浙教版九年级下册 1.3 解直角三角形 课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
三角函数定义
α 0° 30° 45° 60° 90°
sinα
cosα
tanα
0
1
1
0
0
不存在
特殊角的三角函数值
互余两角三角函数关系:
sin(900-A)=cosA
tanAtanB=1
cos(900-A)=sinA
同角三角函数关系:
sin2A+cos2A=1
引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是24 ，求斜坡上相
邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米）
24
5.5米
A
B
C
24
5.5米
解：在Rt△ABC中，∠C=90°
引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是24 ，求斜坡上相
邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米）
24
5.5米
A
B
C
≈6.0（米）
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.0米。
合作探究
1、已知在Rt△ABC中，∠C= Rt∠，AB=5，AC=3，求边BC的长。你能求出∠A的度数么？
2、已知在Rt△ABC中， ∠C= Rt∠ ，∠A=560，AB=8，求AC的长。
3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
（1）若∠A=30°，BC=2，求AC、AB、∠B
A
C
B
（2）若BC=2，AB=4，求AC、∠A、∠B
合作探究
已知屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度a和倾角a 吗？
h
L
a
变化：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。你能求出斜面钢条a的长度和设计高度h吗？
a
在上述例题中，我们都是利用直角三角形中的已知边、角来求出另外一些的边角.像这样，
********************************
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
解直角三角形
1.两锐角之间的关系:
2.三边之间的关系:
3.边角之间的关系
A+B=900
a2+b2=c2
C
A
B
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，AB=3，求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）
3
B
C
a
b
A
解：Rt△ABC中
∠B=900-∠A=400
∴a=AB×sinA=3×sin500≈2.3
∴b=AB×cosA=3×cos500≈1.9
例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，能求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°）
L
a
h
a
解:
在Rt△ABD中,
a＝ ( )2+(h)2
l
2
＝ 52+3.52 ≈6.1(m).
h
L
a
A
Ｂ
Ｃ
Ｄ
α
∵tanα＝ ＝0.7,
3.5
5
∴α≈350.
答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.
例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，能求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°）
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
特别强调：
（必须有一个条件是边）
练一练
1、在Rt△ABC中， a，b，c分别是∠A ，∠B和∠C的对边， ∠C=Rt∠，根据下列条件解直角三角形（边长保留2个有效数字，角度精确到1°）
(1) c=7 ,∠A=36 ° (2)b=10, ∠B=60 °
(3) a=5, c=7 (4)b= , cosA=
2、在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B和∠C的对边,∠C=900，根据下列条件解直角三角形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)
C
A
B
（1）c=10，∠A=30°
（2）b=4，∠B=72°
（3）a=5， c=7
练一练
（4）a=20，sinＡ=
如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
本题是已知
一边,一锐角.
应用练习
解　在Rt△ABC中
∵∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜　　
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
∴BC＝AB tan∠CAB
=2000×tan50゜≈2384(米).
∴ ＝tan∠CAB
已知
解直角三角形
a,　ｂ
tanA＝
a
b
∠A, a
C＝
a
sinA
∠A, b
b＝
a
tanA
C＝
b
cosA
a＝b×tanA
C＝ a2+b2
∠A, C
a＝c×sinA
b＝c×cosA
解直角三角形中的边角关系
C
B
A
1.已知，在△ABC中，∠B=45°，AC=4，BC=2 ， 求sinA和AB的值。
2、已知，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5㎝。求AB的长。
A
C
B
4
2
45°
B
A
C
45
60°
45°
解直角三角形
1.两锐角之间的关系:
2.三边之间的关系:
3.边角之间的关系
A+B=900
a2+b2=c2
C
A
B
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = .
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝ = tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
试一试
1、如图
1）若h=2cm， l=5cm，则i= ；
2）若i=1:1.5， h=2m，则l= ；
A
B
h
l
C
2、水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1：2，坝高h=20m，迎水坡的水平宽度= ， tana= ；
3m
40m
例1、厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10m，角A=26 。求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长（精确到0 01cm）
跨度
A
B
C
D
上弦
中柱
例2、水库堤坝的横断面是梯形.测得BC长为6m,CD长为60m,斜坡的坡比为1:2,5,斜坡AB的坡比为1:3,求:
(1)斜坡CD的坡角∠D和坝底的宽(角度精确到1’,宽度精确到0.1m);
A
B
D
C
F
E
解:
作BE⊥AD,
CF⊥AD.
在Rt△CDF中,
tanD＝ ＝ ＝0.4,
CF
DF
1
2.5
∴∠D≈21048’
∴CF＝CD·sinD
＝60×sin21048’≈22.28(m)
DF＝CD·cosD
＝60×cos21048’≈55.71(m)
BE
AE
＝
1
3
∵
∴ AE＝3BE
＝3CF＝66.84(m),
∴AD＝AE＋BC＋DF
＝66.84＋6＋55.71
＝128.55≈128.6(m).
A
B
D
C
F
E
解:
设横断面面积为Sm3.
则S＝ (BC＋AD)×CF
1
2
1
2
＝ (6＋128.55)×22.28
≈1498.9(m2),
∴需用土石方v＝s
l
(2)若堤坝长 ＝150m,问建造这个堤坝需用多少土石方 (精确到1m3)
l
＝1498.9×150
＝224835(m3)
答:斜坡CD的坡角约为21048’,坡底宽约为128.6m,建造这个堤坝需用土石方224835m3.
例2、水库堤坝的横断面是梯形.测得BC长为6m,CD长为60m,斜坡的坡比为1:2,5,斜坡AB的坡比为1:3,求:
1、某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 m，则此人的垂直高度增加了____________m .
2、已知堤坝的横断面是等腰梯形ABCD，上底CD的宽为a，下底AB的宽为b，坝高为h，则堤坝的坡度i=_______________（用a,b,h表示）.
A
D
C
B
310
19.4.6
3、如图一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、 F．由题意可知：
DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.
在Rt△ADE中，因为
所以
在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90
≈27.13（米）．
答：路基下底的宽约为27.13米．
2.0
1:2.5
1:2
B
C
A
D
E
F
如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,
求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后的背水坡的坡角
(2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少 (精确到0.01)
1、如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.
2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).
A
B
C
┌
做一做
B
A
C
D
A
B
C
D
做一做
3、如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
F
E
4、横截面为等腰梯形的水库大坝,坝顶宽6m,坝高10m,斜坡AB的坡度i=1:2,为了提高大坝的储水能力,在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下,加固一条长50m的大坝,需要多少土方
B
C
A
D
做一做
例3、体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m。在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程。已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）
36
36.3
O
A
B
36.3
36
O
A
B
45
解:
连结AB,
由题意得
AB＝45m, OB＝36.3m
由弧长公式 ＝ ,
l
nπR
180
得 n＝
l
180
nπ
＝ ≈71.06(度).
180×45
3.14×36.3
作OC⊥AB于C.
∵OA＝OB,
∴AB＝AC
且∠AOC
1
2
＝ ∠AOB＝35.530
∴AC＝OAsin∠AOC
＝36.3×sin35.530
≈21.09 (m)
∴AB＝2AC
＝2×21.09≈42.2(m).
答:B栏架离A栏架的距离约为42.2m.
C
1、如图是一污水管的横截面,已知污水管的内径为70cm.污水的高度为10cm.求污水截面面积s.
Φ70
10
单位: 厘米
解:
A
B
C
D
E
O
在Rt△AOE中,
OA＝35㎝,OE＝35-10＝25㎝.
∴cos∠AOE＝
25
35
∴∠AOE≈44.40,
∴∠AOC≈88.80
∴S＝S扇形OAC－S△AOC
S扇形OAC≈
88.8×352π
360
AE＝ 352－252 ≈24.5,
S△AOC≈ ×2×24.5×25
1
2
≈948.8(㎝),
≈612.5(㎝2)
≈948.8－612.5≈336(㎝2)
答:污水截面面积约为336㎝2.
2、如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形ABCD,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=188mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mmm).
A
B
C
D
3、一个锥形零件的轴截面如图所示，已知倾角α=5.20, 零件的长度l=20cm，大头直径D=10cm，求小头直径d（精确到0.1cm）
D
d
L
α
谈谈今天的收获
已知在△ABC中，AB+AC=9cm，AB和AC的夹角为300，设当AB为x（cm）时，△ABC的面积为S（cm2）
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）问何时△ABC的面积最大？最大面积为多少？