线的交点
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外心，理解三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是解决问题的关键．
【详解】解：∵点是的外心，
∴点是的三条边的垂直平分线的交点，
即：点到的三个顶点距离相等，
故选：B．
【变式训练1-3】如图，是的外接圆，则点O是的（ ）
A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案．
【详解】是的外接圆，
点O是的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
【变式训练1-4】如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心
C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心
【答案】C
【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可．
【详解】解：连接、、，
为锐角三角形的外心，
，
四边形为正方形，
，
，即不是的外心，
，即是的外心，
，即是的外心，
，即不是的外心，
故选：．
【变式训练1-5】如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】直接作出线段的垂直平分线，进而得出答案．
【详解】解：即为所求．
题型二：求三角形外心的点坐标
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求．
【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求，
的外心坐标为，
故选：D．
【变式训练2-1】如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心，
由图可知，点的坐标是：，
故选：B．
【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后根据坐标系直接写出的外接圆的圆心坐标．
【详解】解：如图所示：点P即为外接圆的圆心；
所以点的坐标为．
故答案为：．
【变式训练2-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义．
【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，
点是的外心，
的外心的坐标为，
故答案为：．
【变式训练2-4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．
(1)过，，三点的圆的圆心坐标为______；
(2)请通过计算判断点与的位置关系．
【答案】(1)
(2)在圆外
【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键．
（1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标；
（2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断．
【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，
是过，，三点的圆的圆心，
．
（2），，，
，，
，
点在的外部．
【变式训练2-5】在同一平面直角坐标系中有个点：，，，，．
(1)画出的外接圆，则点的坐标为_________；
(2)点与的位置关系为：点在________；点与的位置关系为：点在__________；
(3)若在轴上有一点，满足，请直接写出点的坐标为________．
【答案】(1)
(2)外，内
(3)
【分析】本题考查了外接圆，圆周角定理，垂直平分线的性质，点与圆的位置关系：
（1）先在平面直角坐标系上标出，，，再作出线段的垂直平分线，它们的交点，即为点P，即可作答．
（2）先在平面直角坐标系上标出，，观察与点D和点E的位置，即可作答．
（3）根据同弧所对的圆周角是相等的，取与轴的交点，即为Q，再连接，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图：
点与的位置关系为：点在外；点与的位置关系为：点在内；
（3）解：如图：
∵在轴上有一点，满足，
∴图中即为所求，
且
题型三：求特殊三角形外接圆半径
【经典例题3】在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形外接圆，根据勾股定理得出，再由直角三角形的外接圆的直径是斜边长即可得出答案，熟练掌握直角三角形的外接圆的直径是斜边长是解此题的关键．
【详解】解：如图，
在中，若两条直角边的长分别为6和8，即，，
，
，
是外接圆直径，
这个三角形的外接圆半径为，
故选：C．
【变式训练3-1】如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（ ）
A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确定圆心的位置是解题的关键．连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答．
【详解】解：如图：
连接，作和的垂直平分线，交点为，
圆心的坐标为，
，
，
线段，
半径，
点在内，
故选：C．
【变式训练3-2】如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】延长交的延长线于，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，设，则，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得，在和中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后根据直角三角形的外接圆的性质求解即可得．
【详解】解：如图，延长交的延长线于，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
设，则，
∵，，是的中点，
∴，，
∴，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
又∵，
∴的外接圆半径为，
故答案为：．
【变式训练3-3】在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ．
【答案】6或
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键．
根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可．
【详解】解：在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，
当5，12是直角三角形的两条直角边时，
根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为，
此三角形的外接圆的半径是；
当12是直角三角形的斜边时，
此三角形的外接圆的半径是；
综上所述，这个三角形的外接圆的半径是6或．
故答案是：6或．
【变式训练3-4】的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 ．
【答案】5
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得是直角三角形，且斜边长为10，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．
【详解】解：，
，
解得：，
，
是直角三角形，且斜边长为10，
直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，
的外接圆半径为，
故答案为：5．
【变式训练3-5】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径．
【答案】作图见解析，的外接圆的半径为4
【分析】由三角形的外接圆的圆心是线段垂直平分线的交点，确定圆心，然后作外接圆即可，由等腰三角形的性质可求，证明是等边三角形，然后作答即可．
【详解】解：作的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心，连接，以为圆心，为半径画圆，则即为所求；
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的外接圆的半径为4．
题型四：用尺规作图确定圆心
【经典例题4】如图，在中，．
(1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图，三角形外接圆的定义，勾股定理，掌握直角三角形外接线圆心为斜边中点时解题的关键．
（1）作出的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径画圆，即为所求；
（2）先根据勾股定理求出，进而得出，最后根据圆的面积公式，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵，，，
∴根据勾股定理可得，
∴，
∴的面积．
【变式训练4-1】如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.
（1）由“”可证
（2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解.
【详解】（1）)证明：，
，
又 ，
在 和 ，
，
；
（2）
∵，，
∴， ，
∴，
的外接圆半径 ，
故答案为：
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，．
(1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置．
(2)判断点与的位置关系，并写出过程．
【答案】(1)，图见解析
(2)点D在内，证明见解析
【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）求出的半径，的长即可判断．
【详解】（1）解：画图如下：
由图可知：圆心是，
故答案为：；
（2）解：圆的半径，
线段，
点D在内．
【变式训练4-3】如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图—三角形的外接圆，连接得到，分别作线段、的垂直平分线交于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【变式训练4-4】如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片．
(1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）．
(2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了确定圆心，求圆的周长；
（1）先确定圆心，在小圆上任意取三点，作出两条线段，作这两条线段的垂直平分线，交于同一点即为圆环的圆心，进而画出车轮的圆环图；
（2）根据圆环外径（外圆的直径）是，根据圆的周长公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图为所求作的图形．
（2）圆的周长，
∴车轮滚动一圈直走的路程是．
【变式训练4-5】如图，是一个圆拱形模型．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确定圆心位置是解答的关键．
（1）作线段的垂直平分线交圆拱形于点C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求作；
（2）连接，设圆的半径为，根据题意和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求作：
（2）解：连接，设圆的半径为，
由题意，，，，
在中，由勾股定理得，
则，解得，
即圆拱形所在圆的半径为，
故答案为：5．
题型五：求能确定圆的个数
【经典例题5】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案．
【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时，
②当三点在一直线上时，如图2，
分别过或或作圆，共3个圆，即，
③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，
分别过或或或作圆，共4个圆，即此时，
即不能是2，
故选：C．
【变式训练5-1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可．
【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
【变式训练5-2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】A
【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键．
【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆，
∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个，
故选：A．
【变式训练5-3】如图，点A，B，C，D均在直线上，点P在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
【详解】解：依题意A，B；A，；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：C．
【变式训练5-4】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【变式训练5-4】如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．
【答案】6
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
综上分析可知，共6组．
故答案为：6．
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3.1.2三角形的外接圆五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：三角形外接圆说法辨析
【经典例题1】下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等
【变式训练1-1】下列语句中，正确的是（ ）
A．同一平面上的三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D．菱形的四个顶点在同一圆上
【变式训练1-2】在中，点是的外心，则点（ ）
A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等
C．是三条高线的交点 D．是三条角平分线的交点
【变式训练1-3】如图，是的外接圆，则点O是的（ ）
A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点
【变式训练1-4】如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心
C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心
【变式训练1-5】如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）
题型二：求三角形外心的点坐标
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心 .
【变式训练2-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ．
【变式训练2-4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．
(1)过，，三点的圆的圆心坐标为______；
(2)请通过计算判断点与的位置关系．
【变式训练2-5】在同一平面直角坐标系中有个点：，，，，．
(1)画出的外接圆，则点的坐标为_________；
(2)点与的位置关系为：点在________；点与的位置关系为：点在__________；
(3)若在轴上有一点，满足，请直接写出点的坐标为________．
题型三：求特殊三角形外接圆半径
【经典例题3】在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练3-1】如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（ ）
A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定
【变式训练3-2】如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为 ．
【变式训练3-3】在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ．
【变式训练3-4】的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 ．
【变式训练3-5】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径．
题型四：用尺规作图确定圆心
【经典例题4】如图，在中，．
(1)求作：的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求的面积．
【变式训练4-1】如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，．
(1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置．
(2)判断点与的位置关系，并写出过程．
【变式训练4-3】如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式训练4-4】如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片．
(1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）．
(2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）．
【变式训练4-5】如图，是一个圆拱形模型．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____．
题型五：求能确定圆的个数
【经典例题5】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练5-1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练5-2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【变式训练5-3】如图，点A，B，C，D均在直线上，点P在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【变式训练5-4】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式训练5-4】如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．
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