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专题2.3.有理数的乘法
1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算；
2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数；
3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算；
4. 在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便；
5. 初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1、有理数乘法法则的辨析 3
考点2、利用有理数乘法的符号辨别 3
考点3、有理数的乘法运算 5
考点4、有理数乘法运算律 6
考点5、有理数乘法的实际应用 9
考点6、有理数乘法的新定义问题 12
考点7、倒数的概念与运用 14
模块3：能力培优 17
1.有理数的乘法
有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）
两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘。
多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。
注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；
2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果；
3）公式的正用与逆用。
3.倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。
2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。
（1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。
注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。
考点1、有理数乘法法则的辨析
【解题方法】有理数乘法的法则
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0。
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
例1．（2023·湖北·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误；
②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误；
③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确；
④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确；
⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．∴正确的有2个；
故选：A．
【点睛】此题考查了数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆．
变式1．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）若，则下列选项正确的是（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0
【答案】C
【分析】根据任何数同零相乘，都得0， 依此即可求解．
【详解】解：根据任何数同零相乘，都得0，
若，则a，b，c至少有一个为0，故选：C．
【点睛】本题考查根据任何数同零相乘，都得零，正确理解题意是解题的关键．
变式2.（2023 浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可．
【详解】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误；
②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确；
③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该小题说法错误；故选：A．
考点2、利用有理数乘法的符号辨别
【解题方法】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
例1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数的乘法法则，根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零．根据法则即可以准确判断答案．
【详解】解：A、有两个负因数，积为正，故A错误，不符合题意．
B、有三个负因数，积为负，故B正确，符合题意．
C、有一个因数0，积为0，故C错误，不符合题意．
D、有四个负因数，积为正，故D错误，不符合题意．故选：B．
变式1．（2023·湖北·七年级统考期中）下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据几个非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，任何数乘0，都得0，进行判断即可．
【详解】解：，不符合题意；B、，2个负号，积为正数，不符合题意；
C、，2个负号，积为正数，不符合题意；
D、，3个负号，积为负数，符合题意；故选D．
【点睛】本题考查有理数乘法的符号法则．熟练掌握同号为正，异号为负，任何数乘0，都得0，以及几个非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，是解题的关键．
变式2．（2023·河北·七年级校考阶段练习）如图，两点在数轴上表示的数分别是，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据数轴确定的取值范围，再逐一判定即可解答．
【详解】解：由数轴可得：，
，，，，故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定的取值范围．
考点3、有理数的乘法运算
【解题方法】根据有理数乘法的法则计算即可。
例1．（23-24七年级上·山东济南·期末）的值是（ ）
A．12 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，直接计算即可．
【详解】解：，故选：A．
例2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法及可能性的大小的知识，分解质因数，比较简单．
【详解】解：，，，．
综上分析可知，共4种．故选：C．
变式1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）计算：＝ ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的乘法运算，先确定符号（两数相乘，同号为正，异号为负），然后把绝对值相乘．
【详解】解：故答案为：．
变式2．（2023七年级上·上海·专题练习）计算： ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，将带分数化成假分数后，利用有理数的乘法法则运算即可，利用有理数的乘法法则首先确定积的符号，这是解题的关键．
【详解】解：，故答案为：10．
变式3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较有理数的大小．先根据乘法法则，判断出积的符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可．
【详解】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B，C选项中的积为负数，D选项的积为0，
∴计算结果最大的是选项A．故选A．
考点4、有理数乘法运算律
【解题方法】运用运算律的一些技巧：
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。
③带分数应先化为假分数的形式。如：。
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。
例1．（22-24七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
计算：(1)；(2)；
（3）．
【答案】(1)(2)（3）
【分析】（1）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（2）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（3）本题考查了有理数的混合运算，逆用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
（3）
．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟练的利用乘法分配律进行简便运算是解本题的关键．
例2．（2023·广东·七年级校考期中）用简便方法计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)2(2)(3)0(4)
【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可；（2）利用乘法分配律求解即可；（3）利用乘法分配律的逆运算求解即可；（4）把原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键．
变式1．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）给下面的计算过程标明理由：
（ ）
（ ）
（ ）
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法的运算律．运用乘法的运算律进行简便计算，即可作答．
【详解】解：
（乘法分配律）
（有理数的乘法运算）
（有理数的加法交换律）
．
变式2．（2023·浙江年级期中）计算：
(1) (2) (3)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解；
（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
【点睛】本题考查有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题关键．
考点5、有理数乘法的实际应用
【解题方法】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：
阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段
工序
所需时间/分钟
加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短
在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题得到关键．求出各个阶段的工序最长时间和即可求出加工该件艺术品最少需要的时间；在准备阶段若缩短分钟，在制作阶段若缩短分钟，最后分钟则看两个阶段谁投入的费用少，即可求解．
【详解】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行，
则加工该件艺术品最少需要：（分钟）；
需将加工时间缩短到分钟，则共需要缩短分钟，
在准备阶段若缩短分钟，则需要投入（元），
在制作阶段若缩短分钟，则需要投入（元），
还要分钟，在准备阶段缩短分钟需要投入（元），在制作阶段缩短分钟需要投入（元），，
综上，最少投入为：（元），故答案为：，．
例2．（23-24七年级上·黑龙江·阶段练习）萧红中学九年级12支班级篮球队预计在三月份举行校级篮球友谊赛，球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为 场．
【答案】66
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．12支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛场，解方程即可求解．
【详解】解：12支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：．故答案为：66．
变式1．（23-24七年级上·广东韶关·期中）如图，一玻璃柜的主视图形状是长（）1.5米、宽（）1米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为，则需要的玻璃总面积为 平方米．
【答案】1.17
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据总面积（长木框架宽）（宽木框架宽）求解即可．
【详解】解：（平方米），故答案为：1.17．
变式2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：）
素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车．
素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈．
问题解决
分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为______，单人单程乘坐需车费______元．
任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费．
确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
【答案】任务1：；；任务2：元；任务3：最远游玩站点是科技城，理由见解析
【分析】本题考查有理数混合运算的应用，
任务1：依据题意，根据所给素材1进行计算可以得解；
任务2：依据题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算可以得解；
任务3：依据题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，从而每人元，起步价元可乘，元可乘，故可求出最远可行公里数，进而可以判断得解；
正确理解题意列出算式并熟练运用运算法则是解题的关键．
【详解】解：任务1：由题意，从新桥站到桐岭站为：，
此时单人单程乘坐需车费：（元），故答案为：；；
任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算：
从新桥站到三坪湿地站的里程为：，∴需要车费为：（元）；
∴小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要元车费；
任务3：最远游玩站点是科技城．
理由：由题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，∴一家三口每人元，
∵起步价元可乘，∴元可乘，∴最远可行，
∵向桐岭方向里程为，
∴向瑶溪方向：，即最远游玩站点是科技城．
考点6、有理数乘法的新定义问题
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种考点.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1.（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）规定，则的值等于（ ）
A．5 B． C． D．或
【答案】B
【分析】根据定义计算即可．
【详解】解：，故选：B．
【点睛】本题考查新定义理解问题，理解定义算法是关键．
例2．（2023秋·湖南娄底·七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定，则________．
【答案】
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：∵，∴，故答案为：2．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据新运算的运算法则，先计算，再计算即可得解．
【详解】解：由题意，得：，
∴；故选D．
【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键．
变式2．（2023·浙江七年级校考期中）小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算___．
【答案】
【分析】根据新定义的含义可得，再计算即可．
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查的是新定义运算，理解新定义的含义，再列出正确的运算式是解本题的关键．
变式3．（2022秋·浙江湖州·七年级校联考阶段练习）记符号表示不超过x的最大整数，如，，．(1)分别写出和的值；(2)计算：．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用符号的意义解答即可；
（2）利用符号的意义分别求得三个的值，再利用乘法法则运算即可．
【详解】（1），；（2）．
【点睛】本题考查有理数大小比较，有理数的乘法法则，理解并熟练利用符号的意义是解题的关键．
考点7、倒数的概念与运用
【解题方法】倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．
（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
例1．（2023·山东滨州·模拟预测）2023年5月24日全球贸易投资促进峰会在北京举行，本次峰会主题为“坚定信心合作共赢，共建开放型世界经济”，那么2023的相反数的倒数是（ ）
A． B． C． D．2023
【答案】C
【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此先求出2023的相反数，再根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：2023的相反数，的倒数是，
∴2023的相反数的倒数是故选：C．
例2．（22-23七年级上·福建厦门·期中）如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数，下列举例能说明这种说法错误的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断a与b的大小，再根据倒数的定义得到它们的倒数，再比较出其大小即可．
【详解】解∶A、的倒数是的倒数是的倒数小于的倒数，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、的倒数是的倒数是的倒数大于的倒数，符合题意；
D、的倒数是的倒数是的倒数小于的倒数，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查的是倒数的定义及有理数的大小比较，熟知特例法是解答此题的关键．
例3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列语句说法正确的个数是（ ）
（1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正．（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数．
（3）加上一个数等于减去这个数的相反数．（4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数．
（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法，乘除法，倒数，绝对值的意义，熟练掌握与有理数的基本知识点及运算法则是解决本题的关键．
根据有理数的加减乘除运算法则和倒数的概念，绝对值的意义依次分析即可．
【详解】解：（1）必须是几个非零数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正，故（1）不符合题意；
（2）除以一个非零数等于乘以这个数的倒数，故（2）不符合题意；
（3）加上一个数等于减去这个数的相反数，正确的，故（3）符合题意；
（4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数，这句话是错误的，如，
但，此时，故（4）不符合题意；
（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数，正确的，故（5）符合题意．故选：B．
变式1．（2023七年级上·成都·专题练习）做一做：
①5的倒数是 ； ②的倒数是 ； ③的倒数是 ；
④的倒数是 ； ⑤的倒数是 ； ⑥的倒数是 ．
【答案】 10
【分析】根据倒数的定义逐一判断即可．
【详解】解：①∵，∴5的倒数是，故答案为：；
②∵，∴的倒数是，故答案为：；
③∵，∴的倒数是10，故答案为：10；
④∵，∴的倒数是，故答案为：；
⑤∵，∴的倒数是，故答案为：；
⑥∵，∴的倒数是，故答案为：．
【点睛】本题考查了倒数的定义，解决本题的关键是掌握倒数的定义：分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数．
变式2．（2022秋·山东七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1 B．一个假分数的倒数一定小于本身
C．若一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1 D．若两个数互为倒数，那么它们的积一定是1
【答案】D
【分析】利用特殊值分别分析再结合倒数的定义分析得出答案．
【详解】A、因为1的倒数是1，1和1互为倒数，故说法错误；
B、一个假分数的倒数小于或等于本身，故此选项错误；
C、一个数的倒数是它本身的数有很多，除1外，还有分子和分母相同的假分数，故此选项错误；
D、如果两个数互为倒数，这个就排除了两个数不为0的情况，所以如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1，故此选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了倒数的定义，利用特殊值分别分析是解题的关键．
变式3．（2023·河北沧州·校考三模）若，则下列说法正确的是（ ）
A．与互为倒数 B．与互为相反数 C．与相等 D．与相等
【答案】A
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：∵，∴与互为倒数，故选A．
【点睛】本题考查了倒数，熟知倒数是指两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数是解题的关键．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）关于有理数，下列说法不正确的是（ ）
A．若，那么必有
B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数
C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积
D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大
【答案】B
【分析】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，根据有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及互为相反数的两个数的性质和应用，逐项判断即可．
【详解】∵若，必有，∴选项A不符合题意；
∵一个有理数和它的相反数的乘积为负数或零，∴选项B符合题意；
∵任何一个有理数同0相加的和以及这个数同1相乘的积都等于这个数，
∴任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积，∴选项C不符合题意；
∵如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝值大，
∴选项D不符合题意．故选：B．
2．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）若，则（ ）0
A．> B．< C．= D．≥
【答案】A
【分析】根据多个有理数的乘法法则解答即可．
【详解】解：∵，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了多个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个有理数相乘，如果其中有一个因数为0，积就为0．
3．（2023春·福建福州·九年级校考期中）对于一个实数，如果它的倒数不存在，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据倒数的定义解答即可．
【详解】解：∵实数的倒数不存在，∴．故选：D．
【点睛】本题考查倒数的定义：两个数的乘积是，则它们互为倒数，没有倒数．理解倒数的意义是解题的关键．
4．（2023·浙江金华·七年级校考期中）若，则的值可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可以写成，再利用乘法分配律即可得到结果．
【详解】解： 故选：B．
【点睛】本题考查乘法分配律、有理数的乘法，掌握是解题的关键．
5．（2023秋·湖南张家界·七年级统考期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2020次输出的结果是（ ）
A．﹣1 B．3 C．6 D．8
【答案】A
【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】第1次运算输出的结果为，第2次运算输出的结果为，
第3次运算输出的结果为，第4次运算输出的结果为，
第5次运算输出的结果为，第6次运算输出的结果为，
第7次运算输出的结果为，第8次运算输出的结果为，
归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以循环往复的，
因为，所以第2020次运算输出的结果与第4次输出的结果相同，即为，故选：A．
【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
6．（2023·山东七年级期中）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，可得a和b同号，再根据和，即可判断a，b，c的符号．
【详解】解：∵，∴a和b同号，
又∵和，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的运算法则，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；同号两数相加，取它们相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大数的符号．
7. （2023·重庆市·七年级期中）下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法法则及乘法的分配律，分别进行判断．
【详解】解：A、，正确；
B、，应用了乘法分配律，正确；
C、，有三个负因数，结果应为负数，错误；
D、，逆用分配律，正确．故选C．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则及乘法的分配律，熟练掌握“几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”．
8．（2024·河北沧州·二模）下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
①
②
③
A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错
【答案】C
【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键．
将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可．
【详解】解：A、解题运用了乘法分配律不是交换律，故说法错误，不符合题意；
B、①步计算正确，故说法错误，不符合题意；
C、②步应为，所以从②步开始出错，故说法正确，符合题意；
D、从②步就开始开始出错，故说法错误，不符合题意；故选：C．
9．（22-23七年级上·广州·月考）在小数的乘法中，一个因数的小数点向左移动一位，另一个因数的小数点向右移动两位，则积变为原来的（ ）
A． B．倍 C．倍 D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，设一个因数为，另一个因数为，的小数点向左移动一位，的小数点向右移动两位，根据题意，列出算式，再根据有理数的乘法运算法则计算即可求解，正确列出算式是解题的关键．
【详解】解：设一个因数为，另一个因数为，的小数点向左移动一位，的小数点向右移动两位，则一个因数变为了，一个因数变为了，
∴变化后两个因数的积为，∴积变为原来的倍，故选：．
10．（2023·江苏宿迁·七年级统考期中）已知四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，则它们的和等于（ ）
A． B．5 C．9 D．5或
【答案】D
【分析】因为14的整数因数只有，，，，四个不相等的整数相乘等于14，所以这四个数只可能是，，中的四个数，然后分情况求出它们的和即可．
【详解】解：∵14的整数因数只有，，，，四个不相等的整数相乘等于14，
∴这四个数可能是1，，2，或1，，，7，
∴或，
即它们的和等于5或，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是分析出14的整数因数有哪些．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·七年级浙江期中）计算：__________．
【答案】
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
12．（2023·成都市·七年级期中）用表示，例1995！=，那么的个位数字是_____________．
【答案】3
【分析】先分别求出，，，，，的值，再归纳类推出规律，由此即可得．
【详解】，
，
，
，
，
，
由此可知，的个位数字都是0（其中，且为整数），
则的个位数字与的个位数字相同，
因为，其个位数字是3，
所以的个位数字是3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键．
13．（2024·浙江·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________．
【答案】 2或3 或
【分析】如图2所示，由题意得，，由此可得，进而求出，；如图2-1所示，的结果十位数为1，则或，由此讨论b的值求解即可.
【详解】解：如图2所示，由题意得，，
∵都是自然数，且，∴，∴，∴；
如图2-1所示，∵的结果十位数为1，∴或，
当时，符合题意，此时的乘积为；
当时，符合题意；，此时的乘积为；故答案为：2或3；或
【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算特点进行求解．
14．（2023·江苏·七年级校考期中）在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______．
【答案】 15 75
【分析】根据乘法法则，当偶数个负数相乘时积为正，当奇数个负数相乘时积为负，即可解决最大积和最小积的问题．
【详解】解：任取两个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，
任取三个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，
故答案为：15，，75，．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较、有理数的乘法，解题关键要掌握有理数的大小比较、有理数的乘法法则．
15．（23-24七年级上·宁夏·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据直接用乘法结合律来计算会非常简便来确定即可．
【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，
并且直接用乘法结合律来计算会非常简便，
观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算．
故答案为：7．
16．（23-24七年级上·福建厦门·期中）用乘法分配律进行简便运算： 。（只需写出接下来的一步，不必算出答案）．
【答案】
【分析】把写成的形式，再利用分配律比较简便．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，灵活运用乘法的分配律是解决本题的关键．
17．（2023·山西吕梁·七年级期中）有理数的乘法运算，除了用乘法口诀外，现有一种“划线法”：如图1，表示的乘法算式是12×23=276；图2表示的是123×24=2952．则图3表示的乘法算式是___．
【答案】31×42=1302
【分析】通过观察发现，从左到右是一个乘数的高位到个位，从下到上是另一个乘数的数高位到个位，由此可求解．
【详解】解：31×42=1302，故答案为：31×42=1302．
【点睛】本题考查有理数的乘法，通过观察所给的图形，结合乘法算式，找到运算规律是解题的关键．
18．（2023·浙江·七年级校考期中）定义新运算“*”为： ，则当时，计算的结果为_____．
【答案】8
【分析】利用定义计算即可．
【详解】解：∵，∴故答案为：8．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，能够读懂新定义并按照定义进行计算是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2023·江苏七年级期中）计算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【答案】（1）；（2）-1.2；（3）-84；（4）149；（5）；（6）-1
【分析】（1）把带分数化为假分数，小数化为分数，然后根据有理数的乘法法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（3）利用乘法交换结合律进行计算即可得解；
（4）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；（5）逆运用乘法分配律进行计算即可得解；（6）先算小括号里面的，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）．
【点睛】本题考查有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，计算时要注意运算符号的处理．
20．（23-24七年级上·山东·课堂例题）运用运算律进行简便计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7)； (8)．
【答案】(1)(2)15(3)(4)(5)7(6)5(7)(8)0
【分析】（1）先将后两项结合进行计算，再算乘法即可得；
（2）先将带分数化为假分数，再将第一项和第三项结合进行计算，最后算乘法即可得；
（3）先将第一项和第三项结合进行计算，，再算乘法即可得；
（4）将第一项和第三项结合，第二项和第四项结合，分别进行计算，最后计算乘法即可得；
（5）运用乘法分配律进行计算即可得；
（6）先将带分数化为假分数，小数化为分数，再运用乘法分配律进行计算即可得；
（7）将带分数化为假分数，化为，运用乘法分配律进行计算即可得；
（8）将提出来，先计算括号里的，再计算乘法即可得．
【详解】（1）解：原式=
=
=；
（2）解：原式=
=
=；
（3）解：原式=
=
=；
（4）解：原式=
=
=；
（5）解：原式=
=
=7；
（6）解：原式=
=
=5；
（7）解：原式=
=
=
=；
（8）解：原式=
=
=0．
【点睛】本题考查了有理数的简便运算，解题的关键是掌握有理数运算的运算法则和运算顺序．
21．（2023·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：
与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3
袋数 5 10 3 1 5 6
(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？
(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？
(3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？
【答案】(1)5千克(2)9千克(3)元
【分析】（1）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；
（2）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；
（3）首先求得大米的总重量，再乘以单价，即可求解
【详解】（1）解：（千克），
答：这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差5千克
（2）解：（千克），
答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克
（3）解：这30袋大米的总重量为（千克），
食堂购进大米总共花了（元）．
答：食堂购进大米总共花了元．
【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键．
22．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图1，2023年12月8日，某校为纪念一二·九运动，组织全校学生在学校操场进行米接力赛，该校操场一圈是米．比赛分年级进行，以班级为单位，每个班级选出男女各5名学生参加比赛，平均每人持棒跑米．首先，我们需要了解一下交接棒的规则．如图2，在《田径规则》中规定，接力比赛中，交接棒必须在米的接力区内完成．在这个区域内完成交接棒，可以确保交接棒的双方都有足够的时间和空间来准备和完成交接棒．因为该校操场一圈是米，每人平均跑米，故安排两个接力区，第一棒运动员从起点到第一接力区中心线的里程是米．第一接力区与第二接力区中心线间里程也是米．
以米为基准，其中实际持棒里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了七年1班名运动员中部分人的里程波动值．
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9
里程波动值 2 8
(1)第1棒运动员的实际里程为__________米；(2)若第4棒运动员的实际里程为米．
①第4棒运动员的里程波动值为__________；②求第7棒运动员的实际里程．
【答案】(1)(2)①5②
【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）①根据正数和负数的实际意义列式计算即可；②根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【详解】（1）解：(米)，
即第1棒运动员的实际里程为米，故答案为∶；
（2）①(米)，即第4棒运动员的里程波动值为5，故答案为∶5；
②（米）
名运动员的里程波动值的和是0，第7棒里程波动值是0，
即第7棒运动员的实际里程为米．
23．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）已知算式“”．
(1)嘉嘉将数字“5”抄错了，所得结果为，则嘉嘉把“5”错写成了________；
(2)淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
【答案】(1)3 (2)比原题的正确结果大11
【分析】（1）将数字“5”改成空格，采用有理数的运算可以得到结果．
（2）重新计算得结果，再作差运算得到结果．
【详解】（1）
所以把“5”错写成了“3”
（2）原题正确结果，
淇淇的结果：，，所以结果比原题的正确结果大11．
【点睛】本题采用灵活的形式进行有理数的混合运算，须小心审题，看清题目的要求，正确提取信息和计算是解题的关键．
24．（2023·湖北七年级月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
【答案】（1）-6；（2）；（3）不满足，举例见解析
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义分两步列式计算即可；
（3）根据新运算可知运用交换律出的结果和原来的结果不同，所以不满足，举例说明即可．
【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6
（2）
（3）∵新运算 ∴运用加法加法交换律可得：
假设，则=3×4-3=9
=4×3-4=8 ∴不能用交换律．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题关键是掌握新定义规定的运算法则、有理数乘方法则等知识．
25．（2023秋·重庆秀山·七年级统考期末）阅读下列文字，并回答：
每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如；），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，；，所生成的自然数组为，请回答：
(1)所生成的自然数组为{ }
(2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据生成的自然数组的定义即可求解；（2）根据生成的自然数组的定义逆推即可求解．
【详解】（1）解：，，，，
∴所生成的自然数组为．故答案为：．
（2）解：∵，，，，
∴假分数所生成的自然数组为．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法，解题的关键是理解题意，熟练掌握生成的自然数组的定义．
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专题2.3.有理数的乘法
1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算；
2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数；
3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算；
4. 在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便；
5. 初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1、有理数乘法法则的辨析 3
考点2、利用有理数乘法的符号辨别 3
考点3、有理数的乘法运算 5
考点4、有理数乘法运算律 6
考点5、有理数乘法的实际应用 9
考点6、有理数乘法的新定义问题 12
考点7、倒数的概念与运用 14
模块3：能力培优 17
1.有理数的乘法
有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）
两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘。
多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。
注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；
2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果；
3）公式的正用与逆用。
3.倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。
2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。
（1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。
注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。
考点1、有理数乘法法则的辨析
【解题方法】有理数乘法的法则
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0。
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
例1．（2023·湖北·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式1．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）若，则下列选项正确的是（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0
变式2.（2023 浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2、利用有理数乘法的符号辨别
【解题方法】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
例1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023·湖北·七年级统考期中）下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·河北·七年级校考阶段练习）如图，两点在数轴上表示的数分别是，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
考点3、有理数的乘法运算
【解题方法】根据有理数乘法的法则计算即可。
例1．（23-24七年级上·山东济南·期末）的值是（ ）
A．12 B．7 C． D．
例2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
变式1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）计算：＝ ．
变式2．（2023七年级上·上海·专题练习）计算： ．
变式3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（ ）
A． B． C． D．
考点4、有理数乘法运算律
【解题方法】运用运算律的一些技巧：
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。
③带分数应先化为假分数的形式。如：。
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。
例1．（22-24七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
计算：(1)；(2)；
（3）．
例2．（2023·广东·七年级校考期中）用简便方法计算：
(1) (2)
(3) (4)
变式1．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）给下面的计算过程标明理由：
（ ）
（ ）
（ ）
变式2．（2023·浙江年级期中）计算：
(1) (2) (3)
考点5、有理数乘法的实际应用
【解题方法】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：
阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段
工序
所需时间/分钟
加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短
在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元．
例2．（23-24七年级·黑龙江·阶段练习）萧红中学九年级12支班级篮球队预计在三月份举行校级篮球友谊赛，球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为 场．
变式1．（23-24七年级上·广东韶关·期中）如图，一玻璃柜的主视图形状是长（）1.5米、宽（）1米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为，则需要的玻璃总面积为 平方米．
变式2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何规划游玩路线？
素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：）
素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车．
素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈．
问题解决
分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为______，单人单程乘坐需车费______元．
任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费．
确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．
考点6、有理数乘法的新定义问题
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种考点.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1.（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）规定，则的值等于（ ）
A．5 B． C． D．或
例2．（2023秋·湖南娄底·七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定，则________．
变式1．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（ ）．
A． B． C． D．
变式2．（2023·浙江七年级期中）小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算_．
变式3．（2022秋·浙江湖州·七年级校联考阶段练习）记符号表示不超过x的最大整数，如，，．(1)分别写出和的值；(2)计算：．
考点7、倒数的概念与运用
【解题方法】倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．
（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
例1．（2023·山东滨州·模拟预测）2023年5月24日全球贸易投资促进峰会在北京举行，本次峰会主题为“坚定信心合作共赢，共建开放型世界经济”，那么2023的相反数的倒数是（ ）
A． B． C． D．2023
例2．（22-23七年级上·福建厦门·期中）如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数，下列举例能说明这种说法错误的是（）
A． B． C． D．
例3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列语句说法正确的个数是（ ）
（1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正．（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数．
（3）加上一个数等于减去这个数的相反数．（4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数．
（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2023七年级上·成都·专题练习）做一做：
①5的倒数是 ； ②的倒数是 ； ③的倒数是 ；
④的倒数是 ； ⑤的倒数是 ； ⑥的倒数是 ．
变式2．（2022秋·山东七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1 B．一个假分数的倒数一定小于本身
C．若一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1 D．若两个数互为倒数，那么它们的积一定是1
变式3．（2023·河北沧州·校考三模）若，则下列说法正确的是（ ）
A．与互为倒数 B．与互为相反数 C．与相等 D．与相等
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）关于有理数，下列说法不正确的是（ ）
A．若，那么必有
B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数
C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积
D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大
2．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）若，则（ ）0
A．> B．< C．= D．≥
3．（2023春·福建福州·九年级校考期中）对于一个实数，如果它的倒数不存在，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江金华·七年级校考期中）若，则的值可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·湖南张家界·七年级统考期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2020次输出的结果是（ ）
A．﹣1 B．3 C．6 D．8
6．（2023·山东七年级期中）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7. （2023·重庆市·七年级期中）下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·河北沧州·二模）下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
①
②
③
A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错
9．（22-23七年级上·广州·月考）在小数的乘法中，一个因数的小数点向左移动一位，另一个因数的小数点向右移动两位，则积变为原来的（ ）
A． B．倍 C．倍 D．
10．（2023·江苏宿迁·七年级统考期中）已知四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，则它们的和等于（ ）
A． B．5 C．9 D．5或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·七年级浙江期中）计算：__________．
12．（2023·成都市·七年级期中）用表示，例1995！=，那么的个位数字是_____________．
13．（2024·浙江·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________．
14．（2023·江苏·七年级校考期中）在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______．
15．（23-24七年级上·宁夏·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ．
16．（23-24七年级上·福建厦门·期中）用乘法分配律进行简便运算： 。（只需写出接下来的一步，不必算出答案）．
17．（2023·山西吕梁·七年级期中）有理数的乘法运算，除了用乘法口诀外，现有一种“划线法”：如图1，表示的乘法算式是12×23=276；图2表示的是123×24=2952．则图3表示的乘法算式是___．
18．（2023·浙江·七年级校考期中）定义新运算“*”为： ，则当时，计算的结果为_____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2023·江苏七年级期中）计算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
20．（23-24七年级上·山东·课堂例题）运用运算律进行简便计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7)； (8)．
21．（2023·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：
与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3
袋数 5 10 3 1 5 6
(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？
(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？
(3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？
22．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图1，2023年12月8日，某校为纪念一二·九运动，组织全校学生在学校操场进行米接力赛，该校操场一圈是米．比赛分年级进行，以班级为单位，每个班级选出男女各5名学生参加比赛，平均每人持棒跑米．首先，我们需要了解一下交接棒的规则．如图2，在《田径规则》中规定，接力比赛中，交接棒必须在米的接力区内完成．在这个区域内完成交接棒，可以确保交接棒的双方都有足够的时间和空间来准备和完成交接棒．因为该校操场一圈是米，每人平均跑米，故安排两个接力区，第一棒运动员从起点到第一接力区中心线的里程是米．第一接力区与第二接力区中心线间里程也是米．
以米为基准，其中实际持棒里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了七年1班名运动员中部分人的里程波动值．
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9
里程波动值 2 8
(1)第1棒运动员的实际里程为__________米；(2)若第4棒运动员的实际里程为米．
①第4棒运动员的里程波动值为__________；②求第7棒运动员的实际里程．
23．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）已知算式“”．
(1)嘉嘉将数字“5”抄错了，所得结果为，则嘉嘉把“5”错写成了________；
(2)淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
24．（2023·湖北七年级月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例．
25．（2023秋·重庆秀山·七年级统考期末）阅读下列文字，并回答：
每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如），这个真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（如），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（如；），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，；，所生成的自然数组为，请回答：
(1)所生成的自然数组为{ }(2)某个假分数所生成的自然数组为，这个假分数为多少？
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