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专题2.5.有理数的乘方
1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义；
2. 会求有理数的正整数指数幂；
3. 熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则；
4. 理解科学记数法的的概念；会用科学记数法表示较大的数；能将用科学记数法表示的数变回原数；
5. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心；体会科学记数法带来的优越性，感受数学中化繁为简的思想方法。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1、有理数乘方的概念 2
考点2、有理数乘方的运算 3
考点3、乘方运算的符号规律 4
考点4、有理数乘方的逆运算（简算） 5
考点5、偶次方的非负性的运用 7
考点6、有理数乘方的实际应用 9
考点7、有理数乘方的新定义问题 11
考点8、用科学记数法表示大于1的数 14
考点9、用科学记数法表示大于1的数（含计算） 16
考点10、将用科学记数法表示的数变回原数 18
模块3：能力培优 20
1. 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。
求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。
2．整数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。
3.科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
注意：用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
考点1、有理数乘方的概念
【解题方法】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，即：。
在中，叫做底数， n叫做指数。
例1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可．
【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意；
B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意；
C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意；
D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意，故选：D．
变式1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的乘方，中，叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂．
【详解】在中，底数是，指数是，幂是．故答案为：；；
变式2．（23-24七年级上·山西临汾·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数的运算，分别根据乘方和乘法的意义求解．找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：∵，，∴．故选：B．
考点2、有理数乘方的运算
【解题方法】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
例1．（2023春·上海静安·七年级校考期中）下列各式中，正确的是 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
变式1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；故选：D．
变式2．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）已知在，，，这4个数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把各数进行计算，再根据有理数大小比较的法则进行比较即可．
【详解】解：，，，，
∵，∴这四个数中，最大的数是．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方，熟练掌握有理数乘方运算及比较大小法则是解题关键．
考点3、乘方运算的符号规律
【解题方法】乘方的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
例1．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，，0中，只有0是非负数．故选：A．
变式1．（2023·广西·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键．
变式2．（2023·广东·七年级期中）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①与；②与；③与；④与
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据相反数的定义逐一解答．
【详解】解：a，b互为相反数，则，即与不互为相反数；
a，b互为相反数，则，故，即与互为相反数：
a，b互为相反数，则，，即与互为相反数，与不互为相反数，
则互为相反数的有②③故选：C．
【点睛】本题考查相反数的意义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据乘方的定义即可依次判断．
【详解】解：A、是负数，则，不符合题意；
B、是负数，则，不符合题意；C、是负数，则，不符合题意；
D、，不符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方，解题的关键是熟知乘方的运算法则．
考点4、有理数乘方的逆运算（简算）
【解题方法】性质：
例1．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：
①与； ②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么 （直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4）
【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；
（2）根据（1）的结果即可得到答案；
（3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想；
（4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）①，
；
②，
；
（2）；
（3），理由如下：
；
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键．
变式1．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
【答案】B
【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得．
【详解】解：原式．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键．
变式2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键．
【详解】∵∴∴∴，故选：D．
变式3．（2023·山东枣庄·统考一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，∴
∴，，．故选：A．
【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键．
考点5、偶次方的非负性的运用
例1．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，根据绝对值的非负性及乘方的非负性即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，即：，
，即：，
故答案为：，2．
例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（ ）
A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于
【答案】B
【分析】此题考查非负数的性质，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，，解题的关键是掌握偶次方的非负性．
【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意；
、∵，∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意；
、当时，，此选项说法错误，不符合题意；
、∵，则，∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意；
故选：．
变式1．（22-23七年级上·云南昆明·期中）若，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键；根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后再把a、b代入求值即可．
【详解】解：，，，，，
．故答案为：0
变式2．（23-24七年级·上海宝山·期中）若，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方与绝对值的非负性，有理数的乘方．解题的关键在于正确的求解．由解出的值，代入求解即可．
【详解】解：由题意知解得
∴故答案为：．
考点6、有理数乘方的实际应用
【解题方法】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（ ）
A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的应用，列出等式是解此题的关键．先计算出装满一瓶的细菌，个，设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶，则，再根据1小时分，求解即可．
【详解】解：一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，分钟分裂成个，一个细菌经过1小时的繁殖能使瓶子充满，
设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶．
，，
小时分，，故选：B
例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条．
【答案】256
【分析】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：∵第1次后可拉出2根，第2次后可拉出根，第3次后可拉出根，…
∴第8次后可拉出根，，故答案为：256．
例3．（23-24七年级·山东淄博·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答．
【详解】解：；故答案为：．
变式1．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（ ）
A．1234 B．310 C．60 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果．
【详解】解：根据题意得：（只），
答：他所放牧的羊的只数是310只．故选：B．
变式2．（22-23七年级·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（ ）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算．
【详解】解：，，故选：B
变式3．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后截去的木棒长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据有理数的乘方解决此题．
【详解】解：第一次截去一半，剩余的木棒的长度为；
第二次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的长度为；
第三次截去剩下部分的一半，剩余的木棒的长度为；
以此类推，截完第七次，剩余的木棒的长度为．
∴截完第7次后，截去的木棒总长度为（米）．故选：A．
变式4．（2023·河南南阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴尾数，，，的规律是4个数一循环，
∵，∴的个位数字是，
又∵，∴的结果的个位数字与的个位数字相同，
∴的结果的个位数字是．故选：A．
【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
考点7、有理数乘方的新定义问题
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）用“※”定义一种新运算，规定，如，
(1)求的值；(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义下的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．
（1）根据新定义计算即可；
（2）根据新定义的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：；
（2），
．
例2．（23-24七年级上·云南昆明·期中）【概念学习】
规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果________， ________，________．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
________， ________，________．
（3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________．
【答案】（1），，；（2）,,;（3）
【分析】本题考查了有理数的乘方；
（1）根据的圈次方的定义进行计算即可求解；
（2）根据的圈次方的定义进行计算即可求解；
（3）根据（2）的结论即可求解．
【详解】解：（1）；
；
；
故答案为：，，．
（2），
；
故答案为：,,；
（3）由题意，根据（2）中规律可得，
故答案为：．
变式1．（2023·湖南·七年级校考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______．
【答案】8
【分析】根据运算律，先算括号内，再算括号外即可
【详解】解：故答案为
【点睛】此题考查了有理数的混合运算、新定义，解决本题的关键是会用新定义解答问题
变式2．（2023·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______．
【答案】1
【分析】根据题意计算前几次结果，找到规律即可求解．
【详解】解：第一次：，第二次：
∵其中k是使为奇数的正整数，∴∴第二次运算：，
第三次：∵∴计算结果为
第五次：，第六次：，∵∴，计算结果为，……
依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1，
∴第2020次“F运算”的结果是1．故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键．
变式3．（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______；
（2）( )．
【答案】
【分析】根据乘方的性质，求解即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，设，则，故答案为：，
【点睛】此题考查了乘方的运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握乘方运算规则．
考点8、用科学记数法表示大于1的数
【解题方法】科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．
注意：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n；②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号；③将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。
例1．（2024·辽宁·二模）我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为千米，数据用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，熟悉掌握科学记数法是解题的关键．
根据科学记数法的表示方法进行化简即可．
【详解】解：，故选：B．
例2．（2024·浙江杭州·二模）2024年春节假期期间，“人从众”的火热场面在浙江各大景点持续“上演”．统计表明，春节假期期间，浙江省累计接待游客3032.6万人次，按可比口径较上年增长25.3%．将数据3032.6万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：数据3032.6万用科学记数法表示为．故选：D．
变式1．（2024·湖南长沙·二模）中科院国家天文台基于我国郭守敬望远镜和美国巡天的观测数据，精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量．其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将“8050亿”写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：“8050亿”，故选D．
变式2．（2024·山西忻州·三模）祖冲之是世界上第一位将圆周率计算到小数点后第7位的数学家，截至2024年3月14日，人类已经将圆周率计算到小数点后约105万亿位．从最初的小数点后几位，到如今的小数点后105万亿位，每一次精度的提升都代表着人类计算能力的巨大进步．数据105万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：105万亿，故选：B．
考点9、用科学记数法表示大于1的数（含计算）
【解题方法】此类问题需先计算出所需科学记数法表示的原始数据，再根据考点1中的方法求解即可。
例1．（23-24七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把一个数表示成的形式，其中，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答.
【详解】∵22亿元= ，∴，故选：B.
【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，此题正确列式计算是难点.
例2．（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（ ）
A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦
【答案】B
【分析】本题考查的是数字的变化规律，科学记数法，根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得50千焦的能量，那么需要需要提供千焦的能量，以此类推，设需要需要提供千焦的能量，然后用科学记数法表示即可．
【详解】解：根据题意，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，∴，故选：B．
变式1．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水为升，再根据科学记数法表示绝对值较大的数的方法表示出250000．
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法形式：，其中，n为正整数，的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
【详解】∵，∴．故选：C．
变式2．（23-24七年级上·广东·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：(1)一粒大米重约多少克？(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；(3)若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；(4)经过以上计算，你有何感想和建议？
【答案】(1)0.02克(2)千克(3)元(4)答案不唯一，见解析
【分析】（1）用50粒大米的总重量除以50 ，即可求解；（2）根据题意，列出算式求解即可；
（3）根据题意，列出算式求解即可；（4）根据实际情况进行分析，言之有理即可．
【详解】（1）解：（克），
答：粒大米重约克；
（2）解：（千克），
答：一年大约能节约大米千克；
（3）解：（元），
答：卖得人民币元．
（4）解：一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大得惊人．所以提倡节约，杜绝浪费﹐我们要行动起来．（合理即可）
【点睛】本题主要考查了用有理数的混合运算，科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
考点10、将用科学记数法表示的数变回原数
【解题方法】解题的关键是掌握将科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
例1．（2024·河北邢台·模拟预测）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.确定a的值以及n的值是解题的关键．
先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．
【详解】解：，原数中“0”的个数为8，故选：B．
例2．（2024·河北邯郸·二模）月球到地球近地点的距离约为千米，则是（ ）
A．4位数 B．5位数 C．6位数 D．7位数
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记数法的表示方法，将变成原数，然后进行求解即可．
【详解】解：∵变成原数为，∴是6位数．故选：C．
变式1．（2024·山东泰安·二模）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记算法将恢复原数，然后得出答案即可．
【详解】解：，即原数中0的个数为5个．故选：C．
变式2．（2024·河北邯郸·模拟预测）是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．数据“”的位数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法；
根据科学记数法把数据还原，然后可得答案．
【详解】解：∵，∴数据“”的位数为12，故选：B．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024年浙江省嘉兴市中考三模数学试题）2023年嘉兴市生产总值（GDP）7062.45亿元，用科学记数法表示7062.45亿，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】用科学记数法表示7062.45亿为．
故选：A．
2．（2024·广东深圳·三模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入“地月转移”轨道，由此开启世界首次“月背挖宝”之旅．该探测器近地点高度约200千米，远地点高度约38万千米．数据38万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：38万，
故选：C
3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度
【答案】D
【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次操作后纸张的厚度，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
第1次操作后的厚度为：；第2次操作后的厚度为：；
第3次操作后的厚度为：；，所以第次操作后的厚度为：；
当时，，
所以第10次操作后的厚度最接近于一支中性笔的长度．故选：D．
4．（23-24七年级·上海黄浦·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的相关运算法则．根据有理数得到加法法则、有理数的乘法和有理数的乘方，逐一判断即可．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D符合题意；故选：D．
5．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（ ）
A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的
C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等
【答案】A
【分析】分类讨论的奇偶性，结合乘方的意义化简即可．
【详解】解：当为偶数时，，即此时这两个式子互为相反数，
当为奇数时，，即此时这两个式子相等．故选A．
【点睛】本题考查有理数的乘方，相反数的定义．熟练掌握乘方的意义并利用分类讨论的思想是解题关键．
6．（2023·湖北恩施·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的运算法则，逐项代入计算并比较即可．
【详解】解：A、；B、；
C、；D、；
∵，∴结果最小的运算为C选项，故选：C．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题关键．
7．（2023·广东东莞·七年级期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻烦
【答案】B
【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解．
【详解】解：＝1×8＝8故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．
8．（2023·福建厦门·七年级校考期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（ ）
A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个
C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
【答案】A
【分析】假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则m次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解．
【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”．
每次改变其中的个数，经过m次点名，
①当为偶数时，若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变；
若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变；
故当为偶数时，每次改变其中的个数，其积的符号不变，那么m次点名后，乘积仍然是“”，
故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
②当为奇数时，若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变；
若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变；
故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变，那么m次点名后，
若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数；
综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误；故选：A．
【点睛】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断，熟练掌握有理数乘法中符号法则与分类讨论的思想方法是解答此题的关键．
9．（2023·广东东莞·九年级校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A． B．4039 C．8124 D．16304
【答案】B
【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数．
【详解】解：根据题意知：早晨6时30分有2人进公园，则，
第一个30min内有4人进去并出来1人，则，
第二个30min内进去8人并出来2人，则，
第三个30min内进去16人并出来3人，则，
第四个30min内进去32人并出来4人，则，……
∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为，
∴到上午11时30分公园内的人数为：
设，
∴，，
∴，
∴，，
∴
．故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律．
10．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】通过观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，得出的个位数字与的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．即可知的个位数字，从而得到221+311的末位数字．
【详解】解：由题意可知，，，，，，，，，，
即末位数字是每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6，
，的末位数字与的末位数字相同，为2；
由题意可知，，，，，，，
以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，，
所以的个位数字是7，所以的个位数字是9，故选：D．
【点睛】本题考查的是尾数特征，规律型：数字的变化类，根据题意找出数字循环的规律是解答此题关键．
11．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以得到阴影部分的面积．
【详解】解：由图可得，阴影部分的面积是，故选：C．
12．（2022·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可.
【详解】∵，∴>0，即总是正数，(1)正确；
∵， ，∴当即a=0时，，故是正数；
当时，则，即，故是正数；故（2）正确；
的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误．故选：B.
【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2024年上海市中考数学试题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示）
【答案】
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍，故答案为：．
14．（2024·江苏南京·一模）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先计算，同时根据乘方意义把改写成，然后利用乘法结合律计算即可．
【详解】解：原式，故答案为：．
15．（2023·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______.
【答案】 3 4
【分析】根据幂的定义：形如中a是底数，n是指数，及乘方计算法则计算解答．
【详解】解：中，底数是3，指数是4，，故答案为：3，4，．
【点睛】此题考查了幂的定义，有理数的乘方计算法则，熟记定义及计算法则是解题的关键．
16．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 ．
姓名：张小琴 得分： 填空（每小题25分，共100分） ①的底数是；②的立方是；③若，则；④若，则．
【答案】25
【分析】本题考查了幂的定义，有理数的乘方运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握这些基础知识点．
【详解】解：①的底数是2，故错误；②的立方是，故错误；
③∵，∴，，∴，，∴，故正确；
④若，则，故错误；则小琴同学的得分是．故答案为：25．
17．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算：
【答案】0
【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可．
【详解】解：原式，故答案为：0．
18．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________
(3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子：
________________________________ ________________________________
【答案】(1)6(2)(3)；
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．()根据题意列出算式，找出积最大值即可；()根据题意列出算式，找出商最小值即可；()利用“点”游戏规则列出算式即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，故最大值为；
（2）解：，故最小值为；
（3）解：根据题意得：；，
即符合题意的式子为：；．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【分析】（）利用有理数加减法则计算即可；（）利用有理数乘除法则计算即可；；
（）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；（）先算乘法，最后算加减即可；
（）先计算乘方和化简绝对值，再计算除法，最后计算加减法；
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
；
（3）解：原式，
，
；
（4）解：原式，
，
；
（5）解：原式，
，
．
20．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．
(1)求第二个正方体纸盒的棱长；(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？
【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为
(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多
【分析】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式．
（1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可；
（2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：，
第二个正方体纸盒的体积为：，
∵，∴第二个正方体纸盒的棱长为；
（2）解：，
答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多．
21．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，
例：二进制数10010转化为十进制数：；
其他进制也有类似的算法…
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；
(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
【答案】(1)(2)(3)42天
【分析】本题考查了有理数乘方的应用；（1）根据题目信息直接进行计算即可；
（2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可；
（3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可．
【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是，
故答案为：；
（2）将八进制数“4372”转化为十进制数；
（3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，
所以孩子已经出生的天数为天．
22．（2023·江苏·七年级专题练习）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125
【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．
（2）根据有理数乘方的定义求出即可；
（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．
(1)解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1．
(2)解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案为：ab，anbn，abc，anbncn．
(3)解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键．
23．（2024·山东·七年级校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
【答案】(1)(2)不能，理由见解析，改编规则见解析，范围为至
【分析】（1）根据规定了运算法则进行计算即可求解；
（2）根据有理数的混合运算进行计算，得出最大的班级变号为，则不能被全部被识别，改编为：改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，根据有理数的混合运算进行计算可得知新系统规则可表示的班级编号范围．
【详解】（1）解：图3中，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，则序号为，
故答案为：；
（2）不能，∵，
∴不能用该系统全部识别；
∵最多只能表示个数字，要表示大于的数字，则需加一位，
改编为：规定，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，加入第二行第一个小正方形，
规则不变，序号改为：，
如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，第二行第1个数字为1，
序号为，
第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，第二行第1个数字为1，
序号为，
当第一行数字从左到右依次为1，1，1，1，第二行第1个数字为1，
序号最大，为，
∴改编后的新系统规则可表示的班级编号范围为至．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
24．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如，记作，读作“2的引4次商”；一般地，把（，，且为整数）记作，读作“a的引n次商”．
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)归纳：负数的引正奇数次商是______数，负数的引正偶数次商是______数（填“正或负”）；
(3)计算：．
【答案】(1)4，；(2)负，正；(3)76．
【分析】（1）利用除方的定义解答即可；
（2）先根据定义求得，再根据负数的乘方即可解答；
（3）利用题干中给的除方定义以及有理数的混合运算法则解答即可．
【详解】（1）解：，
，故答案为∶4，；
（2）解：∵当，且
∴当n为奇数时，有为奇数，即，
当n为偶数时，有为偶数，即，
∴负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数，故答案为：负，正；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、乘方以及新定义．本题是阅读型题目，理解题干中的定义与法则并熟练应用是解题的关键．
25．（2023·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
【答案】(1)9 (2)；35
【分析】（1）根据例子可知：若二进制的数有位，那么换成十进制，等于每一个数位上的数乘以2的方，再相加即可；（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：；故答案为：9；
（2）解：
，
．故答案为：；35．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算．关键是能根据范例，达到举一反三的目的．
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专题2.5.有理数的乘方
1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义；
2. 会求有理数的正整数指数幂；
3. 熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则；
4. 理解科学记数法的的概念；会用科学记数法表示较大的数；能将用科学记数法表示的数变回原数；
5. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心；体会科学记数法带来的优越性，感受数学中化繁为简的思想方法。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1、有理数乘方的概念 2
考点2、有理数乘方的运算 3
考点3、乘方运算的符号规律 4
考点4、有理数乘方的逆运算（简算） 5
考点5、偶次方的非负性的运用 7
考点6、有理数乘方的实际应用 9
考点7、有理数乘方的新定义问题 11
考点8、用科学记数法表示大于1的数 14
考点9、用科学记数法表示大于1的数（含计算） 16
考点10、将用科学记数法表示的数变回原数 18
模块3：能力培优 20
1. 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。
求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。
2．整数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。
3.科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）．
注意：用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少．
考点1、有理数乘方的概念
【解题方法】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，
即：；在中，叫做底数， n叫做指数。
例1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2
变式1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）在中，底数是 ，指数是 ，幂是 ．
变式2．（23-24七年级上·山西临汾·期末）（ ）
A． B． C． D．
考点2、有理数乘方的运算
【解题方法】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
例1．（2023春·上海静安·七年级校考期中）下列各式中，正确的是 ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）已知在，，，这4个数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
考点3、乘方运算的符号规律
【解题方法】乘方的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。
例1．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2023·广西·七年级校考阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
变式2．（2023·广东·七年级期中）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①与；②与；③与；④与
A．0 B．1 C．2 D．3
变式3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点4、有理数乘方的逆运算（简算）
【解题方法】性质：
例1．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：
①与； ②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么 （直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
变式1．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
变式2．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可以表示为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·山东枣庄·统考一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（ ）
A． B．2 C．1 D．4
考点5、偶次方的非负性的运用
例1．（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ．
例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（ ）
A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于
变式1．（22-23七年级上·云南昆明·期中）若，则 ．
变式2．（23-24七年级·上海宝山·期中）若，那么 ．
考点6、有理数乘方的实际应用
【解题方法】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（ ）
A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时
例2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条．
例3．（23-24七年级·山东淄博·期中）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的 ．
变式1．（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（ ）
A．1234 B．310 C．60 D．10
变式2．（22-23七年级·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（ ）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
变式3．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后截去的木棒长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
变式4．（2023·河南南阳·统考一模）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
考点7、有理数乘方的新定义问题
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）用“※”定义一种新运算，规定，如，
(1)求的值；(2)求的值．
例2．（23-24七年级上·云南昆明·期中）【概念学习】
规定：若求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般的，我们把记作，读作“的圈次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果________， ________，________．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：
________， ________，________．
（3）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________．
变式1．（2023·湖南·七年级校考期中）定义一种运算符号“★”：，如：，那么的结果是_______．
变式2．（2023·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______．
变式3．（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1）______；
（2）( )．
考点8、用科学记数法表示大于1的数
【解题方法】科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．
注意：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n；②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号；③将计数单位改写为具体的数，再根据科学计数法表示即可。如：1万=10000；1亿=100000000。
例1．（2024·辽宁·二模）我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为千米，数据用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
例2．（2024·浙江杭州·二模）2024年春节假期期间，“人从众”的火热场面在浙江各大景点持续“上演”．统计表明，春节假期期间，浙江省累计接待游客3032.6万人次，按可比口径较上年增长25.3%．将数据3032.6万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·湖南长沙·二模）中科院国家天文台基于我国郭守敬望远镜和美国巡天的观测数据，精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量．其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·山西忻州·三模）祖冲之是世界上第一位将圆周率计算到小数点后第7位的数学家，截至2024年3月14日，人类已经将圆周率计算到小数点后约105万亿位．从最初的小数点后几位，到如今的小数点后105万亿位，每一次精度的提升都代表着人类计算能力的巨大进步．数据105万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
考点9、用科学记数法表示大于1的数（含计算）
【解题方法】此类问题需先计算出所需科学记数法表示的原始数据，再根据考点1中的方法求解即可。
例1．（23-24七年级上·山西·期中）献礼新中国成立周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约亿元，平均每张票约元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·河南漯河·二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（ ）
A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦
变式1．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24七年级上·广东·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：(1)一粒大米重约多少克？(2)按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；(3)若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；(4)经过以上计算，你有何感想和建议？
考点10、将用科学记数法表示的数变回原数
【解题方法】解题的关键是掌握将科学记数法还原的法则：将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
例1．（2024·河北邢台·模拟预测）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
例2．（2024·河北邯郸·二模）月球到地球近地点的距离约为千米，则是（ ）
A．4位数 B．5位数 C．6位数 D．7位数
变式1．（2024·山东泰安·二模）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式2．（2024·河北邯郸·模拟预测）是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．数据“”的位数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024年浙江省嘉兴市中考三模数学试题）2023年嘉兴市生产总值（GDP）7062.45亿元，用科学记数法表示7062.45亿，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·三模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入“地月转移”轨道，由此开启世界首次“月背挖宝”之旅．该探测器近地点高度约200千米，远地点高度约38万千米．数据38万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度
4．（23-24七年级·上海黄浦·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）式子与的正确判断是（ ）
A．当为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的
C．当为奇数时，它们互为相反数 D．为偶数时它们相等
6．（2023·湖北恩施·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广东东莞·七年级期中），由此你能算出（ ）
A．6 B．8 C． D．十分麻烦
8．（2023·福建厦门·七年级校考期中）七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（ ）
A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
B．当n为偶数时，无论m何值，对下的学生人数不可能为偶数个
C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
9．（2023·广东东莞·九年级校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A． B．4039 C．8124 D．16304
10．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
11．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·四川成都·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2024年上海市中考数学试题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示）
14．（2024·江苏南京·一模）计算的结果是 ．
15．（2023·广东广州·七年级统考期末）在中，底数是______，指数是______.计算：______.
16．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 ．
姓名：张小琴 得分： 填空（每小题25分，共100分） ①的底数是；②的立方是；③若，则；④若，则．
17．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算：
18．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________
(3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子：
________________________________ ________________________________
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
20．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大．
(1)求第二个正方体纸盒的棱长；(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？
21．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，
例：二进制数10010转化为十进制数：；
其他进制也有类似的算法…
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；
(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
22．（2023·江苏·七年级专题练习）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
23．（2024·山东·七年级校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．
(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．
(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“”、“”，结合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．
24．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如，记作，读作“2的引4次商”；一般地，把（，，且为整数）记作，读作“a的引n次商”．
(1)直接写出计算结果：______，______；
(2)归纳：负数的引正奇数次商是______数，负数的引正偶数次商是______数（填“正或负”）；
(3)计算：．
25．（2023·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和，它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：
；；
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：；，用竖式运算如右侧所示．．
(1)按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ．(2)计算： （结果仍用二进制数表示）； （结果用十进制数表示）．
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