浙教版八年级下册 2.4 一元二次方程的根与系数的关系（选学）课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
2.4 一元二次方程的根与系数的关系
上新课之前，我们先来了解一个伟大的人物。他是
法国数学家弗郎索瓦·韦达，他在数学界有一个重大的发
现。韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建
立了方程根与系数的关系，提出了韦达定理。由于韦达
最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了
基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。
课时导入
复习回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.根的判别式是什么？
3.一元二次方程的求根公式是什么？
4.如何判定一元二次方程的根的情况？
先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：
(1) x2-12x+11 = 0. (2) 2x2-13x=0.
(3) 4x2+20x+25=0.
合作探究
你发现了什么？
方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2
x2-12x+11 = 0
2x2-13x=0
4x2+20x+25=0
你能证明上面的结论吗？
合作探究
一般地，一元二次方程根与系数有如下关系：
如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两
个根，那么x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
根据你的观察，猜想：
方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根如果是x1，x2，那么
x1＋x2＝_______, x1x2＝_______.
下面我们来证明这一结论.
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2-4ac≥0)的两个根为
x1，x2 ，则
深入探究
深入探究
注意：
(1) 前提条件：二次项系数不为0和方程有实数根．
(2) 刻画了x1＋x2和x1x2与系数a，b，c之间的关系．
(3) 可以不解方程而求出与两根有关系的代数式的值．
由一元二次方程的根与系数的关系，得
例1
设x1,x2是一元二次方程5x2 -7x -3 = 0的两个根，求x12+x22和 的值.
解：
例题讲解
总结：求一元二次方程两根的和与积时，先要将方程整理成一般形式，再利用根与系数的关系求出两根的和与积．
拓展：常见的涉及一元二次方程的两个根x1，x2的代
数式的重要变形有：
①x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2；
知识延伸
④(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2；
⑤(x1＋k)(x2＋k)＝x1·x2＋k(x1＋x2)＋k2；
设这个方程为3x2+bx+c=0,由一元二次方程根与
系数的关系，得
解得b=-4 ;
解得c=1.
所以这个一元二次方程是3x2 -4x+1=0.
例2
已知一个一元二次方程的二次项系数是3,它的两个根分别是 , 1. 写出这个方程.
解：
例题讲解
已知一元二次方程两根的关系求待定字母的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系式进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求得待定字母的值．
总结归纳
由根与系数的关系，得
1
方程 2x2－3x＋1＝0的两个根记作x1 ， x2不解方程，求x1 －x2的值.
解：
拓展训练
求与根有关的代数式的值时，看代数式是否具有对称性，若具有对称性，则直接变形，将两根之和或积代入求值；若不具有对称性，则将其中的某一个根单独代入方程中，得到与待求值的代数式相关的结构，进行整体代入求值．
总结归纳
2
已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2＋4x－3＝0
的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在这样的实数k，使2x1＋2x2－ ＝2 成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
导引：
(1)根据方程有两个不相等的实数根得Δ＞0，可求出k取值范围，同时注意k≠0；
(2)先假设存在，根据根与系数的关系列出以k为未知数的方程，求出k的值，然后结合(1)中k的取值范围检验．
拓展训练
解：
(1)由题意得Δ＝42－4k·(－3)＞0，
∴k＞
又k≠0，∴k＞ 且k≠0.
(2)存在．
∵x1＋x2＝ x1x2＝
2x1＋2x2－
∴ ＋k＝2，
解得k1＝4，k2＝－2(不符合题意，舍去)．
∴k＝4.
拓展训练
根的判别式与根与系数的关系经常结合在一起考查，因为运用根与系数的关系的前提条件是根的判别式大于或等于零．
(中考·泸州)设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实
数根，则 的值为(　　)
A．5 B．－5 C．1 D．－1
中考链接
(中考·雅安)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是(　　)
A．0 B．2 C．－2 D．4
(中考·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根，则x1·x2等于(　　)
A．－4 B．－1 C．1 D．4
知识总结 知识方法要点 关键总结 注意事项
一元二次方程的根与系数的关系 ①是一元二次方程，②是有两个实数根（b2－4ac≥0）.
方法规律总结 (1)不用解方程，即可求得两根之和、两根之积 (2)可根据已知一根求另一根，也可求一元二次方程 的待定系数 课堂小结
利用根与系数关系解决问题的一般步骤：
第一步：先将方程化为一般式
ax2+bx+c=0 （a≠0）
第二步：计算b2-4ac的值
b2-4ac≥0 有实数根
b2-4ac＜0 无实数根
第三步：有实数根写出两根之和，两根之积
课堂小结
完成教材P46作业题T1-T6
课后作业