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第1章：三角形的初步知识培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：A、∵相等的角不一定是对顶角，∴A不正确，不符合题意；
B、∵内错角相等，两直线平行，∴B正确，符合题意；
C、∵两直线平行，同旁内角互补，∴C不正确，不符合题意；
D、∵在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，∴D不正确，不符合题意.
故选择：B.
2.答案：D
解析：由图可得图表示的AD为角平分线，图表示的AD为高线，图表示的AD为中线，
故选择：D.
3.答案：B
解析：根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选择：B．
4.答案：D
解析：过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
的面积，
故选择：D
5.答案：B
解析：连结AP并延长，与边BC交于点D，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴易证得∠ABP＝∠BAP，∠CAP＝∠ACP，
∴∠BPD＝∠BAP＋∠ABP＝2∠BAP，∠CPD＝∠CAP＋∠ACP＝2∠CAP．
∵∠BPC＝100°，∴∠BPD＋∠CPD＝100°，
即2∠BAP＋2∠CAP＝100°，
∴∠BAP＋∠CAP＝50°，即∠BAC＝50°．
故选择：B
6.答案：C
解析：过P作PE⊥BC交于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE＝PD，
∴；
故选择：C．
7.答案：B
解析：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示：
∵，为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，故B正确.
故选择：B.
8.答案：D
解析：设BC边的高为hBC，AC边的高为hAC，
∵S△ABC＝BC hBC＝AC hAC＝12，
∴S△ABC＝（BD+CD） hBC＝（AE+CE） hAC＝12，
∵AE＝CE，S△AEB＝AE hAC，S△BCE＝EC hAC，
∴S△AEB＝S△CEB＝S△ABC＝×12＝6，
即S△AEF+S△ABF＝6①，
∵BD＝2CD，BD+CD＝BC，
∴BD＝BC，S△ABD＝BD hBC，
∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝8，
即S△BDF+S△ABF＝8②，
②﹣①得：S△BDF﹣SAEF＝（S△BDF+S△ABF）﹣（S△AEF+S△ABF）＝8﹣6＝2，
故选择：D．
9.答案：C
过点N作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选择：C．
10.答案：C
解析：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，故④选项符合题意；
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
（内错角相等，两直线平行），
故②选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故③选项不符合题意．
故选择：C．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠A=20°，∠2=30°，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC-∠1）+（∠ACB-∠2）=（∠ABC+∠ACB）-（∠1+∠2）=120°-（20°+30°）=70°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°，
故答案为：110°.
12.答案：
解析：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在△ADC中，∠2=30°，∠ADC=90°，
∴∠C=180°-∠2-∠ADC=180°-30°-90°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1=2×40°=80°，
在△ABC中，∠C=60°，∠BAC=80°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-60°-80°=40°．
故答案为：40°.
13.答案：t=1或7
解析：如图(1)BF=CE时，则△ABF≌△DCE，CE=2，故BF=2=2t，t=1；
如图(2)点F在AD上时，AF=EC=2时，则△ABF≌△DCE，此时有2t+2=4+6+6，得t=7
故当t=1或7时，满足题意.
故答案为：t=1或7
14.答案：
解析：过D作DF⊥AC于F，
由作图知，CD平分∠ACB，DE⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△BCD+S△ACD，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
15.答案：2或．
解析：①当，时，，
，
，
，
，解得：，
，
，
解得：；
②当，时，，
，
，
，解得：，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，与全等，
故答案为：2或．
16.答案：②③④
解析：延长至，使，设与交于点，如图所示：
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
（SAS），
，，②正确；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，①不正确；
设，则，
，
，
，
，
，
，③正确；
，
，
，
，
，
，④正确，
故答案为：②③④
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：(1)∵GH∥BC，∴∠B＝∠GAB＝60°，
∴∠CAF＝∠B＋∠C＝60°＋40°＝100°．
(2)∵∠CAF＝100°，∴∠BAC＝80°．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°．
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．
∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝180°－90°－60°＝30°．
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°．
18.解析：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c＝a+b+c．
19.解析：（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB=∠A，
又 ∵∠FDE=∠A，
∴∠DFB=∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）解析：设∠EDC=x°，
∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，
∴∠BFD=∠BDF=2x°，
由（1）可知∠DFB=∠FDE=2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2x°+2x°+x°=180°，
∴x=36，
又∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=36 °．
20.（1）解析：∵，
∴.
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
（3）解：可以，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
若，
则．
21.（1）解析：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22.解析：以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两者交于点P，连接AP并延长与BC交于D，即为所求；
（2）∵∠C=90°，∠BAC=28°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=62°，
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=104°.
23.解析：由已知和作图能得到，因为：
AD是BC边上的中线，所以D为BC的中点，因此
所以，
（2）解析：因为，所以，
在三角形ABE中，根据三边关系可知
，因此：，
所以，AD的取值范围为：．
（3）解：延长AD到M点，使得，
由题意可知
所以，
所以，
又因为
所以，
所以，．
24（1））解析：结论：AD∥BC．
理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°，
∠ADE+∠BCF=180°，
∴∠ADF=∠BCF，
∴AD∥BC
（2）解析：结论：AB与EF的位置关系是：AB∥EF．
理由：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC．
又∵∠ABC=2∠E，
即∠E= ∠ABC，
∴∠E=∠ABE．
∴AB∥EF
（3）解析：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠OAB= DAB，∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠E+∠F=90°
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第1章：三角形的初步知识培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.下列命题中，是真命题的是（ ）
A相等的角是对顶角 B．内错角相等两直线平行C．同旁内角互补 D．垂直于同一直线的两直线平行
2.如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．角平分线、高线、中线
3.如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在四边形ABCD中，，若对角线BD平分，则的面积为（ ）
A．10 B．24 C．15 D．12
5．如图，在锐角三角形ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP．若∠BPC＝100°，则∠A的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．80°
6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD．AD过点P，且与AB垂直，若AD＝12．则点P到BC的距离是（ ）
A．5 B． C．6 D．
7.如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
8.如图，点D和点E分别是△ABC边BC和AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F
若△ABC的面积为12，则△BDF与△AEF的面积之差为（ ）
A．1 B．1.5 C．1.75 D．2
9.如图，直线，点，分别在直线，上，点在两平行线之间，连接，，过点作平分交直线于点，过点作交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，在中，，，，则的度数是
12.如图，在中，，平分，若，，则
如图 ， 在矩形 中， ， 延长 至点 ， 使， 连结 ， 动点 从点 出发， 以每秒 2 个单位的速度沿 向终点 运动． 设点 的运动时间为 ，要使 和 全等，则 的值为___________________
14．如图所示是作图后的痕迹．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交CA，CB于两点，再以这两点为圆心，大于这两点到点C的长为半径作弧，交于一点，过该点和点C作直线交AB于点D．以点D为圆心画弧交BC于两点，再以这两点分别为圆心，以大于这两点长的为半径画弧交于一点，过该点和点D作直线交BC于点E．若AC＝2，BC＝3，则DE的长为 ．
15.如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿BC边向点C运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等．
16.如图，在中，，以AC为边，作，满足，点E为BC上一点，连接AE，，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①；②；③若，则；④．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．(本题6分)如图，已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．(1)求△ABC的外角∠CAF的度数；(2)求∠DAE的度数．
18．（本题6分）已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|．
19.（本题8分）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
20.（本题8分）如图，在中，平分．
(1)求的度数；(2)求的度数；(3)探究：小明认为如果不知道与的具体度数，只知道，也能得出的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由．
21（本题10分）在中，和的角平分线相交于点．
（1）若，求的度数；（2）延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
22（本题10分））如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）作∠BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若∠BAC=28°，求∠ADB的度数.
23（本题12分）） [阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到，其理由是什么？（2）求AD的取值范围．
（3）如图3，AD是的中线，BE交AC于点F，且，试说明．
24（本题12分））如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°
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