/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
有理数
1.1.2 有理数
学习目标：
1.通过实例，认识整数和分数。
2.认识整数和分数的分类，进而认识有理数及其分类
3.通过分类学会各种数之间的关系.
核心素养目标：利用各种数之间的关系解决实际问题，培养抽象能力和逻辑思维能力
学习重点：认识有理数及其分类，会判断一个数是哪种类型的数.
学习难点：能用分类学会各种数之间的关系
一、知识链接
1.上一节我们学习了正数和负数，那么据此来看，整数可以分为什么呢？分数呢？_____________________________________。
2.想一想：0是整数吗？___________________________________。
3._______和_________统称为有理数。
二、自学自测
1.把下列各数填在相应的横线上：
-7，98，-3.5，0，0.03，27，-，，-2.27,-8.2
正整数:___________________________________
负整数:___________________________________
正分数:___________________________________
负分数:___________________________________
正有理数:___________________________________
负有理数:___________________________________
2.在，0，π，-3.1415，+9，1.2中，有理数有________个。
创设情境、导入新课
根据之前的学习，我们了解了整数，分数和正负数，据此，我们把1，2，3，4，…，称为正整数；-1，-2，-3，-4，…，称为负整数；，，1，4.5，…，称为正分数；-，-，-1，-4.5，…，称为负分数。
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
判断表中各数分别属于哪一类数，在相应的空格内画“√”。
数 整数 正整数 自然数 负整数 分数 正分数 负分数
25
0
20012 √ √ √
-7
0.
-
-61.3
【强调】：正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
探究二：例题讲解
教材第13页：
例1 我们已经学习了哪些类型的数？尝试将学过的数分类，制作一张数的分类结构图。
写出学过的各类数的名称，每一类举出三个具体的数。
分析各类数之间的关系，制作一张数的分类结构图。
将自己制作的结构图与同学交流，并进一步完善。
例2 下列给出的答数，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？
-8.4，22，+，0.33，0，-，-9
【强调】：
正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
提炼概念（本节课主要内容提炼）
从小学开始，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、负分数、有理数，它们之间的关系如下：
【例1】在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（）。
1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例2】下列是数的分类，正确的是（）
有理数 整数
分数
整数 有理数
分数
分数 整数
有理数
D.有理数 整数
0
【例3】把下列各数分别填入相应的横线上：
-3，5，0.03，-，2024，0，-2，+9
（1）正整数：
（2）负整数：
（3）正分数：
（4）负分数：
（5）自然数：
（6）有理数：
【例4】用有理数表示下面各量。
（1）为表示记账软件金额的变化，记收入为正、支出为负，那么收入4.65元、支出9.77元和不支出不收入，这三个量用有理数分别怎样表示？
（2）电梯原来在12层，下降了15层后是多少层？用有理数怎样表示？
【选做】5.下而的说法中，正确的个数是（）
①0 是整数；②-2是负分数：③3.2不是正数；④自然数一定是非负数：⑤负数一定是负有理数
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【选做】6.下列说法中正确的是（）
有最大的负数，没有最小的正数
有最小的负数，没有最大的正数
没有最大的有理数和最小的有理数
有最小的负整数和最大的正整数
正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
从小学开始，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、负分数、有理数，它们之间的关系如下：
必做题：
1.有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0m表示没有海拔，其中正确的有（ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2．下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数和负整数
B．零是整数，但不是正数，也不是负数
C．分数包括正分数、负分数和零
D．有理数不是正数就是负数
3.一个数的立方等于它自身，那么那个数可能是（ ）．
A．1
－1
±1或0
±1
4.下面说法正确的选项是（ ）．
A．一个数的立方不可能等于它自身
B．两个有理数相加，结果必然大于每一个加数
C．两个有理数之差必然小于被减数
D．０减去任何一个有理数都得那个数的相反数
选做题：
5.下列说法中，错误的有（ ）
①-2是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；
⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
6.下列说法正确的是（）.
A.在有理数中，零的意义仅表示没有;
B.正有理数和负有理数组成全体有理数；
C.0.6既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数:
D.零既不是正数，也不是负数.
拓展题：
下列各数中，哪些数是负数而不是整数？哪些数是整数而不是负数？哪些数既是负数又是整数？
-5，-，9，-7.8，0，-3
参考答案
【作业布置】
1.①正确。0是正数和负数的分界。
②错误。0并不仅仅表示“什么也没有”，它还可以表示特定的意义，例如0刻度等。
③正确。0确实可以表示特定的意义，例如起点和分界，时间和日期等。
④错误。0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。
⑤正确。0是非负数。
⑥错误。海拔0m并不表示没有海拔，而是与海平面持平。
综上所述，正确的说法有①③⑤，共3个，故选A。
2.整数包括正整数、0和负整数。因此，整数不仅包括正整数和负整数，还包括0。所以选项A错误。
零是整数，但它既不是正数也不是负数。因此，选项B正确。
分数包括正分数和负分数，但不包括0。所以选项C错误。
有理数包括整数和分数，0是整数，但不是正数也不是负数，因此选项D错误。
故选B
3.一个数，它的立方等于它自身。
考虑1的立方，即=1，满足条件。
考虑-1的立方，即= 1，也满足条件。
考虑0的立方，即=0，同样满足条件。
故为±1或0，选C
4.一个数的立方可能等于它自身，例如±1或0。因此，选项A错误。
当两个加数都是正数时，它们的和确实大于每个加数，例如2+3=5。但当两个加数都是负数时，它们的和会小于每个加数，例如(-2)+(-3)=-5。因此，选项B错误。
当减数是正数时，两个有理数的差确实小于被减数，例如3-2=1。但当减数是负数时，两个有理数的差会大于被减数，例如5-(-3)=8。因此，选项C错误。
0减去任何数都等于这个数的相反数，这是正确的，例如0-2=-2。因此，正确答案是选项D。
5.①②④正确，③0是有理数，故错误，⑤负数比0小，负数也是有理数，故错误，⑥比-1小的负整数有无数个，故错误，-1是最大的负整数
6.A错误，零不仅是没有的表示，它本身也是一个具体的数。
B错误，有理数由正有理数，负有理数和0组成。
C错误，0.6实际上是一个分数，是有理数。
D正确。
拓展题：-，-7.8是负数而不是整数
9，0是整数而不是负数
-5，-3既是负数又是整数
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第一章 有理数
1.1 从自然数到有理数
1.1.3 有理数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.通过实例，认识整数和分数。
2.认识整数和分数的分类，进而认识有理数及其分类
3.通过分类学会各种数之间的关系.
02
新知导入
根据之前的学习，我们了解了整数，分数和正负数。
据此，我们把1，2，3，4，…，称为正整数；-1，-2，-3，-4，…，称为负整数；
，，1，4.5，…，称为正分数；-，-，-1，-4.5，…，称为负分数。
03
新知讲解
正整数、零和负整数统称整数，
正分数、负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
03
新知讲解
判断表中各数分别属于哪一类数，在相应空格内画“√”。
数 整数 正整数 自然数 负整数 分数 正分数 负分数
25
0
20012 √ √ √
-7
0.
-
-61.3
03
新知讲解
例1 判断表中各数分别属于哪一类数，在相应空格内画“√”。
数 整数 正整数 自然数 负整数 分数 正分数 负分数
25 √ √ √
0 √ √
20012 √ √ √
-7 √ √
√ √
0. √ √
- √ √
-61.3 √ √
03
新知讲解
例1 我们已经学习了哪些类型的数？尝试将学过的数分类，制作一张数的分类结构图。
（1）写出学过的各类数的名称，每一类举出三个具体的数。
（2）分析各类数之间的关系，制作一张数的分类结构图。
（3）将自己制作的结构图与同学交流，并进一步完善。
（1）正整数3，5，9；自然数2.5，0，6；正分数1负整数-7，-5，-4；负分数-有理数6.6，0，2.
03
新知讲解
从小学开始，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、负分数、有理数，它们之间的关系如下：
03
新知讲解
例2 下列给出的答数，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？
-8.4，22，+，0.33，0，-，-9
解：22是正整数；-9是负整数；，0.33是正分数；-8.4，-是负分数；22，0，-9是整数；-8.4，，0.33，-是分数；所给各数均为有理数。
04
课堂练习
【例1】
在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（）。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
是无理数，其余均是有理数，故选D
04
课堂练习
【例2】下列是数的分类，正确的是（）
A.有理数 整数
分数
B.整数 有理数
分数
C.分数 整数
有理数
D.有理数 整数
0
有理数分为整数和分数，故选A
04
课堂练习
【例3】把下列各数分别填入相应的横线上：
-3，5，0.03，-，2024，0，-2，+9
（1）正整数：
（2）负整数：
（3）正分数：
（4）负分数：
（5）自然数：
（6）有理数：
2024，+9
-3
5
- ，-2
2024，+9，0
-3，5，0.03，-，2024，0，-2，+9
04
课堂练习
【例4】
用有理数表示下面各量。
（1）为表示记账软件金额的变化，记收入为正、支出为负，那么收入4.65元、支出9.77元和不支出不收入，这三个量用有理数分别怎样表示？
（2）电梯原来在12层，下降了15层后是多少层？用有理数怎样表示？
（1）+4.65，-9.77，0；（2）-3
04
课堂练习
【选做】5.下而的说法中，正确的个数是（）
①0是整数；②-2是负分数：③3.2不是正数；④自然数一定是非负数：⑤负数一定是负有理数
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
整数包括正整数、0和负整数，因此0是整数，①正确。
-2是负整数而不是负分数，②错误。
数字3.2是正分数，即正数，③错误。
自然数包括0和所有正整数，它们都是非负数，④正确。
负数包括小于0的有理数和无理数，因此负数不一定是负有理数，⑤错误。
综上所述，正确有两个，①④
04
课堂练习
【选做】6.下列说法中正确的是（）
A.有最大的负数，没有最小的正数
B.有最小的负数，没有最大的正数
C.没有最大的有理数和最小的有理数
D.有最小的负整数和最大的正整数
04
课堂练习
【选做】6.C
在有理数中，负数可以无限小，没有最大的负数，同样，正数可以无限大，没有最小的正数。
负数和正数都可以无限接近零，故有理数中无最小的负数和最大的正数。
有理数集是无限的，没有上界和下界，故有理数中没有最大的有理数和最小的有理数。
整数集是无限的，没有最小的负整数和最大的正整数，有理数中没有最小的负整数和最大的正整数
05
课堂小结
正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
从小学开始，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、负分数、有理数，它们之间的关系如下：
05
课堂小结
06
作业布置
【必做】1.有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0m表示没有海拔，其中正确的有（ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
06
作业布置
【必做】1.①正确。0是正数和负数的分界。
②错误。0并不仅仅表示“什么也没有”，它还可以表示特定的意义，例如0刻度等。
③正确。0确实可以表示特定的意义，例如起点和分界，时间和日期等。
④错误。0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。
⑤正确。0是非负数。
⑥错误。海拔0m并不表示没有海拔，而是与海平面持平。
综上所述，正确的说法有①③⑤，共3个，故选A。
06
作业布置
【必做】2.下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数和负整数
B．零是整数，但不是正数，也不是负数
C．分数包括正分数、负分数和零
D．有理数不是正数就是负数
06
作业布置
【必做】2.整数包括正整数、0和负整数。因此，整数不仅包括正整数和负整数，还包括0。所以选项A错误。
零是整数，但它既不是正数也不是负数。因此，选项B正确。
分数包括正分数和负分数，但不包括0。所以选项C错误。
有理数包括整数和分数，0是整数，但不是正数也不是负数，因此选项D错误。
故选B
06
作业布置
【必做】3.一个数的立方等于它自身，那么那个数可能是（ ）．
A．1
B.－1
C.±1或0
D.±1
06
作业布置
【必做】3.一个数，它的立方等于它自身。
考虑1的立方，即=1，满足条件。
考虑-1的立方，即= 1，也满足条件。
考虑0的立方，即=0，同样满足条件。
故为±1或0，选C
06
作业布置
【必做】4.下面说法正确的选项是（ ）．
A．一个数的立方不可能等于它自身
B．两个有理数相加，结果必然大于每一个加数
C．两个有理数之差必然小于被减数
D．０减去任何一个有理数都得那个数的相反数
06
作业布置
【必做】4.一个数的立方可能等于它自身，例如±1或0。因此，选项A错误。
当两个加数都是正数时，它们的和确实大于每个加数，例如2+3=5。但当两个加数都是负数时，它们的和会小于每个加数，例如(-2)+(-3)=-5。因此，选项B错误。
当减数是正数时，两个有理数的差确实小于被减数，例如3-2=1。但当减数是负数时，两个有理数的差会大于被减数，例如5-(-3)=8。因此，选项C错误。
0减去任何数都等于这个数的相反数，这是正确的，例如0-2=-2。因此，正确答案是选项D。
06
作业布置
【选做】5.下列说法中，错误的有（ ）
①-2是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
①②④正确，③0是有理数，故错误，⑤负数比0小，负数也是有理数，故错误，⑥比-1小的负整数有无数个，故错误，-1是最大的负整数 故选C
06
作业布置
【选做】6.下列说法正确的是（）.
A.在有理数中，零的意义仅表示没有;
B.正有理数和负有理数组成全体有理数；
C.0.6既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数:
D.零既不是正数，也不是负数.
06
作业布置
【选做】6.
A错误，零不仅是没有的表示，它本身也是一个具体的数。
B错误，有理数由正有理数，负有理数和0组成。
C错误，0.6实际上是一个分数，是有理数。
D正确。
【拓展题】
下列各数中，哪些数是负数而不是整数？哪些数是整数而不是负数？哪些数既是负数又是整数？
-5，-，9，-7.8，0，-3
-，-7.8是负数而不是整数
9，0是整数而不是负数
-5，-3既是负数又是整数
06
作业布置
Thanks!
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1.1.3 有理数教学设计
课题 1.1.3 有理数 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 在之前的学习中，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、负分数、有理数。本节课我们将通过一些例题进一步理解各种数之间的关系，认识有理数及其分类。
核心素养 能力培养 经历思考，推理的过程，完成习题，发现各种数之间的关系，培养学生的逻辑思维能力； 通过分类学会各种数之间的关系，培养抽象能力。
教学目标 1.通过实例，认识整数和分数。 2.认识整数和分数的分类，进而认识有理数及其分类 3.通过分类学会各种数之间的关系.
教学重点 认识有理数及其分类，会判断一个数是哪种类型的数.
教学难点 能用分类学会各种数之间的关系
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习回顾 下列说法正确的个数是 ( ) ①加正号的数是正数，加负号的数是负数; ②任意一个正数，前面加上“-”号，就是一个负数; ③0是最小的正数; ④大于0的数是正数; 0 1 2 3 ①不正确。加正号的数不一定是正数，例如+（-3）仍然是负数，同理加负号的数也不一定是负数。 ②正确。任意一个正数前面加上“-”号确实会变成负数。 ③不正确。0既不是正数也不是负数，它是一个特殊的数。 ④正确。大于零的数确实是正数。 综上所述，正确的说法有两个，因此正确答案是选项C。 根据之前的学习，我们了解了整数，分数和正负数，据此，我们把1，2，3，4，…，称为正整数；-1，-2，-3，-4，…，称为负整数；，，1，4.5，…，称为正分数；-，-，-1，-4.5，…，称为负分数。 学生主动举手回答问题。 回顾旧知，考验学生对上节课知识的掌握程度，引出今天的内容。
新知探究 1.教师出示问题： 判断表中各数分别属于哪一类数，在相应的空格内画“√”。 解 【强调】：正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。 整数和分数统称有理数。 教师提问，学生回答，引出本节课学习内容。 例1 我们已经学习了哪些类型的数？尝试将学过的数分类，制作一张数的分类结构图。 写出学过的各类数的名称，每一类举出三个具体的数。 分析各类数之间的关系，制作一张数的分类结构图。 将自己制作的结构图与同学交流，并进一步完善。 （1）正整数3，5，9；自然数2.5，0，6；正分数1，，；负整数-7，-5，-4；负分数-, ，-；有理数6.6，0，2. 2.从小学开始，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、负分数、有理数，它们之间的关系如下： 例2 下列给出的答数，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？ -8.4，22，+，0.33，0，-，-9 解：22是正整数；-9是负整数；+，0.33是正分数；-8.4，-是负分数；22，0，-9是整数；-8.4，+，0.33，-是分数；所给各数均为有理数。 3.教师总结： 正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。 整数和分数统称有理数。 正整数、零、自然数、正分数、负整数、负分数、有理数，它们之间的关系如下： 学生讨论教师提出的问题后举手回答。 学生认真听讲 阅读教材，理解实际问题的解决 培养学生分析问题的能力。 激发学生兴趣，引入新课主题，通过复习，引出新问题。 让学生通过观察摸索，并且能抽象出其具体内容，提高学生的逻辑思维能力，让学生对此记忆更深刻。 通过对例题的讲解以及让学生自主解决一些问题，让学生更深入理解，并能够合理运用。 检验学生对是否初步掌握，是否能合理运用。
课堂练习 【例1】 在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（）。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 是无理数，其余均是有理数，故选D 【例2】下列是数的分类，正确的是（） A.有理数 整数 分数 B.整数 有理数 分数 C.分数 整数 有理数 D.有理数 整数 0 有理数分为整数和分数，故选A 【例3】 把下列各数分别填入相应的横线上： -3，5，0.03，-，2024，0，-2，+9 （1）正整数： （2）负整数： （3）正分数： （4）负分数： （5）自然数： （6）有理数： （1）正整数：2024，+9 （2）负整数： -3 （3）正分数：5 （4）负分数：-，-2 （5）自然数：2024，+9，0 （6）有理数：-3，5，0.03，-，2024，0，-2，+9 【例4】 用有理数表示下面各量。 （1）为表示记账软件金额的变化，记收入为正、支出为负，那么收入4.65元、支出9.77元和不支出不收入，这三个量用有理数分别怎样表示？ （2）电梯原来在12层，下降了15层后是多少层？用有理数怎样表示？ +4.65，-9.77，0；（2）-3 【选做】5.下而的说法中，正确的个数是（） ①0是整数；②-2是负分数：③3.2不是正数；④自然数一定是非负数：⑤负数一定是负有理数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.整数包括正整数、0和负整数，因此0是整数，①正确。 -2是负整数而不是负分数，②错误。 数字3.2是正分数，即正数，③错误。 自然数包括0和所有正整数，它们都是非负数，④正确。 负数包括小于0的有理数和无理数，因此负数不一定是负有理数，⑤错误。 综上所述，正确有两个，①④ 【选做】6.下列说法中正确的是（） A.有最大的负数，没有最小的正数 B.有最小的负数，没有最大的正数 C.没有最大的有理数和最小的有理数 D.有最小的负整数和最大的正整数 C 在有理数中，负数可以无限小，没有最大的负数，同样，正数可以无限大，没有最小的正数。 负数和正数都可以无限接近零，故有理数中无最小的负数和最大的正数。 有理数集是无限的，没有上界和下界，故有理数中没有最大的有理数和最小的有理数。 整数集是无限的，没有最小的负整数和最大的正整数，有理数中没有最小的负整数和最大的正整数 学生自主完成后，教师核对答案纠错，并进行分析。 学生自主完成后核对答案，听老师分析。 通过练习题反馈学生对的熟练程度。锻炼学生独立思考以及解决问题的能力。
课堂小结 正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数。 整数和分数统称有理数。 从小学开始，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、负分数、有理数，它们之间的关系如下： 学生归纳本节课知识。 让学生回顾的内容，加深印象，便于做题。
作业布置 1.必做题： 学案课后练习 习题1-4 2.选做题： 学案课后练习 习题5-6 3.拓展题： 学案课后练习 拓展题 学生自主完成 让学生巩固本节课所学知识，
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