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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.1.1圆的基本概念六大题型（一课一练）
一、单选题
1．下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；
②同角或等角的余角相等；
③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
④过圆内一点作出的最长弦只有一条；
⑤所有边的长度都相等的多边形叫做正多边形．
其中正确的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，同角或等角的余角相等，点到直线的距离，正多边形的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①不符合题意；
同角或等角的余角相等，故②符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③不符合题意；
过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦，故④不符合题意；
所有边的长度都相等，所有角都相等的多边形叫做正多边形，故⑤不符合题意；
即：正确的有②，共1个，
故选：A．
2．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有共三条，
故选：B．
3．已知的半径3，则中最长的弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可．
【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为3，
∴最长的弦为6，
故选：B．
4．如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（ ）
A．290 B．272 C．252 D．244
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接，根据勾股定理可得，，利用弦最长等于直径即可得出答案．
【详解】解：过点C作于点N，连接，
点为的中点，，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，
在中，
，
当最大时，最大，
的半径为5，
弦最长等于直径是10，
，
．
故选：B．
5．两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，根据圆的周长公式即可解答．
【详解】解：根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，即校园的直径为，所以另一个轮子的周长是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆的周长公式，由大轮子转一圈、小轮子转3圈得到大轮的直径是小轮直径的3倍是解题的关键．
6．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上
C．点在内 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键．
【详解】解：由题意，得，
解得，
∴，则点在外，
故选：．
7．若点在以为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点与圆的位置关系，根据点在圆内，在点到圆心的距离小于半径可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵点在以为圆心，2为半径的圆内，
∴点A到点B的距离小于2，
∴，
∴，
故选C．
8．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系计算即可；
【详解】∵B在外，
∴AB＞2，
∴＞2，
∴b＞或b＜，
∴b可能是-1.
故选A．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键．
9．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值．
【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到，
，
，
E是直角边的中点，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，
，
当、、共线时，即与重合时，取得最小值，
又，
此时的值最小，
D是斜边的中点，
是的中位线，
，
此时，，
的最小值为4．
故选：C．
10．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接交于，交于，延长交于点，证四边形是菱形，得，，，利用勾股定理得，从而，由当与重合是取最小值，当与重合是取最大值，进而分别求出，的值代入即可得解．
【详解】解：连接交于，交于，延长交于点，
∵，，均是边长为的等边三角形．
∴，，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点为后轮上的一点，
∴当与重合时取最小值，当与重合时取最大值，
∵在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，圆（后轮）的半径均为，
∴，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减及乘法，等边三角形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，圆的认识，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键．
11．平面上有及内一点到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．点P在的内部，则的直径为和的和．
【详解】解：点P在的内部，则的直径为，
所以的半径为；
故答案为7．
12．如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ．
【答案】/27度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角定理，正确作出辅助线是解题的关键．由得到，则，而，因此，即可求出．
【详解】
解：连，如图，
，，
，
，
而，
，
，
，
，
而，
，
所以．
故答案为：．
13．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
【答案】 三/3 ，，
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可．
【详解】解：图中的弦有，，共三条．
故答案为：三；，，．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,0），⊙M的半径为2，AB为⊙M的直径，其中点A在第一象限，当OA=AB时，点A的坐标为 .
【答案】
【分析】根据题意，有OA=AB=4，AM=2，设点A为（x，y），分别利用点的坐标求出OA和AM，即可得到x、y的值，结合点A在第一象限，即可得到点A的坐标.
【详解】解：∵⊙M的半径为2，
∴OA=AB=4，AM=2，
设点A为（x，y），则有
，，
∴，，
解得：，
把代入，解得：，
∵点A在第一象限，
∴，
∴点A为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆的性质，以及了两点之间的距离公式，坐标与图形，解题的关键是利用两点两点之间的距离公式求出x、y的值.
15．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】先求出，，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得：，，当、、在同一直线上时，最小，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：在中，当时，，当时，，
解得，，
，，
，
抛物线的对称轴为直线，
点关于抛物线对称轴的对称点为点，
，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，
，
由轴对称的性质可得：，，
当、、在同一直线上时，最小，此时，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．
16．如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为，小圆半径为，利用圆环面积等于即可求出．
【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积=，
故答案为：．
17．已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了两圆相切的性质以及点和圆的位置关系，求出的半径是本题解题的关键．
根据勾股定理求出的长，再根据以，为圆心的两圆外切得出的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出的取值范围即可．
【详解】解：连接，
四边形为矩形，
由勾股定理得，，
以，为圆心的两圆外切，
的半径为，
点在内，
，
，
在内，
，
，
．
故答案为：．
18．如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为
【答案】6
【分析】本题主要考查最短距离问题，连接，由勾股定理求出，由折叠得，当三点共线时，值最小，从而可求出的最小值为6，
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
在中，，
根据折叠得，，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴当三点共线时，值最小，
∴的最小值为，
故答案为：6
19．设，作图说明满足下列要求的图形：
(1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形．
(2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
（1）分别以点为圆心，为半径画和，则到点A和点B的距离都等于的点为两圆的公共部分，即它们的交点；
（2）到点A的距离小于的点在以A点为圆心，为半径圆内；到点B的距离大于的所有点在以B点为圆心，为半径的圆外．
【详解】（1）解：如图1，
分别以点为圆心，为半径画和，它们的交点为所求；
（2）解：以A点为圆心，为半径画；以B点为圆心，为半径画，
如图2，和相交于P和Q，则在内，除去与的公共部分为所求．
20．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：
(1)过点A作⊙O的直径AD；
(2)过点B作⊙O的半径；
(3)过点C作⊙O的弦．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径；
（2）连接，线段即为所求；
（3）连接，线段即为所求（答案不唯一）．
【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径；
（2）如图所示，连接，线段即为所求；
（3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键．
21．如图所示，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，长方形的长为100米，宽为60米．（取3.14）
(1)求这个运动场的周长是多少米？
(2)若将此运动场全部铺上塑胶，铺完后每平方米塑胶的费用为100元，求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是多少元？
【答案】(1)这个运动场的周长是388.4米
(2)这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是882600元
【分析】（1）根据题意可知，长方形的宽就为两端半圆的直径，两端的半圆可看作一个圆进行计算，运动场的周长等于圆的周长加上长方形的两条长边；
（2）用长方形的面积加上圆的面积可计算出这个运动场的面积，然后再用运动场的面积乘100就是整个运动场所需要的费用，列式解答即可得到答案．
【详解】（1）解：（米）
答：这个运动场的周长是388．4米
（2）（平方米）．
（元）
答：这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是882600元．
【点睛】此题主要考查的是圆的周长、面积和长方形的面积的计算及其应用．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；
(2)求外接圆的面积；
(3)若点E的坐标，点E在外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）
【答案】(1)
(2)
(3)圆内
【分析】（1）作线段及线段的垂直平分线，交点即为圆心D；再根据D的位置可得其坐标；
（2）连接，利用勾股定理求出，再根据面积公式计算即可；
（3）利用勾股定理求出的长，由此判断即可．
【详解】（1）解：如图，作线段及线段的垂直平分线，交点即为圆心D；
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴外接圆的面积为；
（3）解：∵，，
∴，
∵半径，而，
∴点E在外接圆内；
【点睛】此题考查三角形外接圆的圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，圆的面积的计算，正确确定三角形外接圆的圆心是解题的关键．
23．如图，矩形中，.作于点E，作于点F．
(1)求、的长；
(2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径r的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出；
（2）根据，结合点与圆的位置关系进行判断即可．
【详解】（1）解：∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
同理可得：，
在中，；
（2）解：∵，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，
∴的半径r的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握点与圆的位置关系．
24．问题提出：
（1）如图①，在中，点M，N分别是的中点，若，则的长为______．
问题探究：
（2）如图②，在正方形中，，点E为上的靠近点A的三等分点，点F为上的动点，将折叠，点A的对应点G，求的最小值．
问题解决：
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点C处为参观入口，的中点P处规划为“优秀”作品展台，求点C与点P之间的最小距离．
【答案】（1） （2） （3）
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，两点之间线段最短，圆的相关知识，解题的关键是作辅助线构造三角形中位线.
（1）由三角形中位线定理可得出答案；
（2）由折叠得:得出点在以点为圆心，长为半径的上运动，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
（3）延长至点, 使连接, 求出.过点作交延长线于点，由勾股定理求出的长，则可得出答案.
【详解】（1）∵点分别是的中点,
∴
∵
∴,
故答案为：；
（2）∵在正方形中，点为上的靠近点的三等分点，
，
由折叠得：
∴点在以点为圆心，长为半径的上运动，
作, 连接交于点, 如图②,
∵，
∴当点三点共线, 即点和点重合时，取得最小值，最小值为的长.
∵在中,，
∴的最小值为 ；
（3）如图③, 延长至点, 使, 连接,
∵点为的中点, 点为的中点,
∴为的中位线,
,
∴当最小时, 最小,
由, 可看作点在以点为圆心,长为半径的圆上，连接，
设与的交点为点,则的最小值为的长,过点作交的延长线于点,
∴,
∵, ,
∴,
∴,
∴四边形为平行四边形，
∴,
∴.
过点作交延长线于点,
∴,
在中, ,
,
,
,
∴的最小值,
∴点与点之间的最小距离为
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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.1.1圆的基本概念六大题型（一课一练）
一、单选题
1．下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；
②同角或等角的余角相等；
③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
④过圆内一点作出的最长弦只有一条；
⑤所有边的长度都相等的多边形叫做正多边形．
其中正确的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知的半径3，则中最长的弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（ ）
A．290 B．272 C．252 D．244
5．两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（ ）．
A． B． C． D．
6．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上
C．点在内 D．无法确定
7．若点在以为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
8．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A． B． C． D．
9．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程中，记的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．平面上有及内一点到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ．
12．如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，则的度数是 ．
13．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,0），⊙M的半径为2，AB为⊙M的直径，其中点A在第一象限，当OA=AB时，点A的坐标为 .
15．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ．
16．如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
17．已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ．
18．如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为
19．设，作图说明满足下列要求的图形：
(1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形．
(2)到点A的距离小于且到点B的距离大于的所有点组成的图形．
20．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：
(1)过点A作⊙O的直径AD；
(2)过点B作⊙O的半径；
(3)过点C作⊙O的弦．
21．如图所示，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，长方形的长为100米，宽为60米．（取3.14）
(1)求这个运动场的周长是多少米？
(2)若将此运动场全部铺上塑胶，铺完后每平方米塑胶的费用为100元，求这个运动场铺上塑胶后所需要的费用是多少元？
22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；
(2)求外接圆的面积；
(3)若点E的坐标，点E在外接圆 ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）
23．如图，矩形中，.作于点E，作于点F．
(1)求、的长；
(2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径r的取值范围．
24．问题提出：
（1）如图①，在中，点M，N分别是的中点，若，则的长为______．
问题探究：
（2）如图②，在正方形中，，点E为上的靠近点A的三等分点，点F为上的动点，将折叠，点A的对应点G，求的最小值．
问题解决：
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心，已知，，，，点C处为参观入口，的中点P处规划为“优秀”作品展台，求点C与点P之间的最小距离．
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