(共21张PPT)
3.1直线与圆的位置关系(3)
1、数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。即:无交点,做垂直,证d=r.
2、判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。即:有交点,连半径,证垂直。
证明直线与圆相切有如下二种途径:
A
O
l
复习
1.如图,直线AT与⊙O相切于点A,连结OA.∠OAT等于多少度 在⊙O上再任意取一些点,过这些点作⊙O的切线,连结圆心与切点,半径与切线所成的角为多少度 由此你发现了什么
2.任意画一个圆,作这个圆的一条切线,过切点作切线的垂线,你发现了什么 你的发现与你同伴发现相同吗
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
合作学习
经过切点的半径垂直于圆的切线.
切线的性质
知识要点
一般地,圆的切线有如下的性质:
经过切点的半径垂直于圆的切线
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
(判定垂直)
(判定半径或直径)
∵⊙O与AT相切于点A
∴OA⊥AT
∵圆与AT相切于点A,QA⊥AT,交圆于Q点
∴AQ是圆的直径
A
T
O
Q
几何语言
1、切线和圆只有一个公共点。
2、切线和圆心的距离等于半径。
3、切线垂直于过切点的半径。
4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。
5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
切线的性质:
切线的性质3、4、5可归纳为:已知直线满足a、过圆心,b、过切点,c、垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论。
2、如图,AT切⊙O于点A,AB⊥AT,交⊙O于点B,BT交⊙O于点C。已知∠B=300,AT= 。求⊙O的直径和弦BC的长。
1、如图,直线l切⊙O于点P,弦AB∥l,请说明 的理由
圆的切线垂直于经过切点的半径
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
试一试
例1 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径.
O
A
B
C
D
见切点,连圆心,切线半径相垂直。
1.如图,AB切⊙O于点B,割线ACD经过圆心O,若∠BCD=700, 则∠A的度数为( )
A.20° B.50° C.40° D.80°
A
B
O
C
D
B
练一练
2、如图:PA,PC分别切圆O于点A,C两点,B为圆O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,求∠ABC的度数。
3、如图,已知:AB与⊙O相切于点C ,OA=OB,⊙O的直径为6cm ,AB=8cm,则OA=_____cm.
C
若AB等于6cm,则∠AOB=_______.
5
90°
练一练
例2 如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO与⊙O交于点D,连结CD.求证:
C
B
A
O
D
E
数学知识:切线与弦所夹的角叫弦切角,它的度数等于所夹弧的度数的一半,等于所夹弧所对圆心角度数的一半,等于所夹弧所对的圆周角的度数.
F
如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D,E,连结CD,CE.
1)求证: ∠ACD=∠AEC
2)找出图中的一对相似三角形,并说明理由。
C
B
A
O
D
E
例题分析
弦切角
弦切角定义:
顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切的角叫弦切角.
C
A
B
B
(1) 顶点在圆上;
(2) 一边和圆相交;
(3) 一边和圆相切。
∠BAC的特征:
练一练
练习1、判别下列图形中的角是不是弦切角,并说明理由。(图中AB与圆相切于A)( )
A
D
C
B
D
弦 切 角
B
A
C
B
A
C
B
A
C
画出弦切角∠BAC所夹的弧AmC所对的圆周角∠BPC,探索∠BAC与∠APC的关系。
m
m
m
P
P
P
做一做
O
A
B
C
P
m
O
A
B
C
P
m
O
A
B
C
P
m
画出弦切角∠BAC所夹的弧AmC所对的圆周角∠BPC,探索∠BAC与∠APC的关系。
结论:弦切角等于所夹弧对的圆周角。
1、已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切,梯形的两底 AD 与 BC 是方程 x 2-10x + 16 = 0 的两根,求 ⊙E 的半径 r .
F
2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交
过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并
说明你的理由.
3.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E
作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并
说明理由.
4、如图,∠APC=50°,PA、PC、DE都为⊙O的切线,则∠DOE为 。
变式:改变切线DE的位置,则∠DOE= ;
F
65°
65°
归纳:只要∠APC的大小不变,∠DOE也不变.
练一练
O
C
P
A
D
E
O
C
P
A
D
E
F
如图,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC, ∠C= 30°,AD=1,AB=2.
试猜想在BC是否存在一点P,使得⊙P与线段CD、
AB都相切,如存在,请确定⊙P的半径.
挑战自我
课堂小结
1.切线的性质:
经过切点的半径垂直于圆的切线
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
2.切线性质的应用:
常用的辅助线是连接半径.
综合性较强,要联系许多其它图形的性质.