浙教版八年级下册 2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
一元二次方程之
根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
填写下表：
方程
两个根 两根之和 两根之积 a与b之间关系 a与c之间关系
猜想：
如果一元二次方程 的两个根
分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程
的两个根分别是 、 。
求证：
推导:
如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么：
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
题1　口答
１．下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴.X2－3X+1=0 ⑵.3X2－2X=2
⑶.2X2+3X=0 ⑷.3X2=1
基本知识
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写。
练习
已知关于x的方程
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
－1
1
分析:1.
2.
引申:若ax2 bx c 0 (a 0 0)
（1）若两根互为相反数,则b 0;
（2）若两根互为倒数,则a c;
（3）若一根为0,则c 0 ;
（4）若一根为1,则a b c 0 ;
（5）若一根为 1,则a b c 0;
（6）若a、c异号,方程一定有两个不相等的实数根.
4
1
14
12
题2
则：
＝
＝
应用：一求值
另外几种常见的求值
求与方程的根有关的代数式的值时,
一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.
练习
设 的两个实数根
为 则: 的值为( )
A. 1 B. －1 C. D.
A
以 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
二　已知两根求作新的方程
题3 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）
A、y2＋3y-5=0 B、 y2－3y-5=0
C、y2＋3y＋5=0 D、 y2－3y＋5=0
B
分析:设原方程两根为 则:
新方程的两根之和为
新方程的两根之积为
求作新的一元二次方程时:
1.先求原方程的两根和与两根积.
2.利用新方程的两根与原方程的两根之
间的关系,求新方程的两根和与两根积.
(或由已知求新方程的两根和与两根积)
3.利用新方程的两根和与两根积,
求作新的一元二次方程.
练习:
1.以2和 －３为根的一元二次方程
（二次项系数为１）为：　　　　　　　　　　　　　　　　
题4 　已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。
2和-1
解法(一):设两数分别为x,y则:
{
解得:
x=2
　y=－1
{
或
ｘ＝－1
y=2
{
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
的两根则:
求得
∴两数为2,－１
三　已知两个数的和与积，求两数　
题5 如果－1是方程
的一个根，则另一个根是___ｍ=____。
（还有其他解法吗？)
-3
四　求方程中的待定系数
题6 已知方程　　　　　　　　的两个实数根
是　　　且　　　　　 求k的值。
解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2
又 X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
题7 方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
△=
{
即
{
m>0
m-1<0
∴0一正根，一负根
△＞0
X1X2＜0
两个正根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
两个负根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
{
{
{
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
作业: 作业本
点p(m,n)既在反比例函数 的
图象上, 又在一次函数 的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
解:由已知得,
{
即
m·n=－2
m+n=－2
{
∴所求一元二次方程为: