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浙教版2024-2025学年七年级上数学第2章有理数的运算 培优测试卷3
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．计算下列各式，值最大的是（ ）
A．1﹣（﹣2） B．1+（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）
2． 2023年9月23日晚，杭州亚运会开幕式现场，超过1.05亿名线上火炬手汇聚而成的“数字火炬手”与现场真实的火炬手一起，共同点燃亚运之火，创造了新的吉尼斯世界纪录．其中数据1.05亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．算式之值为何？（ ）
A． B． C． D．
4．2024年，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行．如图，将5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示，那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是（ ）
A．纽约时间7月26日14时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分
C．北京时间7月27日3时30分 D．汉城时间7月26日3时30分
5．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
6．汽车油箱中有汽油20L，行驶的平均耗油量为0.1L/km，则汽车最多能行驶（ ）
A．100km B．200km C．300km D．400km
7．池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，若经过13天就可以长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘需要（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
8．某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是（ ）
A．3 B．2 C． D．
9．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（ ）
A．1234天 B．466天 C．396天 D．284天
10．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算： .
12．的绝对值的倒数是 ．
13．已知，则 ．
14．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，的绝对值为5，则式子的值为 ．
15．观察下列等式：，，，，，，则的结果的个位数是 ．
16．把20分成若干个自然数的和，使它们的乘积最大是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
18． 某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示．
（1）问地毯至少需要多少米？
（2）若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？
19．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出______， ____， ____．
（2）求的值．
20．已知算式“”．
（1）请你计算上式结果；
（2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数；
（3）淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
21． 我们定义一种新运算“*"：a *b=a2-b+ab．例如：1 * 2=12-2+1×2=1．
（1）求2* (- 3)的值．
（2）求(-2) *[2* (-5)]的值．
22．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，．
（1）若，求的值；
（2）当点为原点，且时，求“”所表示的数．
23．（1）①填空21﹣20＝2（ ）；②22﹣21＝2（ ）；③23﹣22＝2（ ）；……
（2）请用字母表示第n个等式，并验证你的发现.
（3）利用（2）中你的发现，求20+21+22+23+…+22021+22022的值.
24． 给出如下 个平方数： ，规定： 可以在其中的每个数前任意添上“十”号或“一”号， 所得的代数和记为 .
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得： 且 最小.
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得： 且 最小.
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浙教版2024-2025学年七年级上数学第2章有理数的运算 培优测试卷3
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．计算下列各式，值最大的是（ ）
A．1﹣（﹣2） B．1+（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）
【答案】A
2． 2023年9月23日晚，杭州亚运会开幕式现场，超过1.05亿名线上火炬手汇聚而成的“数字火炬手”与现场真实的火炬手一起，共同点燃亚运之火，创造了新的吉尼斯世界纪录．其中数据1.05亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．算式之值为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．2024年，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行．如图，将5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示，那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是（ ）
A．纽约时间7月26日14时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分
C．北京时间7月27日3时30分 D．汉城时间7月26日3时30分
【答案】B
5．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．汽车油箱中有汽油20L，行驶的平均耗油量为0.1L/km，则汽车最多能行驶（ ）
A．100km B．200km C．300km D．400km
【答案】B
7．池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，若经过13天就可以长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘需要（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】D
8．某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
9．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2所表示孩子出生后的天数是（ ）
A．1234天 B．466天 C．396天 D．284天
【答案】B
10．实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由绝对值的几何意义可知：当-3a-1时，=-1-（-3）=2，
当-2≤b≤5时，的最小值=5-（-2）=7，
∵ ，
∴-3a-1，-2≤b≤5，
∴当a=-3，b=5时，代数式 的值最小，
∴最小值n=2×（-3）×5+2×（-3）+5=-31；
当a=-3，b=-2时，代数式 的值最大，
∴最大值m=2×（-3）×（-2）+2×（-3）-2=4，
∴m+n=4-31=-27.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算： .
【答案】
12．的绝对值的倒数是 ．
【答案】5
13．已知，则 ．
【答案】或
14．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，的绝对值为5，则式子的值为 ．
【答案】或
15．观察下列等式：，，，，，，则的结果的个位数是 ．
【答案】7
16．把20分成若干个自然数的和，使它们的乘积最大是 ．
【答案】
【解析】2+2+2=3+3,而23<32，所以尽可能多的分3来
20=3+3+3+3+3+3+2,
3×3×3×3×3×3×2=1458。
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18． 某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示．
（1）问地毯至少需要多少米？
（2）若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？
【答案】（1）解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米，
∴地毯的长度为（米），
答：地毯至少需要11.6米；
（2）解：地毯的面积为（平方米），
∴买地毯至少需要（元），
答：买地毯需要1044元．
19．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出______， ____， ____．
（2）求的值．
【答案】（1）0，1，；
（2）1或
20．已知算式“”．
（1）请你计算上式结果；
（2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数；
（3）淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
【答案】（1）
（2）嘉嘉把“8”错写成了3
（3）淇淇的计算结果比原题的正确结果大10
21． 我们定义一种新运算“*"：a *b=a2-b+ab．例如：1 * 2=12-2+1×2=1．
（1）求2* (- 3)的值．
（2）求(-2) *[2* (-5)]的值．
【答案】（1）∵a·b=a2- b+ab，
∴2*(-3)
=22-(-3)+2×(-3) ．
=4+3+(-6)
=1．
（2）∵a·b=a2-b+ab，
∴(-2)*[2*(-5)]
=(-2)*[22-(-5)+2×(-5)]
=(-2)*[4+5+(-10)]
=(-2)*(-1)
=(-2)2-(-1)+(-2)×(-1)
=4+1+2
=7．
22．如图，整数，，在数轴上分别对应点，，．
（1）若，求的值；
（2）当点为原点，且时，求“”所表示的数．
【答案】（1）．
（2）“”表示的数是．
23．（1）①填空21﹣20＝2（ ）；②22﹣21＝2（ ）；③23﹣22＝2（ ）；……
（2）请用字母表示第n个等式，并验证你的发现.
（3）利用（2）中你的发现，求20+21+22+23+…+22021+22022的值.
【答案】（1）0；1；2
（2）解：观察可得：2n-2n-1=2n-1（n为正整数），证明如下：
2n-2n-1=2×2n-1-2n-1=2n-1×（2-1）=2n-1；
（3）解：∵21-20=20，
22-21=21，
23-22=22，
…
22023-22022=22022，
∴22023-20=20+21+22+23+…+22020+22022，
∴20+21+22+23+…+22021+22022的值为22023-1.
24． 给出如下 个平方数： ，规定： 可以在其中的每个数前任意添上“十”号或“一”号， 所得的代数和记为 .
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得： 且 最小.
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得： 且 最小.
【答案】（1）解：当
或 时， 最小且最小值为 0 ；
（2）解：当 时，
① 给定的2045个数中有1023个奇数，
不管如何添置 “ + ” 和 “ - ” 号， 其代数和总为奇数，
所求的最终代数和大于等于 1 .
于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案；
② ，
对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为 0 ；
③若对 ，根据①每连续8个一组适当添加 “+ ” 和 “- ” 号，使每组的代数和为0，然后对 进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为 1 .
④在对 的设计过程中，有一种方案： ，
又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为 4 ，
个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16 .
综上， 可行方案为：
首先对 ，根据①每连续8个一组适当添加 “+ ” 和 “ - ” 号，使每组的代数和为 0 ； 其次对 ，根据③适当添加 “+ ” 和 “ - ” 号，使每组的代数和为 16 ； 最后对 ， 作 设置，便可以使得给定的 2045个数的代数和为1，即 最小.
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