浙教版九年级上册 1.2.2 二次函数的图象 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
1.2.2 二次函数的图象
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导入课题
问题:说说二次函数y=ax2的图象的特征.
2
6
8
y
4
y=ax2
-8
-4
-2
-6
O
-2
2
x
4
-4
（2）当a>0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ;
当a<0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ;
|a|越大，抛物线的开口 .
（1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 .
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
推进新课
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
y = ax2 +k
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y = 2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
然后描点画图：
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
思考1
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2x2+1
y = 2x2 -1
上
上
y轴
y轴
（0,1）
（0,-1）
相同点：
不同点：
开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。
顶点坐标发生了改变。
知识点2
二次函数y = ax2 +k的图象和性质
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？
思考2
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
y = 2x2
观察图象可发现：
把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2-1.
向上
1
向下
1
所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线y = 2x2+1 平移 个单位得到.
向下
2
抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？
思考3
y
O
x
y = ax2 +k(k<0)
y = ax2+k (k>0)
y = ax2
k
k
结论：
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位.
向上
向下
|k|
二次函数y = ax2 +k的图象和性质:
归纳
a的符号 a>0 a<0
图象 k>0
k<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，k）
（0，k）
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
随堂演练
1.抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向 平移 个单位得到．
2.抛物线y＝- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2．
3.抛物线y＝-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
基础巩固
上
3
下
1
向下
y轴
（0，-5）
课堂小结
复习y=ax2
探索y=ax2+k的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
y轴（直线x=0）
（0,k）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
推进新课
知识点1
二次函数y = a(x+m)2 的图象的画法
y = a(x+m)2
例2 对于二次函数请回答下列问题：
(1)把函数的图象作怎样的平移变换，就能得到函数的图象。
解：(1)函数的图象向右平移4个单位，就得到函数的图象
解：(2)函数的图象的顶点坐标是(4,0)，对称轴是直线x=4
(2)说出函数的图象的顶点坐标和对称轴。
例2 对于二次函数请回答下列问题：
开口方向 对称轴 顶点坐标
下
下
x=-1
x=1
（-1,0）
（1,0）
相同点：
不同点：
开口方向相同、形状相同。
对称轴、顶点坐标发生了改变。
知识点2
二次函数y = a(x+m)2 的图象和性质
-8
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
记作x=-1
x=1
所以， 的图象还可以由抛物线 平移 个单位得到.
思考1
向左
1
向右
1
向右
2
-8
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
观察图象可发现：
把抛物线 平移 个单位就得到抛物线 ; 把抛物线 平移 个单位就得到抛物线 .
抛物线y = a(x+m)2 与抛物线y=ax2 有什么关系？
思考2
y
O
x
y = a(x+m)2 (m<0)
y = a(x+m)2 (m>0)
y = ax2
m
-m
结论：
抛物线y=a(x+m)2的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （m＞0）或 （m＜0）平移 个单位.
向左
向右
|m|
二次函数y = a(x+m)2的图象和性质:
归纳
a的符号 a>0 a<0
图象 m<0
m>0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x≤-m时，y随x增大而增大；当x≥-m时，y随x增大而减小.
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,0）
x=-m时，y最小值=0
x=-m时，y最大值=0
（-m,0）
随堂演练
1.抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向 平移 个单位得到．
2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是 ，顶点坐标是
，对称轴是 .
基础巩固
右
2
向下
（1，0）
直线x=1
课堂小结
复习y=ax2+k
探索y=a(x+m)2的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=-m
（-m,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
推进新课
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x+m)2
y=a(x+m)2+k
y = a(x+m)2+k
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
向左平移一个单位
向下平移一个单位
向左平移一个单位，
再向下平移一个单位
还有其他平移方法吗？
y
O
x
开口方向 对称轴 顶点坐标
上
下
x=-m
x=-m
（-m,k）
y=a(x+m)2+k
y=a(x+m)2+k
a>0
a<0
（-m,k）
知识点2
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0 a<0
图象 m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x≤-m时，y随x增大而增大；当x≥-m时，y随x增大而减小.
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
解：由题图知该二次函数图象的顶点坐标是 ，且经过点 ,
可设该二次函数的表达式为 .
将 代入，得 ，
解得 ,
该二次函数的表达式为 .
由二次函数图象的轴对称性，可知该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标为 .
结论：
m>0，将抛物线y=ax2向左平移，
m<0，将抛物线y=ax2向右平移；
k>0，将抛物线y=ax2向上平移；
k<0，将抛物线y=ax2向下平移，
y
O
x
y=ax2
y=a(x+m)2+k
-m
k
y=a(x+m)2+k
y=ax2
平移关系
？
可概括为：左加右减，上加下减。
1. 将抛物线 向____平移___个单位得到抛物线 .
下
1
函数 的图象可以由抛物线__________向__
平移___个单位得到.

上
1
3. 函数 的图象可以由抛物线 ________先向右平移___个单位,再向____平移2个单位得到.

3
下
随堂演练
课堂小结
y=ax2
y=a(x+m)2
y=a(x+m)2+k
y=ax2+k
y=ax2
y=a(x+m)2+k
h
k
y
O
x
知识点1 抛物线的平移
当堂检测
1.（2022宁波镇海区期末）将抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的函数表达式为( )
D
A. B.
C. D.
2. 将函数 的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点 的是( )
A. 向上平移3个单位 B. 向下平移1个单位
C. 向左平移1个单位 D. 向右平移3个单位
B
知识点2 二次函数 的图象及特征
3.在平面直角坐标系中,二次函数 的图象可能是( )
D
A. &1& B. &2& C. &3& D. &4&
4.（2022宁波鄞州区期末）下列二次函数中，图象的顶点在第二象限的是( )
C
A. B.
C. D.
知识点3 根据二次函数图象的顶点求表达式
5.已知抛物线的顶点坐标是 ，且抛物线经过点 ，则这条抛物线的函数表达式是( )
D
A. B.
C. D.
6.（教材作业题 变式）一个二次函数图象的顶点坐标为 ，且它的形状与抛物线 相同，则该二次函数的表达式是( )
A. B.
C. D.
C
7.若关于 的函数 的图象的顶点在第一象限，则 的取值范围为( )
B
A. B.
C. D.
8.将二次函数 的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的顶点在直线 上，则 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.

[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
（1） 当 时，若点 在该函数图象上，求 的值；
解：当 时，二次函数的表达式为 .
点 在该函数图象上，
.
（2） 小明说：“该二次函数图象的顶点坐标可以是 .”你认为他的说法对吗？为什么？
解：他的说法不对.理由：
由题意，得二次函数 的图象的顶点坐标为 .
若该函数图象的顶点坐标是 ，则 ①， ②，
由①得 ，由②得 ，故小明的说法不对.