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3.2.1图形的旋转（一）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断生活中的旋转现象
【经典例题1】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-1】下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【变式训练1-2】嘉嘉和爸爸非常自律，每天晚饭后都要从7点钟开始进行半个小时的体育锻炼，在锻炼期间，钟表上的分针（ ）
A．顺时针旋转了 B．逆时针旋转了
C．逆时针旋转了 D．顺时针旋转了
【变式训练1-3】下列现象中属于旋转的有（ ）个．
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练1-4】下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【变式训练1-5】运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ．
题型二：判断由一个图形旋转成的图案
【经典例题2】杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】下列各组图形，只通过平移或旋转，不能形成长方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移
C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称
【变式训练2-4】通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A．B． C． D．
题型三：找旋转中心,旋转角,对应点
【经典例题3】如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【变式训练3-1】如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ．
【变式训练3-2】如图，四边形是正方形，是上一点
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果点是的中点，那么经过上述旋转后，点转到了什么位置？
【变式训练3-3】如图，是正方形的对角线，经过旋转后到达的位置．
(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)写出点B的对应点．
【变式训练3-4】如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？
【变式训练3-5】如图，三个顶点的坐标分别是，，，为内任意一点．
(1)将平移得到，点C的对应点是，请在图中画出，并写出点的坐标（___，___）；
(2)若是经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（____，____）（用含m，n的式子表示）．
题型四：旋转中规律性问题
【经典例题4】如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（ ）
A．71 B．72 C．73 D．74
【变式训练4-1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练4-3】如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【变式训练4-5】等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
题型五：利用旋转性质求解
【经典例题5】在活动课上，“凌志组”用含角的直角三角尺设计风车．如图，，，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在AB边上，此时与两点间的距离为 ．
【变式训练5-1】如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接．
(1)若．
①判断的形状，并说明理由；
②探究：当为多少度时，是等腰三角形？
(2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？
【变式训练5-2】如图，，垂足为C，，，将线段绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接．
(1)求线段的长度；
(2)求四边形的面积．
【变式训练5-3】如图，等边中，点在上，将绕点沿顺时针方向旋转后，得到．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
(3)过点作的平行线交于点，当点在何处时，四边形是矩形？
【变式训练5-4】如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式训练5-5】如图，点是等边内的一点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接．
(1)求证：是等边三角形．
(2)若，，则当时，求的长，并说明理由．
题型六：根据旋转的性质说明线段或角之间的关系
【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，、两点分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，且．
(1)求A、B两点坐标；
(2)如图1，把线段绕B点顺时针旋转到线段，点C在第二象限，轴，E为线段上一点，于N，于M，已知，求的值；
(3)如图2，在（2）条件下，点D为延长线上一动点，，交直线于点G， 的平分线与的邻补角的平分线交于点F，点D在运动的过程中，的大小是否变化 若不变，求出其值：若变化，请说明理由．
【变式训练6-1】已知是等腰三角形，．阅读下列过程，回答第2、3两问．
(1)特殊情形：如图1，E是上一点，当时，有
(2)发现探究：如图2，E是三角形内一点，当，且时，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展运用：如图3，E是三角形内一点，，且，，，则 度．
【变式训练6-2】在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【变式训练6-3】已知中，，．
(1)如图1，当B、C、M、N在同一直线上，且，，时， ；（直接写出计算结果）
(2)如图2，当B、C、M、N在同一直线上，且时，写出线段、、之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，当于点B，于点C， ，且时，直接写出线段的值．
【变式训练6-4】在学校的数学研究性活动中，同学们开展了如下的研究学习：
(1)数学理解：如图1，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交于点，求之间的数量关系；
(2)问题解决：如图2，在任意中，，点是内一点，过点作正方形，分别交于点，若，求的度数；
(3)联系拓展：如图3，在（2）的条件下，分别延长，交于点，求、之间的数量关系．
【变式训练6-5】【猜测探究】
在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，．
（1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______；
（2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长．
【变式训练6-6】（1）【案例展示】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，理由如下：
∵，可把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
∵，
∴，点F、D、G共线，
由旋转得：，
∴，，，
而，
∴，即，
∴________，根据是________（第一空填三角形，第二空填全等的依据），
∴，
又∵，
∴．
（2）【类比引申】如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角时，仍成立，则与应该满足什么数量关系是______．
（3）【拓展运用】如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
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3.2.1图形的旋转（一）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断生活中的旋转现象
【经典例题1】下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键．
根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可．
【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带的移动，是平移现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④钟摆的运动，是旋转现象；
⑤荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④⑤共3个．
故选：B．
【变式训练1-1】下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转，平移的识别，掌握旋转的性质，即旋转前后图形的大小不变，平移的概念等知识是解题的关键．
根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解．
【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；
B、电梯上下运动的过程是平移，故此选项错误；
C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；
D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；
故选：C．
【变式训练1-2】嘉嘉和爸爸非常自律，每天晚饭后都要从7点钟开始进行半个小时的体育锻炼，在锻炼期间，钟表上的分针（ ）
A．顺时针旋转了 B．逆时针旋转了
C．逆时针旋转了 D．顺时针旋转了
【答案】D
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解决本题的关键在于知道分针走一大格是．
钟面上指针转动的方向就是顺时针，分针走一大格是，从7点钟到7点半走了6大格，据此即能求解．
【详解】解：顺时针旋转了，
故选：D．
【变式训练1-3】下列现象中属于旋转的有（ ）个．
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可．
【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个．
故选：C
【变式训练1-4】下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解．
【详解】解：、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；
、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；
、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；
、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；
故选：．
【变式训练1-5】运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ．
【答案】直升机螺旋桨的转动
【分析】根据旋转和平移的定义可得答案．
【详解】解：冰壶滑行到终点属于旋转加平移；直升机螺旋桨的转动属于旋转；气球冉冉升起属于平移；钢架雪车加速前进属于平移，
故答案为：直升机螺旋桨的转动．
题型二：判断由一个图形旋转成的图案
【经典例题2】杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可．
【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
B．由图形对称而得出，故本选项符合题意；
C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练2-1】下列各组图形，只通过平移或旋转，不能形成长方形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平移和旋转，解题的关键是熟练掌握平移和旋转的特点，由平移的性质和旋转的性质依次判断可求解．
【详解】解：选项A、B、C中的图形只通过平移或旋转，可得长方形，选项D中的图形只通过平移或旋转，不能得到长方形，
故选：D．
【变式训练2-2】将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义即可求解，掌握旋转的定义是解题的关键．
【详解】
解：将如图图形绕点顺时针旋转，得到的图形是，
故选：．
【变式训练2-3】对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移
C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称
【答案】A
【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．
根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可．
【详解】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换平移变换旋转变换．
故选：．
【变式训练2-4】通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了翻折、旋转和平移，根据翻折及旋转的定义即可求解．
【详解】解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意；
B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意；
C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意；
D、图形可以通过平移得到，故不符合题意；
故选B．
【变式训练2-5】北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应图形即可．
【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：
．
故选：D
题型三：找旋转中心,旋转角,对应点
【经典例题3】如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】A
【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线，
，的垂直平分线的交点为点P，
旋转中心是点P，
故选：A．
【变式训练3-1】如图，在边长为1的正方形网格中，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段（旋转后A与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点的坐标建立平面直角坐标系，点的坐标，掌握确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心是解题的关键．根据确定旋转中心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心，作出旋转中心，由坐标系写出旋转中心的坐标即可．
【详解】解：如图所示，旋转中心的坐标为．
故答案为：．
【变式训练3-2】如图，四边形是正方形，是上一点
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果点是的中点，那么经过上述旋转后，点转到了什么位置？
【答案】(1)点
(2)旋转角是
(3)点旋转到的中点处
【分析】此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后对应角相等，对应边相等，对应的图形全等．
（1）根据旋转的定义和已知条件可以确定旋转中心；
（2）根据旋转的性质和正方形的性质可以确定旋转角；
（3）根据旋转的中心和旋转角可以确定将点的对应点．
【详解】（1）解：由图得知：经旋转后到达的位置，公共顶点是点，
故旋转中心是点．
（2）解：由图得知：经旋转后到达的位置，
故的对应边是，
∵四边形是正方形，
∴，
∴旋转角是．
（3）解：如图，由图得知：经旋转后到达的位置，
故的对应边是，
∴点旋转到的中点处．
【变式训练3-3】如图，是正方形的对角线，经过旋转后到达的位置．
(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)写出点B的对应点．
【答案】(1)点
(2)旋转方向为逆时针，旋转角是
(3)点
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键．
（1）由旋转的性质作答即可；
（2）由正方形，可得，由旋转的性质可知，旋转方向为逆时针，旋转角是；
（3）由旋转的性质作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，旋转中心为点；
（2）解：∵正方形，
∴，
由旋转的性质可知，旋转方向为逆时针，旋转角是；
（3）解：由旋转的性质可知，点B的对应点为点．
【变式训练3-4】如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？
【答案】(1)点A
(2)
(3)点C转到了点E的位置
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．
（1）直接根据旋转的性质求解即可；
（2）由等腰三角形的性质得，然后由旋转的性质可得旋转角的度数；
（3）直接根据旋转的性质求解即可．
【详解】（1）由旋转的性质可知，旋转中心是点A；
（2）∵是等腰直角三角形，，
∴，
由旋转的性质可知，旋转了；
（3）由旋转的性质可知，点C转到了点E的位置．
【变式训练3-5】如图，三个顶点的坐标分别是，，，为内任意一点．
(1)将平移得到，点C的对应点是，请在图中画出，并写出点的坐标（___，___）；
(2)若是经过旋转得到的图形，点A，B，C的对应点分别是P，Q，R，观察变换前后各对应点之间的关系，则点M的对应点N的坐标为（____，____）（用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)画图见解答；
(2)
【分析】本题考查作图-平移变换、坐标与图形变化-旋转，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）由题意得，向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到，根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）连接，相交于点，可知绕点旋转得到，进而可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到，如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：连接，相交于点，则绕点旋转得到，点的对应点的坐标为．
故答案为：．
题型四：旋转中规律性问题
【经典例题4】如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（ ）
A．71 B．72 C．73 D．74
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可．
【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可，
∵在第四象限，
∴除以4后的余数为2，
∵，
故选D．
．
【变式训练4-1】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标．
【详解】解：如图．
，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点顺时针转动，
，，，，
点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
，
第时，点的对应点的坐标与相同，为．
故选：．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标．
【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
如图，等边经过第次翻转后，，
过点作轴于点，则，
∵，
∴，
，
等边经过第次翻转后，，
等边经过第次翻转后，点仍在点处，
∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位，
∵，第次与第次翻转后点处在同一个点，
∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位，
∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是，
故选：D．
【变式训练4-3】如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的性质，即可求得坐标.
【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转， ，
∴旋转4次后回到原来的位置，
∵，
∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限，
如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故选：C．
【变式训练4-4】有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2021次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【答案】A
【分析】观察图形不难发现，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根据商和余数的情况确定即可．
【详解】解：由图可知，四次旋转后矩形又回到初始水平位置，
∵2021÷4=505余1，
∴第2021次旋转后得到的图形为第505个循环组的第一个图，是图①．
故选：A．
【变式训练4-5】等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
【答案】B
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．
【详解】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，
∵2023÷3＝674…1，，
∴翻转2023次后点C在数轴上，
∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022．
故选：B．
题型五：利用旋转性质求解
【经典例题5】在活动课上，“凌志组”用含角的直角三角尺设计风车．如图，，，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在AB边上，此时与两点间的距离为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了直角三角形角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，熟练地掌握相关内容是解题的关键．根据直角三角形角所对的边等于斜边的一半，易知，结合旋转的性质可知，根据直角三角形角所对的边等于斜边的一半可求出的长．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，，
由旋转的性质得，，
为等边三角形，
．
故答案为：4．
【变式训练5-1】如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接．
(1)若．
①判断的形状，并说明理由；
②探究：当为多少度时，是等腰三角形？
(2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？
【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②当为或或时，是等腰三角形．
(2)当，或，或，时，是等腰直角三角形．
【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，此题具有一定的开放性，要找到变化中的不变量，根据等腰三角形的性质进行分类讨论．
（1）①利用旋转的性质，，即可证明是等边三角形； ②分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解；
（2）分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解．
【详解】（1）①是等边三角形，
理由如下：∵绕点C按顺时针方向旋转得，
∴，，
∴是等边三角形；
②当为或或时，是等腰三角形．
∵是由旋转后得到的，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
是等腰三角形，分三种情况：
①当时，
∴，
∴，
∴；
②，
∴，
∴，
∴；
③，
∴，
∴，
∴，
∴当为或或时，是等腰三角形．
（2）∵是由旋转后得到的，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，分三种情况：
①当，时，
∴，
∴，
∴，；
②，时，
∴，
∴，
∴，；
③，时，
∴，
∴，，
∴，；，
∴当，或，或，时，是等腰直角三角形．
【变式训练5-2】如图，，垂足为C，，，将线段绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接．
(1)求线段的长度；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，可求，由勾股定理和直角三角形的性质可求的长．
（2）利用面积和差关系可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
【详解】（1）解：由旋转得，，
是等边三角形，
过点作于点，
，
，
在中，，，，
在中，．
（2）解：，
．
【变式训练5-3】如图，等边中，点在上，将绕点沿顺时针方向旋转后，得到．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
(3)过点作的平行线交于点，当点在何处时，四边形是矩形？
【答案】(1)；
(2)；
(3)当点是的中点时，四边形是矩形．
【分析】（1）由旋转的性质得，推出，即可得到；
（2）作交的延长线于点，求得，，利用勾股定理即可求解；
（3）由推出，得到，求得，推出当点是的中点时，四边形是矩形．
【详解】（1）解：∵等边，
∴，
∵将绕点沿顺时针方向旋转后，得到，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作交的延长线于点，
∵等边，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∵等边，
∴，
∴是等边三角形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵等边，
∴点是的中点，
∴当点是的中点时，四边形是矩形．
【变式训练5-4】如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．
（1）由旋转的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出结果．
【详解】（1）证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
，
；
（2）解：，，
，
．
，
，
．
【变式训练5-5】如图，点是等边内的一点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接．
(1)求证：是等边三角形．
(2)若，，则当时，求的长，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关图形的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质，得到，，利用等边三角形的判定与性质，判断是等边三角形．
（2）根据旋转的性质，得到，，再利用等边三角形的判定与性质，得到，，进而可知，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：绕点按顺时针方向旋转得，
，，
是等边三角形．
（2）解：绕点按顺时针方向旋转得，
，，
是等边三角形，
，，则，
在中，，
．
题型六：根据旋转的性质说明线段或角之间的关系
【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，、两点分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，且．
(1)求A、B两点坐标；
(2)如图1，把线段绕B点顺时针旋转到线段，点C在第二象限，轴，E为线段上一点，于N，于M，已知，求的值；
(3)如图2，在（2）条件下，点D为延长线上一动点，，交直线于点G， 的平分线与的邻补角的平分线交于点F，点D在运动的过程中，的大小是否变化 若不变，求出其值：若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)的大小不变，是定值
【分析】（1）由非负数的性质得出，解一元﹣次方程即可得出结论；
（2）连接，根据旋转的性质得出，用面积法即可得出结论；
（3）先利用互余得出，再用角平分线和三角形的外角即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接．
由旋转得，．
∵轴，
∴，
∵于N，于M，
∴，
∴；
（3）的大小不变，是定值，
理由：如图2，
记与的交点为M，与的交点为N，
∵，，交直线于点G．
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴．
即：的大小不发生变化，是．
【变式训练6-1】已知是等腰三角形，．阅读下列过程，回答第2、3两问．
(1)特殊情形：如图1，E是上一点，当时，有
(2)发现探究：如图2，E是三角形内一点，当，且时，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展运用：如图3，E是三角形内一点，，且，，，则 度．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)150
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，进而利用等式的性质解答即可；
（2）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可；
（3）由旋转构造出，进而得出，然后用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，在简单计算即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，，
，
，
即；
（2）解：，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
，
；
（3）解：将绕点旋转得，连接，
，
，，，
是等边三角形，
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
，
，
又，
；
故答案为：．
【变式训练6-2】在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到；
（2）通过证明得到；
（3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：，
理由如下：
以点为中心，把逆时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
；
（3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知：，
又，
，
四边形是平行四边形．
【变式训练6-3】已知中，，．
(1)如图1，当B、C、M、N在同一直线上，且，，时， ；（直接写出计算结果）
(2)如图2，当B、C、M、N在同一直线上，且时，写出线段、、之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，当于点B，于点C， ，且时，直接写出线段的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），将绕A点旋转，使与重合，M与重合，先证明，再证明，由全等三角形的性质得出，再由勾股定理求出，即可得出．
（2）作，使，连接，，，证明，由全等三角形的性质可得出，，即，再证明，由全等三角形的性质可得出，根据勾股定理可得出，等量代换可得出．
（3）延长和交于点H，过点A作交点T，根据题意可得四边形为正方形，且为等腰直角三角形，证得，则，求得，有，设，则，，利用，求得，即可得，进一步证得，则有．
【详解】（1）解：如下图，将绕A点旋转，使与重合，M与重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
即，
又∵，，
∴
∴
，
∴．
（2）作，使，连接，，，
∴
∴，
即，
由∵，
，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
（3）延长和交于点H，过点A作交点T，如图，
则四边形为正方形，且为等腰直角三角形，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
设，则，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练6-4】在学校的数学研究性活动中，同学们开展了如下的研究学习：
(1)数学理解：如图1，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交于点，求之间的数量关系；
(2)问题解决：如图2，在任意中，，点是内一点，过点作正方形，分别交于点，若，求的度数；
(3)联系拓展：如图3，在（2）的条件下，分别延长，交于点，求、之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明和为均等腰直角三角形，易得，，即可获得答案；
（2）首先由正方形的性质可得，，将以点为旋转中心，顺时针旋转得到，则点和点重合，由旋转的性质可得，，，进而可得，然后证明，由全等三角形的性质可得，由即可获得答案；
（3）结合由（2），根据题意以及正方形的性质证明，进而可得，同理可得，然后在中，由勾股定理即可证明结论．
【详解】（1）解：∵为等腰三角形，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
同理可得为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）∵四边形为正方形，
∴，，
将以点为旋转中心，顺时针旋转得到，如下图，
则点和点重合，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）如下图，
由（2）可知，，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵分别延长，交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
在中，可有，
∴．
【变式训练6-5】【猜测探究】
在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，．
（1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______；
（2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长．
【答案】（1），（2）不成立，见解析；（3）8
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，
（1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得
，证得，可得，即可得证；
（2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明；
（3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解．
【详解】解：（1）由旋转的性质得，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）不成立，理由如下：
由旋转的性质得，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）在上取一点P，使，
由题意得，，，
∴，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即线段的长为8．
【变式训练6-6】（1）【案例展示】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，理由如下：
∵，可把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
∵，
∴，点F、D、G共线，
由旋转得：，
∴，，，
而，
∴，即，
∴________，根据是________（第一空填三角形，第二空填全等的依据），
∴，
又∵，
∴．
（2）【类比引申】如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角时，仍成立，则与应该满足什么数量关系是______．
（3）【拓展运用】如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】（1），；（2）；（3），见解析
【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，得到，进而可得结论；
（2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2，同（1）证明，得到，然后可得结论；
（3）将绕点顺时针旋转得到，如图3，根据旋转的性质求出，得到，然后证明，得出，进而可得．
【详解】解：（1）∵，可把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
∵，
∴，点F、D、G共线，
由旋转得：，
∴，，，
而，
∴，即，
∴，根据是（第一空填三角形，第二空填全等的依据），
∴，
又∵，
∴．
故答案为：，；
（2）时，仍成立；
理由：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2，
，，，
，，
，
，
，
∵，
，即点、、共线，
在和中，，
，
，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）猜想：，
证明：将绕点顺时针旋转得到，如图3，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，，
，
，
．
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