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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.1.2三角形的外接圆五大题型（一课一练）
1．下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，，，则外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
6．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
7．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（ ）
A． B． C．距离一样 D．无法判断
9．如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径r为（ ）
A．5 B． C． D．
10．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
作线段的垂直平分线；
作线段的垂直平分线，交于点；
以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论：
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．和Ⅱ都对
B．和Ⅱ都不对
C．不对，对
D．对，Ⅱ不对
11．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ．
12．过三点，，的圆的圆心坐标为 ．
13．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
14．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
15．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．
16．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3）， 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
17．如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ．
18．如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是 ．
19．已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由．
20．如图，在 中，点是的中点，点是边上的点，，由，，三点确定的圆的周长为．
(1)求证：平分；
(2)若，，，求的值．
21．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出的外心D；
(2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得．
22．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
(1)请完成以下操作：
①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、；
(2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ．
23．某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：
方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）
(1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）
(2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）
(3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3）
24．问题探究
（1）请在图（1）中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程；
拓展应用
（2）如图（2），是正方形内一定点，是对角线、的交点．连接并延长，分别交、于、．过作直线，分别交、于、．求证：、将正方形的面积四等分．
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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.1.2三角形的外接圆五大题型（一课一练）
1．下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；
②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；
③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；
⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；
综上，真命题的个数为2个；
故选B．
2．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可．
【详解】方法一、如图，连接，
∵点是的外心，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
方法二、如图，
∵点是的外心，
∴，
∴，
故选：B．
3．如图，，，，，则外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，
∴直线是线段的垂直平分线，
记，的交点为，则为的外心，
∵，，，
∴直线为，，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，
∴，即的外心坐标为：．
故选C．
4．在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形外心、直角三角形斜边中线的性质等知识，用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案．
【详解】解：在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，
斜边长，
∵直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴该直角三角形的外心到直角顶点的距离为．
故选：B
5．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵的外心为O，
，
，
，
、是方格纸格线的交点，
、的位置如图所示，
．
故选：D．
6．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】B
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积．
【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故选：B．
7．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解．
【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示：
的外心是点，
故选：A．
8．如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（ ）
A． B． C．距离一样 D．无法判断
【答案】B
【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法．
首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可．
【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心，
∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离
∴所在圆的圆心到线段的距离更小．
故选：B．
9．如图，某零件由1个长为8，宽为1的矩形工件和1个边长为6的正方形工件组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径r为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、，
则，，
设，则，
在中，，即，
在中，，即，
，
解得：，
则，
刚能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为5，
故选：A．
10．如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
作线段的垂直平分线；
作线段的垂直平分线，交于点；
以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论：
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．和Ⅱ都对
B．和Ⅱ都不对
C．不对，对
D．对，Ⅱ不对
【答案】D
【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断．
【详解】解：点是和的垂直平分线的交点，
点是的外心，故结论Ⅰ正确；
点，的位置不确定，
和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确．
故选：．
11．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ．
【答案】或
【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可．本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．
【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
②当点O在外时，连接交于E．
，
故答案为：或
12．过三点，，的圆的圆心坐标为 ．
【答案】
【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴是直角三角形，
∴的中点D的坐标为，
∴过三点，，的圆的圆心坐标为．
故答案为：．
13．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的两直角边和是直角边，是斜边两种情况解答，根据直角三角形的外接圆的直径即为斜边长即可求解，明确直角三角形的外接圆的直径即为斜边长并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
当和是直角三角形的两直角边时，
直角三角形的斜边，
∴此直角三角形的外接圆的直径为；
当是直角边，是斜边时，
此直角三角形的外接圆的直径为；
综上，此直角三角形的外接圆的直径为或，
故答案为：或．
14．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
【答案】△ADC、△BDC、△ABD
【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．
【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：，
则外接圆半径，
图中D点到O点距离为：，
图中E点到O点距离为：，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．
15．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．
【答案】5
【分析】本题考查过不在同一直线上三点的圆，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为，
以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆，
由图可知，还经过点、、、、这5个格点，
故答案为：5．
16．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3）， 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，-3）与C、B共线，
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
17．如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ．
【答案】/
【分析】延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论．
【详解】解：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴最小时，的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为，
故答案为：．
18．如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是 ．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质可以得到，进而得到，即在以为斜边向上作等腰的外接圆上运动，所以当过圆心O时最大，进而计算即可解题．
【详解】，
，
，，
，
，为定值．以为斜边向上作等腰
在以O为圆心为半径的圆上，
当过圆心O时最大，
正方形的边长为2，
，
，
．
19．已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】菱形；理由见解析
【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的外心的性质以及菱形的判定，掌握四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．根据，得到，根据全等三角形的判定定理得到，得到，根据三角形外心的性质得到，根据菱形的判定定理得到答案．
【详解】解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是的外心，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形．
20．如图，在 中，点是的中点，点是边上的点，，由，，三点确定的圆的周长为．
(1)求证：平分；
(2)若，，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长交延长线于点，先证≌得、及，结合得，根据即可得证；
（2）先证得出，据此求得的长，从而得出的长度，再由、知，即是的外接圆直径，从而得出答案．
【详解】（1）证明：延长交延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，，
为的中点，
，
，
、，
，
由，
则，
，
又，
，
平分；
（2）解：连接，
，，
，
，，
，
，即，
由四边形是平行四边形得，
，
，
解得：，
，
、，
，
是的外接圆直径，
的外接圆的周长
21．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出的外心D；
(2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求．
（2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得．
【详解】（1）如图1，点D即为的外心；
（2）如图2，点F即为所作；
22．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
(1)请完成以下操作：
①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、；
(2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)，上，90°
【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据题意建立平面直角坐标系即可；作两条弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为圆心．
（2）利用勾股定理、点与圆的位置关系、先判断，即可判断；
【详解】（1）解：①平面直角坐标系如图所示：
②解：圆心点，如图所示；
（2）解：的半径，
点到圆心的距离半径，
点在上．
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：，上，．
23．某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：
方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）
(1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）
(2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）
(3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的，他做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3）
【答案】(1)米
(2)不能省材料，理由见解析
(3)甲得到280元，乙得到320元
【分析】本题考查圆的周长公式，有理数混合运算解决实际问题．
（1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可；
（2）求出B方案中两个小花坛的直径，再根据圆的周长公式即可两个小花坛的周长之和，与（1）进行比较即可；
（3）根据甲每天能完成工程的可求出甲原来每天的效率，进而可求出甲总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数，同理求出乙总共修花坛的工作量，进而求出其所得钱数．
【详解】（1）解：∵大圆花坛的半径为10米，则直径为20米，
∴两个小圆花坛的直径为（米），
∴修两个花坛的周长为（米）．
故答案为：米
（2）解：不能省材料，理由如下：
根据B方案，两个小圆花坛的直径分别为：
（米），
（米），
它们的周长之和为（米）
∴方案B与方案A修的花坛的周长相等，
∴按照方案B修，与方案A比，不能省材料．
（3）解：整项工程为（米），
甲原来每天可以修（米），
甲总共修了（米），
甲得到的工资为（元）；
乙总共修了（米），
乙得到的工资为（元），
答：甲得到280元，乙得到320元．
24．问题探究
（1）请在图（1）中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程；
拓展应用
（2）如图（2），是正方形内一定点，是对角线、的交点．连接并延长，分别交、于、．过作直线，分别交、于、．求证：、将正方形的面积四等分．
【答案】（1）过点首先作一条直线，进而过点作直线的垂线，即可将圆面积四等分；（2）详见解析；
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形性质等知识，得出全等三角形是解题关键．
（1）利用直径所在直线平分圆的面积，进而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定与性质以及正方形性质分析得出全等三角形，进而得出答案．
【详解】解：（1）过点首先作一条直线，进而过点作直线的垂线，即可将圆面积四等分；
（2）证明：∵正方形，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
同理可得出：，
，
，
∴，
∴、将正方形的面积四等分．
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