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第1章：有理数培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.如图，某数轴的单位长度为，如果点，表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．任何一个有理数的绝对值都不是负数 B．没有一个数的绝对值会是负数
C．离开原点2个单位的点表示的数是2 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
3.下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
4．若，则的值等于
A． B．0 C． D．
5．两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0 B．a＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b|
6.已知为非零的实数，且不全为正数，则的所有可能结果的绝对值之和等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7.，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点是（ ）
A．2022个或2023个 B．2022个或2024个 C．2024个或2025个 D．2025个或2026个
9．如图所示，根据有理数a、b、c在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ）
A. B．
C． D．
10.大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.比较大小：_________．（填“>”“<”或“=”）
12.在 这六个数中，非负有理数有 个．
13.若的最小值为3，则的值为______
14．如果是有理数，那么的最小值是
15.在数轴上， 一个点从表示数 1 的位管开始， 向右运动 4 个单位长度， 再向左运动 7 个单位长度，为一次运动，......如此往复进行,2024次后这时表示的数是
16.已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
进、出记录（单位：吨）
(1)本周内粮库剩余粮食最多的是________（填“星期几”）．
(2)这一周该粮库的粮食数量比原来是增加了还是减少了？增加或减少了多少？
(3)若运输每吨粮食需要200元，请问本周运输粮食一共花费了多少元？
18（本题6分）已知，求的值，并比较它们的大小．
19（本题8分）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
（1）比较大小：a+b 0；b﹣c 0；c﹣a 0．（直接在横线上填“＞”，“＝”，“＜”中的一个）；（2）化简：|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|．
20（本题8分）定义:对于任意一个有理数,我们把称为的相伴数.若,则;若,则.例如:
(1)求，的值; (2)若,化简:
21（本题10分）探索下列问题：（可根据来解决问题）
（1）若有最小值，则当时，有最小值为 .
（2）当m取何值时，有最小值，最小值为多少？
（3）当m取何值时，有最大值，最大值为多少？
22.（本题10分）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题：
（1）；（2）如果有理数，则
（3）请利用你探究的结论计算下面式子：
（4）如图，数轴上有a、b、c三点，化简
23（本题12分）（1）探索材料1（填空）：
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为________；数轴上表示数3和的两点距离为______ ；的意义可理解为数轴上表示数_____和____________这两点的离；
（2）探索材料2(填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在____________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_____________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？
③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在___________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？
（3）结论应用（填空）：①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______；
②代数式的最小值是_______，此时x的值为______；
③代数式的最小值是______，此时x的范围是______．
24（本题12分）我市刚刚闭幕的“商洽会”举行期间，中外宾客齐聚我市．为确保全市道路交通安全有序，我市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．小明作为我市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起站，东至站，途中共设12个上下车站点，“商洽会”开幕式当日，小明参加该线路上的志愿者服务活动，从站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站），，，，，，，，，．
（1）请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？
（3）已知油箱中要保持不低于的油量才能保证汽车安全行驶，若小明开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？
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第1章：有理数培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：C
解析：∵点A，B表示的数的绝对值相等，
∴线段AB中点为原点，则点A到原点为3个单位长度，
∵数轴的单位长度为1.5，∴点A表示的数为-3×1.5=-4.5，
故选择：C．
2.答案：C
解析：任何一个有理数的绝对值都大于或等于零，都不是负数，所以A正确．
没有一个数的绝对值会是负数，所以B正确．
互为相反数的两个数的绝对值相等，所以D正确．
离开原点2个单位的点表示的数是±2，所以C错误．
故选择：C．
3.答案：D
解析：A．当时，，故该项错误；
B．∵，∴当时取最小值，故该项错误；
C．∵，∴，，∴，故该项错误；
D．∵且，∴，∴，故该项正确；
故选择：D．
4.答案：B
解析：∵，
∴
故选择：B
5.答案：C
解析：由题意：﹣a＞0，b＜0，b的绝对值大于﹣a的绝对值．
∵﹣a＞0，
∴a＜0．
∴A选项不正确．
∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，b＜0，a＜0，
∴a＞b．
∴B选项不正确．
∵﹣a＞0，b＜0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b．
∴C选项正确．
∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，
∴|b|＞|a|．
∴D选项不正确．
故选择：C．
6.答案：A
解析：由题意，分以下三种情况：
（1）当 中有一个正数两个负数时，不妨设 ，
则 ；
（2）当 中有两个正数一个负数，不妨设 ，
则 ；
（3）当 都是负数时，
则 ；
综上， 的所有可能结果为 ，
因此，它们的绝对值之和为 .
故答案为：A.
7.答案：C
解析：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；
C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；
D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．
故选择：C．
8.答案：C
解析：①当线段AB起点是整数点时，覆盖的整数点有2025个，
②当线段AB起点不是整数点时，覆盖的整数点有2024个，
综上，线段AB盖住的整点有2024个或2025个，
故答案为：C.
9.答案：C
解析：在数轴上可以直观知道：b到原点的距离最短，其次为a，到原点距离最长的是c，且绝对值的值为非负数，所以0.
故选C.
10.答案：B
解析：根据题意，分2种情况讨论：
①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，
可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有种乘坐方式；
②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，
需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，
对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有种乘坐方式；
则共有种乘坐方式；
故选：B．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12.答案：3
解析：由题意可得：
非负有理数有：，，共3个
故答案为：3
13.答案：
解析： 表示数轴上到与到的距离之和，且其最小值为3，
当介于与之间时，
与的距离为3，即
若，解得；
若，解得，
故答案为：2或．
14.答案：
解析：∵|a|≥0，
∴|a|+2023≥2023，
∴|a|+2023的最小值是2024．
故答案为：2024．
15.答案：
解析：第一次运动：，
第二次运动：，
第三次运动：，
第次运动：
2024次动动所表示的数为：
16.答案：7
解析：，，
，，，
，，三个数中有两负一正，
当，为负，为正数时，
；
当，为负，为正数时，
；
当，为负，为正数时，
；
共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，
，，
．
故答案为：7．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵某粮库已存有粮食100吨，
根据表格可得，
周一粮库剩余粮食为（吨），
周二粮库剩余粮食为（吨），
周三粮库剩余粮食为（吨），
周四粮库剩余粮食为（吨），
周五粮库剩余粮食为（吨），
周六粮库剩余粮食为（吨），
周日粮库剩余粮食为（吨），
∴本周内粮库剩余粮食最多的是星期六；
（2）解：（吨），
答：比原来增加了，增加了10吨．
（3）解：（吨），
（元）
答：一共花费了42000元．
18.解析：∵，
∴
当时，；
当时，
19.解析：（1）根据图示，可得a＜b＜0＜c，
∴a+b＜0；b﹣c＜0；c﹣a＞0.
故答案为：＜，＜，＞.
（2）∵a+b＜0；b﹣c＜0；c﹣a＞0，
∴|a+b|﹣|b﹣c|+2|c﹣a|
＝﹣（a+b）+（b﹣c）+2（c﹣a）
＝﹣a﹣b+b﹣c+2c﹣2a
＝c﹣3a．
20.解析：（1）
(2)∵,
21.解析：⑴、∵， 若有最小值 ，即
这时m-6=0，m=6，∴m=6时，的最小值为0.
⑵、∵
∴m-2=0，m=2时，.
（3）解：，
当时，有最大值，这个最大值为5.
22.解析：（1）
（2）
（3）解：
（4）解：由数轴可得，
，
.
23.解析：（1）,
的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离；
故答案为：．
（2）①当点P在点A左边，PA+PB=2AP+AB,
当点P在点A、点B之间，PA+PB=AB,
当点P在点B右边，PA+PB=2PB+AB,
∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小．
故答案为：点A、点B之间．
②当点P在点A左边，PA+PB+PC=2PA+AC+BP,
当点P在点A、点B之间时，PA+PB+PC=AC+BP,
当点P在点C、点B之间时，PA+PB+PC=AC+BP，
当点P在点C、点B之间时，PA+PB+PC=AC+BP，
当点P在点C右边，PA+PB+PC=AC+BP+2PC，
∴点P应设在点B时才能使P到A,B,C三点的距离之和最小．
故答案为：点B．
③当点P在点A左边，PA+PB+PC+PD=4PA+2AB+CB+AD，
当点P在点A、点B之间时，PA+PB+PC+PD=2PB+BC+AD，
当点P在点C、点B之间时，PA+PB+PC+PD=BC+AD，
当点P在点C、点D之间时，PA+PB+PC+PD=BC+AD+2PC，
当点P在点D右边时，PA+PB+PC+PD=BC+AD+2DC+4PD，
∴当点P在点C、点B之间时，P到A,B,C,D四点的距离之和最小．
故答案为：点B、点C之间．
（3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7．
∴有最小值，最小值为7．
故答案为：．
②由探究材料2得，这是在求点到三点的最小距离，
∴当时，有最小值，最小值为8，
．
故答案为：．
③由探究材料2得，这是在求点到四点的最小距离，
∴当时，有最小值，最小值为18，
．
故答案为：．
24.解析：（1）（站，
即结束服务的“某站”是站．
（2）（站，
（千米），
即这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是90千米．
（3）设该汽车油箱能存储油升，
，
解得，
即该汽车油箱能存储油315升．
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