浙教版八年级上册 2.8 直角三角形全等的判定 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
SSS
SAS
ASA
AAS
我们学过的判定三角形全等的方法？
温故而知新！
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，
直角边是____、_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
前面学过的四种判定三角形全等的方法,
对直角三角形是否适用？
温故而知新！
A
B
C
A′
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
温故而知新！
如图，已知AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
我们知道，证明三角形全等不存
在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
温故而知新！
问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B=∠E=90°，
且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
A
B
C
D
E
F
1
温故而知新！
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°。再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °，B′C′=BC，A ′B ′=AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
作图探究
精彩来自发现
画图思路
（1）先画∠M C′ N=90°
A
B
C
M
C′
N
精彩来自发现
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
精彩来自发现
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
精彩来自发现
（4）连接A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
精彩来自发现
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
精彩来自发现
第2章 特殊三角形
2.8 直角三角形全等的判定
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由.
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等.（ ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等.（ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等. （ ）
（4）两直角边对应相等. （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
HL
×
SAS
AAS
AAS
试一试，我能行！
例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD ，
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
典型例题
变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
A
B
D
C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
典型例题
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.
求证：AC=BD.
变式2
HL
AC=BD
Rt△ABD≌Rt△BAC
典型例题
例2 如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
典型例题
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF，
AC=DF ，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF.
∵ ∠DEF+∠F=90°，
∴∠B+∠F=90°.
典型例题
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB ,
∴ PD= PE.
几何语言：
猜想:
思考：这个结论正确吗？
精彩来自发现
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP，
PD= PE，
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
精彩来自发现
性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
精彩来自发现
例4：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20 000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
典型例题
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
试一试，我能行！
A
F
C
E
D
B
2.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求证：BF=DE.
试一试，我能行！
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.
A
F
C
E
D
B
G
变式训练1
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
随堂即练
试一试，我能行！
如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗
变式训练2
C
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
随堂即练
试一试，我能行！
如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
分析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm.
头脑风暴
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm.
故当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
随堂即练
直角三角形全等的判定
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
角平分线
性质定理的逆定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
课堂小结