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3.1.1圆的基本概念六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：圆的基本概念辨析
【经典例题1】下列命题中，正确的是（ ）
顶点在圆心的角是圆心角 B．半径是弦
C．长度相等的弧是等弧 D．同一个圆内的弦都相等
【变式训练1-1】给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-2】下列语句中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．在同一平面上的三点确定一个圆
C．三角形外心是三角形三个内角平分线的交点
D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
【变式训练1-3】下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
【变式训练1-4】下列说法正确的个数是（ ）
①两条射线组成的图形叫作角；②同一平面内不相交的两条直线必平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部；⑤两直线平行，同旁内角相等；⑥经过圆心的线段一定是直径．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心M的坐标为 ．
题型二：求过圆内一点的最长弦
【经典例题2】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2-1】已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练2-2】如图，圆的弦中最长的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．
【变式训练2-4】若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ．
【变式训练2-5】如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．
题型三：求一点到圆上一点的最值
【经典例题3】已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（ ）
A．27 B．10 C．23 D．32
【变式训练3-3】在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【变式训练3-4】如图，正方形的边长是6，点M是边上的一个动点，连结，作于点P，连结，线段长度的最小值为 ．
【变式训练3-5】如图，点B在以为直径的半圆上，A为圆心，连接，设，，且．
(1)请用m，n表示的三条边长．
(2)若m，n均为不超过20的正整数，且使的三条边长都是整数，请找出三组符合题意的m，n的值．
题型四：圆的周长和面积
【经典例题4】甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A． B． C．
【变式训练4-1】如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为厘米，那么阴影部分的面积为 平方厘米．
【变式训练4-2】以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ．
【变式训练4-3】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.
【变式训练4-4】如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．
(1)求这个运动场的周长是多少米
(2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元
【变式训练4-5】如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
题型五：判断点与圆的位置关系
【经典例题5】如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ）
A．点，均在内 B．点，均在外
C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确
【变式训练5-1】在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ．
【变式训练5-2】已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练5-3】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【变式训练5-4】如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地
【变式训练5-5】在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
题型六：利用点和圆的位置关系求半径
【经典例题6】如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练6-2】在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为
【变式训练6-4】在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ．
【变式训练6-5】如图，在中，，平分，
(1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为2．
【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可；
（2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：连接，设的半径为x，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴的半径为2．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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3.1.1圆的基本概念六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：圆的基本概念辨析
【经典例题1】下列命题中，正确的是（ ）
顶点在圆心的角是圆心角 B．半径是弦
C．长度相等的弧是等弧 D．同一个圆内的弦都相等
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理、圆的相关知识点，根据圆的相关概念逐项判断即可得出答案，熟练掌握圆的相关概念是解此题的关键．
【详解】解：A、顶点在圆心的角是圆心角，原说法正确，故该选项符合题意；
B、半径不是弦，原说法错误，故该选项不符合题意；
C、同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，故该选项不符合题意；
D、同一个圆内的弦不一定相等，原说法错误，故该选项不符合题意；
故选：A．
【变式训练1-1】给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】半径相等的圆是等圆，所以①正确；
同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以②错误；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以③正确；
平面上不共线的三点能确定一个圆，故④不正确；
故选：B．
【变式训练1-2】下列语句中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．在同一平面上的三点确定一个圆
C．三角形外心是三角形三个内角平分线的交点
D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
【答案】D
【分析】本题主要考查圆的有关概念、三角形的外心，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据等弧的概念，确定圆的条件以及三角形及其外心之间的关系解答即可．
【详解】解：在同圆或等圆中，能够重合的弧才是等弧，故选项A错误，不符合题意；
不在同一直线上的三点确定一个圆，故选项B错误，不符合题意；
三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故选项C错误，不符合题意；
三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练1-3】下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，明确在同一个圆和等圆内、所有的半径都相等、所有的直径都相等、所有直径是半径的2倍成为解题的关键．
根据圆的特征逐项分析即可解答．
【详解】解：A．圆有无数条半径和直径，说法正确；
B．由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误；
C．因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴；
D．圆的大小和圆的半径有关，说法正确．
故选：B．
【变式训练1-4】下列说法正确的个数是（ ）
①两条射线组成的图形叫作角；②同一平面内不相交的两条直线必平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部；⑤两直线平行，同旁内角相等；⑥经过圆心的线段一定是直径．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，三角形的高，角平分线，中线的定义，直径的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平行线的判定，三角形的高，角平分线，中线的定义，直径的定义一一判断即可．
【详解】解：①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误，故本选项不符合题意；
②同一平面内不相交的两条直线必平行，原说法正确，故本选项符合题意；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故本选项不符合题意；
④三角形的角平分线、中线都在三角形的内部，但三角形的高不一定在三角形的内部，原说法错误，故本选项不符合题意；
⑤两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故本选项不符合题意；
⑥通过圆心且两端都在圆上的线段，一定是圆的直径，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：B
【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心M的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标与图形性质，圆的基本性质，解二元一次方程组，两点距离公式，关键是正确列出圆心的横纵坐标两个未知数的二元一次方程组．
设M点的坐标为，由题意知，，据此列出x、y的二元一次方程组，解方程组便可得出答案．
【详解】解：设M点的坐标为，
由题意知，，，
化简得：，
解得：，
故答案为：．
题型二：求过圆内一点的最长弦
【经典例题2】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论．
【详解】解：是直径，
∴是中最长的弦，
∴，
∵
∴
∴只有选项D符合题意，
故选：D．
【变式训练2-1】已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断；
【详解】解：∵圆的弦长小于等于直径长，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质是解题的关键．
【变式训练2-2】如图，圆的弦中最长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长，
【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是．
故选：．
【点睛】本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键．
【变式训练2-3】、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解．
【详解】∵圆中最长的弦为直径，
∴．
∴故选D．
【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键．
【变式训练2-3】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．
【答案】2
【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为．
【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接，
∵点M，N分别是AB，BC中点，
∴．
点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．
∵是直径，
∴．
∴的最大值为．
故答案为：2
【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键．
【变式训练2-4】若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用直径是圆内最长的弦即可求解．
【详解】解：的半径为3，
的弦的长度的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键．
【变式训练2-5】如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】3
【分析】作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，
四边形是菱形，，，
，，
、是等边三角形 ，
∴，
，
，
，
，，在一条直线上，
由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小，
∵，、的半径分别为2和1，
，，
的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，根据题意得出点位置是解题关键．
题型三：求一点到圆上一点的最值
【经典例题3】已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值；由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，把点I的坐标代入中，即可求得k的值．
【详解】解：由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，
此时直线过点I，
把点I坐标代入中，得：，
解得：；
故选：D．
【变式训练3-1】已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值；由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，把点I的坐标代入中，即可求得k的值．
【详解】解：由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，
此时直线过点I，
把点I坐标代入中，得：，
解得：；
故选：D．
【变式训练3-2】直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（ ）
A．27 B．10 C．23 D．32
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离．
求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∵点P是以为圆心，1为半径的圆上一点，
过C作于M，连接，
∴，
∴，
当P，C，M在一条直线时，最大，即的面积最大，
即，
∴面积的最大值，
故选：D．
【变式训练3-3】在平面内，在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，若最长为，则（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，得出点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，并且结合勾股定理列式得，因为，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵在中，过点A作边上的垂线平面内一点E到点A的距离，
∴点E的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆上，如图：
上图，此时点E在的延长线上，满足最长为，
设，
∵在中，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
则，
故选：B．
【变式训练3-4】如图，正方形的边长是6，点M是边上的一个动点，连结，作于点P，连结，线段长度的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查正方形的性质，点到圆上最短距离，勾股定理，根据于点P，得到，进而得到点P在以为直径的圆上运动，取中点O，连接，，当点三点共线时，的长度有最小值，根据勾股定理求出，由即可求解．
【详解】解：取中点O，连接，
，正方形的边长是6，
，
点P在以为直径的圆上运动，
，
当点三点共线时，的长度有最小值，
，
，
故答案为：．
【变式训练3-5】如图，点B在以为直径的半圆上，A为圆心，连接，设，，且．
(1)请用m，n表示的三条边长．
(2)若m，n均为不超过20的正整数，且使的三条边长都是整数，请找出三组符合题意的m，n的值．
【答案】(1)，，
(2)，；，；，
【分析】题目主要考查圆与三角综合问题，三角形三边关系等，理解题意是解题关键．
（1）根据题意得出，再结合图形求解即可，利用勾股定理确定；
（2）根据（1）中结果，选择合适的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵DE为半圆的直径，A为圆心，，，．
∴，
∴半圆的半径为，
∵于点C，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴的三条边长是：，，；
（2）∵m，n均为不超过20的正整数，
∴，，均为正整数，
∴m，n同为奇数或同为偶数，且，
①当时，，
此时，，，
∴，符合题意；
②当时，，
此时，，，
∴，符合题意；
③当时，，
此时，，，
∴，符合题意．
题型四：圆的周长和面积
【经典例题4】甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A． B． C．
【答案】A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
【详解】解：由题意得
解得：，
解得：，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
【变式训练4-1】如图，一个大圆和四个面积相等的小圆，已知大圆半径等于小圆直径，小圆半径为厘米，那么阴影部分的面积为 平方厘米．
【答案】
【分析】根据整体思想，借助面积公式解答即可．
此题主要考查圆的面积公式的计算应用观察阴影部分面积与大圆面积的关系，运用整体思想解决问题．
【详解】解：由图形不难看出，阴影部分面积占大圆面积的，
又大圆半径等于小圆直径，小圆半径为厘米，
大圆半径，
阴影部分面积平方厘米．
故答案为：．
【变式训练4-2】以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式．
【详解】解：
．
故亚运会标志的水纹的面积为．
故答案为：．
【变式训练4-3】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.
【答案】
【分析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为，根据，列方程求得大圆和小圆的半径，再计算大圆和小圆的周长之和即可求解．
【详解】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为，
由图可得，，即，
解得， （舍），，
∴，
∴，
答：围成圆环铁丝的总长度为．
【变式训练4-4】如图,一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成（取）．
(1)求这个运动场的周长是多少米
(2)已知整个运动场由草坪和塑胶跑道组成,塑胶跑道和草坪的面积比为,每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,则购买铺满该运动场所需要的塑胶和草坪的总费用是多少元
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用圆周长公式及矩形周长公式解答即可;
（2）根据题意利用圆面积公式及矩形面积公式解答即可．
【详解】（1）解:∵一个运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成,
∴运动场的周长为:（米）,
故答案为:．
（2）解:根据题意,运动场是由两个半圆形和一个长为米,宽为米的长方形构成,
∴运动场的面积为:（平方米）,
∵塑胶跑道和草坪的面积比为,
∴塑胶跑道面积为：（平方米）,
∴草坪面积为：（平方米）,
∵每平方米塑胶的价格为元,比每平方米草坪的价格高,
∴每平方米草坪的价格为:（元）,
∴总费用为:（元）,
故答案为:．
【点睛】本题考查圆周长计算,矩形周长计算,圆面积计算,矩形面积计算．
【变式训练4-5】如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答．
【详解】∵周长为16的正方形，
∴正方形的边长4，
∴图中两个半圆的直径为4，
则其半径为2，
根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
题型五：判断点与圆的位置关系
【经典例题5】如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ）
A．点，均在内 B．点，均在外
C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键．先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与圆的位置关系即可．
【详解】解：在中，，，，
，
、分别是上的高和中线，
，，
即，
，
，
，，
点在内、点在外，
故选：．
【点睛】本题考查圆周长计算,矩形周长计算,圆面积计算,矩形面积计算．
【变式训练5-1】在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ．
【答案】点D在外
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
根据勾股定理可求出，再根据直角三角形的性质求得，比较与的半径即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵中，，，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
即点D到圆心C的距离为，
∵的半径为，而，
∴点D在外．
故答案为：点D在外
【变式训练5-2】已知的半径为4，点在内，则的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：∵的半径为4，点在内，
∴，
∴的长可能是3，
故选：A．
【变式训练5-3】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．
【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，
得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
即能画的圆的个数是2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键．
【变式训练5-4】如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地
【答案】猫和老鼠同时到达
【分析】利用圆的周长公式即可求解．
【详解】解：以为直径的半圆的长是：；
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则，
则老鼠行走的路径长是：．
故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达，
故答案为：猫和老鼠同时到达．
【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键．
【变式训练5-5】在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
【答案】圆外
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内；据此即可判断求解，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，
∴，
∴点在圆外，
故答案为：圆外．
题型六：利用点和圆的位置关系求半径
【经典例题6】如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键
连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可．
【详解】解：连接交于，如图，
在中，由勾股定理得：，
则，
，
，
与相交，且点在外，必须，
即只有选项B符合题意，
故选：B．
【变式训练6-1】如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点A，B，C中只有1个点在圆内，，
∴在圆内的点为点B，
∴，
故选：B．
【变式训练6-2】在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系．
由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答．
【详解】∵在中，，，
∴，
∵D为的中点，
∴．
由上图可知，当的半径时，点D在上，
当的半径时，点C在上，点D在圆内，
当的半径时，点B在上，点C、D在圆内，
当的半径满足时，点D在内，
当的半径满足时，点C、D在内，
当的半径满足时，点B、C、D在内，
∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是．
故选：A
【变式训练6-3】平面内，长为的线段绕着端点旋转一周，线段的中点M所经过的路径长为
【答案】
【分析】先分析出M的路径是圆，根据题意求出圆M的周长即可．本题考查圆的相关性质，得到M的轨迹是解题的关键。
【详解】解：由题意得P的路径是O为圆心，5为半径的圆，
则中点M的路径是O为圆心，为半径的圆，
所以圆M的周长为，
故答案为：．
【变式训练6-4】在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ．
【答案】3或8
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可．
【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解；
当点在内，如图1，
∴，
∴，
∴半径为8；
当点在外，如图2，
∴，
∴，
∴半径为3；
综上所述，的半径是3或8；
故答案为：3或8．
【变式训练6-5】如图，在中，，平分，
(1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为2．
【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可；
（2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：连接，设的半径为x，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴的半径为2．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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