2.5逆命题和逆定理（教学课件）-八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

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八年级浙教版数学上册 第二章 特殊三角形
2.5 逆命题与逆定理
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1．了解逆命题、逆定理的概念.
2．会识别两个命题是不是互逆命题，并能写出简单命题的逆命题.
3．了解原命题成立，其逆命题不一定成立.
4．理解线段垂直平分线性质定理的逆定理.
情景导入
旧知回顾
1.什么叫命题？
对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题.
由条件和结论两部分组成.
2.命题由几部分组成,一般可以写成什么样的形式
命题可以写成 的形式.
3.命题有 命题和 命题之分.
“如果……，那么……”
真
假
我们在上一章中学习了命题的概念，下面我们来回顾一下所学内容回答下列问题.
旧知回顾
情景导入
1.下列句子是命题的是 （ ）
A.画∠AOB=45°
B. 小于直角的角是锐角吗？
C.连结CD
D. 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
D
情景导入
“飞机是会飞的交通工具.”
“会飞的交通工具是飞机.”
这两个命题有什么不同？它们都是真命题吗？
1.互逆命题
新知探究
命题 条件 结论 命题真假
(1)两直线平行，同位角相等.
(2)同位角相等，两直线平行.
(3)如果a=b，那么a2=b2 .
(4)如果a2=b2，那么a=b.
请你仔细阅读下表中的四个命题，填写并思考：命题（1）和命题（2），命题（3）和命题（4）的条件和结论有什么关系？
两直线平行
同位角相等
同位角相等
两直线平行
概念归纳
互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
原命题与逆命题
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.
∴命题(1)与命题(2)， 命题(3)与命题(4)都是互逆命题.
命题 条件 结论 命题真假
(1)两直线平行，同位角相等.
(2)同位角相等，两直线平行.
(3)如果a=b，那么a2=b2 .
(4)如果a2=b2，那么a=b.
两直线平行
同位角相等
同位角相等
两直线平行
判定下列命题是真命题还是假命题：
假命题
真命题
真命题
真命题
在一个三角形中，等边对等角。
典例剖析
同旁内角互补，两直线平行.
(2)同位角相等
相等的角是同位角
(3)面积相等的三角形全等。
(4)在一个三角形中，等角对等边。
(1)两直线平行，同旁内角互补.
真命题
真命题
假命题
假命题
假命题
真命题
真命题
真命题
例1.说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：
全等三角形的面积相等。
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
1.说出下列命题的逆命题，并判定命题的真假：
(1) 长方形有两条对称轴.
(3) 磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.
有两条对称轴的图形为长方形
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车.
真命题
假命题
真命题
假命题
做一做
每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题，同样，每个假命题的逆命题也不一定是假命题.
写出一个命题的逆命题的关键是分清它的条件和结论，然后将条件和结论互换.
概念归纳
例 2 说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明.
【分析】说明一个命题是真命题需经过证明，而说明一个命题是假命题只需举一个反例即可.
课本例题
解： 逆命题是 “如果两个三角形的面积相等，那么这个三角形全等”.
如图，在△ABC和△ABE中，
CD、EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，
且CD=EF，
则△ABC和△ABE的面积相等，
但显然它们不全等.所以这个逆命题是假命题.
这个命题是假命题. 举反例如下：
D
A
F
B
C
E
课本例题
例 2 说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明.
2.互逆定理
新知探究
想一想：
你能根据已经学过的定理和逆命题的定义类比出逆定理的定义吗？
（一个命题经证明是真命题，就可称为定理.）
原定理和逆定理
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
注意：不是所有的定理都有逆定理.
(3)对顶角相等；
(4)三角形的两边之和大于第三边.
(1)平行四边形的对边相等.
(2)矩形的四个角都是直角.
逆定理:有四个角是直角的四边形是矩形.
例3.下列定理中哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理.
典例剖析
逆定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
有
有
没有
没有
2.说出两对互逆的定理.
做一做
答：（1）两直线平行，内错角相等
逆定理：内错角相等，两直线平行.
（2）两直线平行，同旁内角互补
逆定理：同旁内角互补，两直线平行.
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
已知：在△ABC中，PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，相交于点P.
求证：点P也在BC的垂直平分线上.
思考探究
证明：
连结PA，PB，PC.
∵ PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，
∴ PA=PB，PA=PC
（线段垂直平分线 上的点到线段两端的距离相等） .
∴ PB=PC（等量代换），
∴点P在BC的垂直平分线上
（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
3.线段垂直平分线性质定理的逆定理
新知探究
说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
解：这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．下面给出证明.
已知：如图，AB是一条线段，
P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
A
P
B
已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
【分析】
要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以过点P作AB的垂线，然后证明它恰好平分线段AB.
A
P
B
已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
A
P
B
证明：（1）当点P在线段AB上，结论显然成立；
（2）当点P不在线段AB上时，作PO⊥AB于点O.
∵PA=PB，PO⊥AB，
∴OA=OB（等腰三角形三线合一）.
∴PO是AB的垂直平分线.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质定理的逆定理
①文字语言：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
②几何语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
概念归纳
1. 下列语句正确的是（ ）
A.每个定理都有逆定理
B.每个命题都有逆命题
C.真命题的逆命题一定是真命题.
D.假命题的逆命题一定是假命题
随堂练
2．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A.全等三角形的面积相等 B.全等三角形的对应角相等
C.直角都相等 D.全等三角形的三边对应相等
B
D
随堂练
3．等腰三角形两底角相等的逆命题是（ ）
A.如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等
B.如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形
C.两底角相等的三角形是等腰三角形
D.有两个角相等的三角形是等腰三角形
D
4. 下列定理有逆定理的是（ ）
A.对顶角相等
B.成轴对称的两个图形是全等图形
C.等边三角形是等腰三角形
D.两直线平行，同位角相等
随堂练
D
5. 已知下列命题：
①若a=b，则a2=b2；②若x＞0，则|x|=x；
③两直线平行，内错角相等；
④直角三角形的两锐角互余．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
随堂练
B
6．命题“两直线平行，内错角相等”的条件是____________，结论是________________，这个命题的逆命题的条件是_____________，结论是________________．
7．命题“如果a>0，b>0，那么ab>0”的条件是___________，结论是_________，这个命题的逆命题是___________________________．
随堂练
两直线平行
内错角相等
内错角相等
两直线平行
a>0，b >0
ab>0
如果ab>0，那么a>0，b>0
8. 命题：“质数都是奇数“的逆命题是： .
这个命题是 命题.
9．命题：“绝对值相等的两个数一定是相反数”
的逆命题是： .
10.线段垂直平分线性质定理的逆定理
是 ．
随堂练
奇数都是质数
互为相反数的两个数的绝对值一定相等
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
假
分层练习-基础
1.“等腰三角形两底角相等”的逆命题是(　C　)
A. 在同一个三角形中，等边对等角
B. 有两个角互余的三角形是等腰三角形
C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D. 如果一个三角形有三个角相等，那么这个三角形是等边三角形
C
知识点一：互逆命题
2.下列命题中，逆命题是真命题的是(　A　)
A. 若 x2＝1，则 x ＝1
B. 无理数是无限小数
C. 全等三角形的对应角相等
D. 若 a ＋ b ＝4， a － b ＝2，则 a2－ b2＝8
A
分层练习-基础
3.[2024·宁波海曙区期中]下列命题中，原命题和逆命题都是
真命题的是(　D　)
A. 若 a ＝ b ，则 a2＝ b2
B. 若 a ＞ b ，则 a2＞ b2
C. 若 a ＜ b ，则 a2＜ b2
D. 若 a ＝± b ，则 a2＝ b2
D
分层练习-基础
分层练习-基础
4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假.
(1)两直线平行，同旁内角互补.
逆命题： .(　真命)
(2)如果 a ＝0， b ＝0，那么 ab ＝0.
逆命题： .
(　假命题　)
同旁内角互补，两直线平行　
真命题
如果 ab ＝0，那么 a ＝0， b ＝0　
假命题
分层练习-基础
知识点二：互逆定理
5.下列定理中，没有逆定理的是(　C　)
A. 两直线平行，内错角相等
B. 全等三角形的对应边相等
C. 对顶角相等
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C
分层练习-基础
6.说法中正确的是(　A　)
A. 命题一定有逆命题
B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题
D. 假命题的逆命题一定是假命题
A
分层练习-基础
知识点三： 线段垂直平分线性质定理的逆定理
7.如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，且 BC ＝ BD ＋ AD ，则
点 D 在线段(　B　)
A. AB 的垂直平分线上
B. AC 的垂直平分线上
C. BC 的垂直平分线上
D. 不能确定
B
分层练习-基础
8.如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线，
AC 的垂直平分线分别交 AC ， AD ， AB 于点 E ， O ，
F ，连结 OB ， OC .
(1)求证：点 O 在 AB 的垂直平分线上；
【证明】∵ AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD ⊥ BC ，
∴ AD 是 BC 的垂直平分线，
∴ BO ＝ CO . ∵ OE 是 AC 的垂直平分线，
∴ AO ＝ CO ，
∴ BO ＝ AO ，∴点 O 在 AB 的垂直平分线上.
分层练习-基础
【解】∵ AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线，∠ CAD ＝24°，∴∠ BAD ＝∠ CAD ＝24°，∴∠ BAC ＝48°.∵ OE ⊥ AC ，∴∠ EFA ＝90°－48°＝42°.
∵ AO ＝ OB ，∴∠ OBA ＝∠ BAD ＝24°，
∴∠ BOF ＝∠ EFA －∠ OBA ＝42°－24°＝18°.
(2)若∠ CAD ＝24°，求∠ BOF 的度数.
分层练习-基础
分层练习-基础
9.命题“同角的余角相等”的逆命题是
.
如果两个角相等，
那么这两个角为同一个角的余角　
易错点：不能正确找出命题的条件和结论而出错
10.下列四个命题：
①同位角相等，两直线平行；
②等边三角形的三个内角相等；
③全等三角形的对应边相等；
④等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线相互重合.
它们的逆命题是真命题的有(　D　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
D
分层练习-巩固
分层练习-巩固
11.[新视角结论开放题]分别写出符合下列条件的两个原命题：
(1)原命题和逆命题都是真命题；
两直线平行，同位角相等；和为180°的两个角互补.
(2)原命题是假命题，但逆命题是真命题；
【解】相等的两个角是对顶角；三角形中如果有两个角为锐角，那么第三个角为钝角.
【解】(答案不唯一)
(3)原命题是真命题，但逆命题是假命题；
【解】数学是理科；若一个数是负数，则它的平方是正数.
(4)原命题和逆命题都是假命题.
【解】若 a ＞ b ，则 a2＞ b2；若 a ＞ b ，则 ＜ .
分层练习-巩固
12.如图，在△ AOB 中， OC 平分∠ AOB ， CD ⊥ OA 交 OA
的延长线于点 D ， CE ⊥ OB 于点 E ， OB － OA ＝2 BE .
(1)求证： OD ＝ OE ；
【证明】∵ OC 平分∠ AOB ， CD ⊥ OA ， CE ⊥
OB ，∴∠ COE ＝∠ COD ，∠ CEO ＝∠ D ＝90°.
又∵ CO ＝ CO ，
∴△ COE ≌△ COD ( AAS )，
∴ OD ＝ OE .
分层练习-巩固
(2)求证：点 C 在 AB 的垂直平分线上.
【证明】如图，在 BO 上取点 F ，使 OF ＝ OA ，连结
CA ， CF ， CB ，
∵ OA ＝ OF ，∠ COD ＝∠ COE ， CO ＝ CO ，
∴△ ACO ≌△ FCO ( SAS )，∴ AC ＝ FC .
∵ OB － OA ＝2 BE ，∴ OB － OF ＝ BF ＝2 BE ，
∴ BE ＝ FE .
又∵ CE ⊥ OB ，∴ CB ＝ CF .
∴ AC ＝ CB ，
∴点 C 在 AB 的垂直平分线上.
分层练习-巩固
分层练习-拓展
13.命题：如图，已知△ ABC 是等边三角形， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 上的点.若 AD ＝ BE ＝ CF ，则△ DEF 是等边三角形；
(1)请证明上面的结论；
【证明】∵ △ ABC 是等边三角形，
∴ ∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°， AC ＝ AB ＝ BC .
∵ AD ＝ BE ＝ CF ，∴ BD ＝ CE ＝ AF .
在△ ADF 和△ BED 中，∵
∴△ ADF ≌△ BED ( SAS )，∴ DF ＝ DE ，
同理△ BED ≌△ CFE ( SAS )，∴ DE ＝ EF ，
∴ DF ＝ DE ＝ EF ， ∴ △ DEF 是等边三角形.
分层练习-拓展
(2)请写出它的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，
请说明理由.
【解】逆命题是：已知△ ABC 为等边三角形， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 上的点.
若△ DEF 是等边三角形，则 AD ＝ BE ＝ CF .
逆命题是真命题.
理由如下：∵△ DEF 是等边三角形，
∴∠ EDF ＝∠ EFD ＝∠ DEF ＝60°， DF ＝ EF ＝ DE . ∴∠ ADF ＋∠ BDE ＝120°.
分层练习-拓展
∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°.
∴∠ ADF ＋∠ AFD ＝120°，∴∠ AFD ＝∠ BDE .
在△ ADF 和△ BED 中，∵
∴△ ADF ≌△ BED . ∴ AD ＝ BE .
同理可得 BE ＝ CF ，∴ AD ＝ BE ＝ CF .
分层练习-拓展
课堂反馈
逆命题与逆定理
1.在两个命题中，如果第一个命题的 　条件　是第二个命题的 　结论　，而第一个命题的 　结论　是第二个命题的 　条件　，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 　逆命题　.
2. 如果一个定理的 　逆命题　能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的 　逆定理　，这两个定理叫做 　互逆定理　.
3.到线段 　两端距离　相等的点在线段的 　垂直平分线　上.
条件
结论
结论
条件
逆命题
逆命题
逆定理
互逆定理
两端距离
垂直平分线
概念
课堂小结
互逆命题
与
互逆定理
互逆命题
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的条件
概念
线段垂直平分线性质定理的逆定理
概念
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.