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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.2.1图形的旋转（一）六大题型（一课一练）
1．下列运动中不属于旋转的是（ ）
A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动
C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动
【答案】C
【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可
【详解】解：A. 摩天轮的转动，属于旋转，故不符合题意；
B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意；
C. 气球升空的运动,，属于平移，故符合题意；
D. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意；
故选：C
2．图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是熟练掌握旋转的定义．根据旋转的定义进行判断即可．
【详解】解：将它顺时针旋转后，只有B选项符合题意．
故选：B．
3．如图，在的网格纸中，的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，旋转后得到，则旋转中心是（ ）
A．点P B．点 C．点Q D．点R
【答案】C
【分析】本题考查的是旋转中心的确定，根据旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等可得答案.
【详解】解：如图，连接
∴的交点即为旋转中心；
故选C
4．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；
分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解．
【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形；
以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形；
以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形；
所以旋转中心有3个．
故选：C．
5．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理．利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，且点，，共线，
，，
．
故选：C．
6．如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，根据旋转前后对应边相等、对应角相等，可得，，，再用勾股定理解和即可．
【详解】解：由旋转知，，，
，
，
，
故选B．
7．如图，在等边三角形中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，则线段的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出，利用勾股定理求出．再根据旋转的性质得出，，那么是等边三角形，从而得到DE的长．
【详解】解：∵在等边中，，D是的中点，
∴，，
∴．
∵将绕点A旋转后得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选：A．
8．如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接，由题意得：，，得到为等边三角形，根据，，得出垂直平分，于是求出，，最终得到答案．
【详解】解：如图，连接，
由旋转的性质得：，，
∴为等边三角形，
∴，；
∵，，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴．
故选：D．
9．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】B
【分析】过点C作轴，垂足为D，则是等腰直角三角形，根据，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算的余数，确定最后的坐标，利用横坐标纵坐标计算即可．
【详解】如图，过点C作轴，垂足为D，如图所示：
把，代入得：，解得：，
∴，
把，代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点，
第一次旋转的坐标为，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为，第四次回到起点，
∴每4次一个循环，
∴，
∴第2024次变化后点的坐标为，
∴，故B正确．
故选：B．
10．如图，点为线段的中点，为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为2时，的长为（ ）．
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算等知识，构造全等三角形是解题的关键．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，利用证明，得，当C、H、D三点共线时，最大，从而求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴定值，
∵，
∴当D，C，H共线时，的值最大，如图2中，
设，
∵点C为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
11．下列现象中属于旋转的有 （填序号）
①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．
【答案】②④⑤
【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换．
【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移；
②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转，
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键．
12．如图，都是等边三角形．可由绕点 ， 方向，旋转 角度得到．
【答案】 顺时针
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，旋转的定义，由等边三角形的性质可得，，，进而得到，即可根据旋转的定义求解，掌握等边三角形的性质和旋转的定义是解题的关键．
【详解】解：∵都是等边三角形，
∴，，，
∴
即，
∴，
∴可由绕点顺时针方向旋转得到，
故答案为：，顺时针，．
13．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）
【答案】 旋转 平移
【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可．
【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系．
∴图形①经过旋转变换得到图形③；
图形①经过平移变换得到图形④．
故答案为轴对称；旋转；平移．
【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合．
14．如图，平南直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程 ．
【答案】将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）
【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由得到的过程．
【详解】解：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度得到，
故答案为：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度．
15．如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ．
【答案】B点
【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键．
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，点即为旋转中心．
故答案为：点．
16．如图，在中，，，，点D，E分别为、的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查三角形中位线定理、旋转的性质和分类讨论思想的应用，根据三角形中点得，，，则，由旋转的性质得，，，分情况讨论可得，利用线段和差关系即可．
【详解】解：∵，，点D，E分别为、的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∵绕着点B顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
故的长或．
17．如图，已知正方形的顶点是正方形的对角线与的交点，正方形绕点逆时针旋转一定角度后，三角形能与三角形重合．已知，那么旋转角等于 度．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质和旋转的性质，根据正方形的性质可知，再根据旋转后三角形能与三角形重合可知旋转的角度为，从而解题．
【详解】解：四边形和四边形都是正方形，对角线与相交于点，
，
正方形绕点逆时针旋转一定角度后，三角形能与三角形重合，，
旋转的角度为，
故答案为：．
18．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ．
【答案】/
【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案．
【详解】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、
由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且
四边形是正方形
，，
，
在和中
，，
四边形是矩形
又垂直平分，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键．
19．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程．
【答案】见解析
【分析】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换．
先把基本图形向左平移，再利用轴对称变换得到，然后把旋转即可得到题中图形．
【详解】
解：先把图案先向左平移得到，再利用轴对称变换得到，然后利用旋转变换得到
20．在平面直角坐标系中，的顶点为．
(1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；
(2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)．
【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图、旋转作图以及找出旋转中心，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为点的对应点的坐标为，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答．
（2）因为将以点为旋转中心旋转，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答
（3）运用数形结合思想，直接得与的旋转中心的坐标，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：由图得将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为．
21．如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到
(1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
(2)一次函数图象经过A、两点，求该一次函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质得出的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作轴于．证明，推出，，求出点坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【详解】（1）解： 点的坐标是，点的坐标是，点为中点，
，，
，
绕着点逆时针旋转得到
，
反比例函数的图象经过点，
，
该反比例函数的表达式为；
（2）解：作轴于．
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得，
该一次函数的表达式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
22．如图所示，在中，点E在边上，，将线段绕点A旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得，由旋转得可证明，即有结论成立；
（2）利用等腰三角形的性质求得，则．结合全等得性质得，结合三角形外角定义即可．
【详解】（1）证明∶∵，
∴．
∵将线段绕点A旋转到的位置，
∴
在和中，
∴
∴．
（2）解∶∵，
∴，
∴．
∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和三角形外角定义，解题的关键是熟悉全等三角形的性质．
23．如图所示，矩形绕点沿逆时针方向旋转到，连接、、，设，，，请通过四边形的面积证明勾股定理．
【答案】证明见解析
【分析】易证得四边形是直角梯形，依据即可证得结论．
【详解】证明：四边形和是矩形，
，，，
，
，
四边形是直角梯形，
由旋转的性质可知：
，，，，
，
又
，
，
左边展开，得：，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线的判定，旋转的性质，三角形的面积公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24．[初步探究]
（1）如图1，在与中，，，，易得．请你写出证明过程．
[解题反思]
以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化．
[类比探究]
（2）如图2，在边长为3的正方形中，E，F分别是，上的点，且．连接，，，若，请直接写出的长．
[深入探究]
（3）如图3，D，P是等边外两点，连接并取的中点M，且，．试猜想与的数量关系，并证明你的结论．
[拓展应用]
（4）如图4，在四边形中，，，，，，请直接写出的长．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3），证明见解析；（4）8
【分析】（1）先证明，再证明即可得到结论；
（2）把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，首先证明，进而得到，问题即可解决．
（3）如图，延长至，使，连接，，证明，可得，，再证明，可得，从而可得结论；
（4）如图，过作，且，连接，并延长交于，可得，证明，证明，可得，，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，点E、D、G共线，
在和中，
，
∴ ，
∴，
即：，
∵，边长为3的正方形，
∴ ，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
解得： ，
即，
（3）解：，证明如下：
如图，延长至，使，连接，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，，
而，
∴，
，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴；
（4）解：如图，过作，且，连接，并延长交于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，正确作出合适的辅助线是解本题的关键．
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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
3.2.1图形的旋转（一）六大题型（一课一练）
1．下列运动中不属于旋转的是（ ）
A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动
C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动
2．图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在的网格纸中，的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，旋转后得到，则旋转中心是（ ）
A．点P B．点 C．点Q D．点R
4．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
5．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，共线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在等边三角形中，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，则线段的长为（ ）
A． B．4 C． D．
8．如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．4
10．如图，点为线段的中点，为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为2时，的长为（ ）．
A． B． C．4 D．
11．下列现象中属于旋转的有 （填序号）
①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．
12．如图，都是等边三角形．可由绕点 ， 方向，旋转 角度得到．
13．如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）
14．如图，平南直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程 ．
15．如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ．
16．如图，在中，，，，点D，E分别为、的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为 ．
17．如图，已知正方形的顶点是正方形的对角线与的交点，正方形绕点逆时针旋转一定角度后，三角形能与三角形重合．已知，那么旋转角等于 度．
18．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ．
19．观察图，它可以看成是由哪几个基本图形经过怎样的变换产生的？请用学过的平移、旋转、轴对称变化来分析这个图形的形成过程．
20．在平面直角坐标系中，的顶点为．
(1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；
(2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______．
21．如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到
(1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
(2)一次函数图象经过A、两点，求该一次函数的表达式．
22．如图所示，在中，点E在边上，，将线段绕点A旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．如图所示，矩形绕点沿逆时针方向旋转到，连接、、，设，，，请通过四边形的面积证明勾股定理．
24．[初步探究]
（1）如图1，在与中，，，，易得．请你写出证明过程．
[解题反思]
以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化．
[类比探究]
（2）如图2，在边长为3的正方形中，E，F分别是，上的点，且．连接，，，若，请直接写出的长．
[深入探究]
（3）如图3，D，P是等边外两点，连接并取的中点M，且，．试猜想与的数量关系，并证明你的结论．
[拓展应用]
（4）如图4，在四边形中，，，，，，请直接写出的长．
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