浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步测试（培优版）（含解析）

浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步测试
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同学们：
练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你收获满满，学习进步，榜上有名！
一、选择题
1．如图，工人师傅做了一个长方形窗框 分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不能钉在（　　）
A． 两点之间 B． 两点之间
C． 两点之间 D． 两点之间
2．阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
3．如图，中，，，三条角平分线、、交于，于下列结论：；；平分；其中正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）
A．7 B． C．8 D．9
5．如图，中，分别是其角平分线和中线，过点C作于F，连接，则线段的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
6．如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
7．对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心，为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接，，过点A作直线n与直线垂直，设是，直线n与所夹的锐角是，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲：，乙：，丙：．
对于三人的答案，下列结论正确的是（　　）
A．只有甲的答案正确 B．甲和乙的答案合在一起才正确
C．甲和丙的答案合在一起才正确 D．甲乙丙的答案合在一起才正确
8．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的，在下列给定的条件下，再增加一个“”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
10．乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量池塘两端，的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：
乐乐：如图，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．
明明：如图，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离．
聪聪：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使这时只要测出的长即为，的距离．
以上三位同学所设计的方案中可行的是（　　）
A．乐乐和明明 B．乐乐和聪聪
C．明明和聪聪 D．三人的方案都可行
二、填空题
11．如图，已知D是△ABC的边BC上一点，且，，AE是△ABD的中线，若，则　 　．
12．如图，在锐角中，，、为的角平分线．且、交于点，连接．有下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是　 　 ．
13．如图，在中，点O是和的平分线的交点，点D是BC延长线上的点，和的平分线交于点E，，则的度数为　 　．（用含的式子表示）
14．如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则　 　度．
15．在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝　 　
16．如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段 的长为　 　．
三、解答题
17．
（1）如图，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹.
（2）如图a，在△ABC中， ∠ACB= 90°，∠A= 60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.请探究线段BC、BF、CE之间的关系，直接写出结论，不要求证明.
（3）如图b，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的关系，请证明你的结论.
要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？
19．已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD=DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF=AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图3．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．
20．如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为AB、AD上的动点，且 ．求证： ．
21．如图（1），，，垂足分别为、，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为当点运动结束时，点运动随之结束．
（1）AP　 　，　 　用含的代数式表示；
（2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（3）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点、运动到何处时有与全等，求出相应的的值．
22．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，直接写出和之间的数量关系　 　；
（2）如图2，过点作于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分，平分，若，，直接写出的度数．
23．综合与实践
（1）问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
请写出平分的依据：　 　；
（2）类比迁移：
小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
（3）拓展实践：
小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
24．下面是张老师数学课堂教学实践活动的一个片段：
【问题背景】如图1，一副三角板的直角顶点重合，两条直角边分别共线，将它们分别记作，．其中，，，．现固定三角板，将三角板绕点A逆时针旋转，旋转角记为，射线与射线交于点P，在射线上取一点Q，使，连接CQ．
（1）【特例探究】如图2，当时，直接写出和的数量关系和位置关系．
（2）【归纳证明】如图3，当点P在线段BC上时，【特例探究】中得到的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）【类比迁移】当点P在线段延长线上时，请直接写出【特例探究】中结论是否成立，不必说明理由．
（4）【拓展应用】连接．若，的面积等于，请直接写出的长．
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A．若钉在E，H两点之间构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
B．若钉在A，C两点之间能构成三角形，能固定窗框，故不符合题意；
C．若钉在F，E两点之间能构成三角形，能固定窗框，故不符合题意；
D．若钉在E，G两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形的定义判断求解即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由作图可得：CM=DM.
∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠1=∠2.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS证明△OCM≌△ODM，据此判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
，
，
， ，
，
故①正确；
于H ，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故③错误；
如图，在BC上截取BI=BF，连接OI ，
，
，
，
，
在△OBI和△OBF中，
，
∴△OBI≌△OBF（SAS）
，
，
，
，
在△CIO与△CEO中，
，
∴△CIO≌△CEO（ASA）
，
，
故④正确.
故答案为：C.
【分析】易得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的概念可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，则∠OBC+∠OCB=60°，利用内角和定理求出∠BOC的度数，据此判断①；根据余角的性质结合外角的性质可得∠DOH=90°-∠BAD-∠ABC，结合角平分线的概念以及内角和定理可得∠DOH=(∠ACB-∠ABC)，进而判断②；易得∠ACB>60°，则∠ABC4．【答案】C
【解析】【解答】解：延长BE交AC于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAE＝∠BAE，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠AEH=90°，
在△HAE和△BAE中，
，
∴△HAE≌△BAE（ASA）
∴AH＝AB＝6，HE＝BE，
∵HE＝BE，AD＝DB，
∴DF AC，
∵HE＝BE，
∴HC＝2EF＝2，
∴AC＝AH＋HC＝8，
故答案为：C．
【分析】延长BE交AC于H，证明△HAE≌△BAE（ASA），根据全等三角形的性质求出AH，根据三角形中位线定理解答即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
过点C作CM//AB，交AE的延长线于点M，交 AD 的延长线于点N，
∵CM//AB，
∴∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，
∵BE=CE，
∴△ABE≌△MCE，
∴AB=CM=10，AE=EM，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB//CM，
∴∠BAD=∠ANC，
∴∠ANC=∠CAD，
∴AC-CN-6，
∴MN=4，
∵AC=CN，CF⊥AD，
∴AF=FN，
∵AE=EM，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质先求出∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，再利用全等三角形的判定与性质，角平分线的定义计算求解即可。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示：
∵，为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，故B正确.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AC于点G，过点P作PH⊥AB于点H，由角平分线的性质可得PF=PG=PH，根据内角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，结合角平分线的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，则∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS证明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四边形AEPD=S四边形AHPG=5，则S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四边形AHPG=11，利用HL证明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，据此计算.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：当点D在BP的延长线上时，
由作图可知，直线m是线段AB的垂直平分线，
∵点P在直线m上，
∴PA=PB，∠ABP=∠BAP，
∴APD=180°-x°=∠ABP+∠BAP=2∠ABP=2∠BAP，
∴∠ABP=∠BAP=90°-，
∵直线n与直线PB垂直，
∴∠ADP=90°，
∴∠DAP+∠BAP+∠ABP=90°，
∴y°+90°-+90°-=90°，
∴x°-y°=90°，
即x-y=90，
当点D在线段PB上时，如下图所示：
同理可得，x+y=90°，
故答案为：D.
【分析】分类讨论，结合图形，利用线段的垂直平分线，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等计算求解即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得HE=DG=1，GC=HB=4，∠EHB=∠DGC=90°，
∴△EHB≌△DGC（SAS），
∴∠EBH=∠DCG，
∵DB∥GC，
∴∠DBA=∠BAC，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意即可得到HE=DG=1，GC=HB=4，∠EHB=∠DGC=90°，进而根据三角形全等的判定与性质证明△EHB≌△DGC（SAS）即可得到∠EBH=∠DCG，再根据平行线的性质即可得到∠DBA=∠BAC，进而结合题意得到，再结合题意即可求解。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：A、已知两边AB、BC和其中BC的对角∠A，不能确定三角形ABC的形状和大小，符合题意；
B、已知两边AB、AC和它们的夹角∠A，能确定三角形ABC的形状和大小，不符合题意；
C、A、已知两角∠A、∠C和其中∠C的对边AB，能确定三角形ABC的形状和大小，不符合题意；
A、已知三边AB、BC和AC，能确定三角形ABC的形状和大小，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的判定条件，进行判断即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵DC=AC，EC=BC，∠DCE=∠ACB，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE，故乐乐的方案可行.
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=90°，∠EDC=90°.
∵∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，故明明的方案可行.
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∠BDC=∠BDA，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=BC，故聪聪的方案可行.
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定定理以及性质进行判断即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：延长AE到F，使EF=AE，连接DF
∵BE=DE，∠AEB=∠FED，AE=EF，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB=DF，∠B=∠FDE.
∵CD=AB，
∴CD=DF.
∵∠BAD+∠B=90°，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴∠B+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADF=∠FDE+∠BDA，∠BAD=∠BDA，
∴∠ADC=∠ADF.
又∵AD=AD，CD=DF，∠ADC=∠ADF，
∴△ADC≌△ADF（SAS），
∴AC=AF=AE+EF=2AE.
∵AE=，
∴AC=2AE=.
故答案为：.
【分析】延长AE到F，使EF=AE，连接DF，利用SAS证明⊿ABE≌⊿FDE，得到AB=DF，∠B=∠FDE，由已知条件可知CD=AB，则CD=DF，根据∠BAD+∠B=90°结合内角和定理可得∠B+∠ADB=90°，则∠BAD=∠BDA，由外角的性质可得∠ADC=∠B+∠BAD，根据角的和差关系可得∠ADF=∠FDE+∠BDA，进而推出∠ADC=∠ADF，利用SAS证明△ADC≌△ADF，得到AC=AF=AE+EF=2AE，据此计算.
12．【答案】①③④
【解析】【解答】解：①∵BE、CD为△ABC的角平分线 ，∴∴，又∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，∴∠FBC+∠FCB=60°∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°-60°=120°，所以①正确；
③如图3所示，在BC上截取BG=BD，在△BDF和△BGF中，BD=BG，∠DBF=∠GBF，BF=BF，∴△BDF≌△BGF，∴∠BFD=∠BFG，又∠BFD=180°-∠BFC=180°-120°=60°，∴∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC-∠BFG=120°-60°=60°，又∠CFE=∠BFD=60°，∴∠CFG=∠CFE，又CF=CF，∠FCG=∠FCE，∴△CFG≌△CFE，∴CG=CE，∵BC=BG+CG
∴BC=BD+CE，所以③正确；
④已知点F是角平分线的交点，所以点F到各条边的距离相等，设点F到边的距离为h，则，，∴，由③知BC=BD+CE，∴，∴，所以④正确；
②假设BD=CE成立，由③知BC=BD+CE=2BD=2BG，即点G是BC的中点，又∠BFG=∠CFG，FG=FG，∴△BFG≌△CFG，∴∠FBG=∠FCG，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，但已知△ABC并没有说是等边三角形，所以②结论不正确。综上，①③④正确。
故第1空答案为：①③④.
图3
【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和可判定①正确；由反证法可说明②不正确；通过证明三角形全等可证得③结论正确；根据角平分线的性质可知点F到三边的距离相等，可得④正确，故可得出答案。
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α
又∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB
∴2∠OBC+2∠OCB=180°-α
∴
∴
∵BE平分∠OBC，CE平分∠OCD
∴，
∴
∴
故答案为.
【分析】要求∠E的度数，我们可以利用△BEC的外角∠ECD，因为∠E=∠ECD-∠EBC.而根据BE和CE分别是∠OBC和∠OCD的角平分线的性质，，，所以，即只要求出∠O的度数即可.利用∠A=α，利用三角形内角和为180°，得到∠ABC和∠ACB的度数和180°-α，OB和OC是∠ABC和∠ACB的角平分线，得到∠OBC和∠OCB的度数和，进而得到∠O的值，回代至即可.
14．【答案】160
【解析】【解答】解：如图1，连接，
∵在中，，
∴．
∵三内角的角平分线交于点D，
∴平分，
∴，
同理可得，，，
∵在中，
，
又∵，，，
∴，
∵，
∴．
如图2，连接，
∵三边的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，
．
故答案为：160．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。
15．【答案】25
【解析】【解答】解：如图示：
过点 ，分别作 交 于点 ， 交 于点 ， ，交 延长线于点 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
在 和 中，
∴ ，
故答案为：25.
【分析】过点E，分别作 EF⊥BD于点E， EG⊥AC于点G，EH⊥AB交AB延长线于点H ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EH=EF=EG，根据三角形外角的性质得∠HAC=∠ABC+∠ACB=112°，由角平分线的定义得∠EAO=∠HAC，∠EBC=∠ABC，在△AOE和△BOC中， 由∠AEB=∠OBC+∠OCB-∠OAE即可求解.
16．【答案】 或
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
，
可得第n条线段 的长为： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出 ，再求出，最后找出规律求解即可。
17．【答案】（1）解：以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P.
（2）解：线段BC、BF、CE之间的关系为：BC=BF+CE .
在BC上截取BD=BF.
在△BFO和△BDO中
∴△BFO≌△BDO
∴∠BOF=∠BOD
∵∠A= 60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.
∴∠BOC=180°－ ∠ABC－ ∠ACB=180° －60° =120°
∴∠BOD=∠BOF=∠COE=180°－120°=60° .
∠COD=∠BOC－∠BOD=120°－60° =60°
在△COE和△COD中
∴△COE≌△COD
∴CE=CD
∴BC=BF+CE .
（3）解：线段BC、BF、CE之间的关系为：BC=BF+CE .
在BC上截取BF'=BF.
在△BFO和△BF'O中
∴△BFO≌△BF'O
∴∠BOF=∠BOF'
∵∠A=60° ，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.
∴∠BOC=180°－ ∠ABC－ ∠ACB=180°－60° =120°
∴∠BOF'=∠BOF=∠COE=180°-120°=60° .
∠COF'=∠BOC－∠BOF'=120° -60°=60°
在△COE和△COF'中
∴△COE≌△COF'
∴CE=CF'
∴BC=BF+CE .
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点即可；（2）在BC上截取BD=BF，首先证明△BFO≌△BDO，创造条件证明△COE≌△COD即可；（3）在BC上截取BF'=BF，首先证明△BFO≌△BF'O，创造条件证明△COE≌△COF'即可.
18．【答案】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；
五边形木架，至少要再钉上2根木条，使五边形变成3个三角形；
六边形木架，至少要再钉上3根木条，使六边形变成4个三角形；
n边形木架，至少要再钉上（n﹣3）根木条，使多边形变成（n﹣2）个三角形
【解析】【分析】 根据三角形具有稳定性，主要是应用了三角形的稳定性，四边形木架，至少要再钉上1根木条；五边形木架，至少要再钉上2根木条；六边形木架，至少要再钉上3根木条；n边形木架，至少要再钉上（n﹣3）根木条.
19．【答案】解：当点F在边AC的延长线上时，延长EF、AD相交于点G，如图：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠BAD=∠G，∠B=∠E，
∴∠CAD=∠G，
∴FA=FG，
在△ABD和△GED中，，
∴△ABD≌△GED(AAS)，
∴AB=EG，
∴AF+EF=FG+EF=EG=AB；
当点F在边AC上，延长FE、AD相交于点H，如图：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠BAD=∠H，∠B=∠DEH，
∴∠CAD=∠H，
∴FA=FH，
在△ABD和△HED中，，
∴△ABD≌△HED(AAS)，
∴AB=EH，
∴AF-EF=FH-EF=EH=AB；
当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图：
延长AD交EF于点I，
∵AD是△ABC的外角平分线，
∴∠JAD=∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠JAD=∠AIF，∠B=∠E，
∴∠CAD=∠AIF，
∴FA=FI，
在△ABD和△IED中，，
∴△ABD≌△IED(SAS)，
∴AB=EI，
∴EF- AF= EF-IF=EI=AB．
【解析】【分析】利用三角形的全等判定方法和性质求解即可。
20．【答案】证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【解析】【分析】延长 至点 ，使得 ，连接 ，根据同校的补角相等得出，根据SAS证明 ，则 ， ，进而证明 ，根据SAS证明 ，得出ME=MN，则 ．
21．【答案】（1）2t；（7-2t）
（2）解：△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：
证明：点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
当t=1时，AP=BQ=2cm，BP=7-2=5cm，
∵AC=5cm，
∴AC=BP，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△CAP与△PBQ中，
∵AC=PB，∠A=∠B=90°，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∵∠ACP+∠CPA=90°，
∴∠BPQ+∠CPA=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（3）解：由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，
分类讨论：
①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，
∴5=7-2t且2t=tx，
解得x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
∴5=xt且2t=7-2t，
解得t=，x=，
综上当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2或.
【解析】【解答】解：（1）AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm；
故答案为：2t，（7-2t）；
【分析】（1）根据路程=速度×时间可表示出AP的长，进而根据BP=AB-AP可表示出BP；
（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：由题意易得AP=BQ，AC=BP，由垂直定义得∠A=∠B=90°，用SAS判断出△CAP≌△PBQ，得∠ACP=∠BPQ，从而由直角三角形两锐角互余、等量代换及平角定义可得∠CPQ=90°，根据垂直定义可得答案；
（3）由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，分类讨论：①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，分别列出方程，求解可得答案.
22．【答案】（1）
（2）解：如图2，过点作
，即，
又，
，
，，
，
，
（3）解：
【解析】【解答】解（1）∵AM∥CN，AB⊥BC，
∴∠A+∠C=90°
故答案为：∠A+∠C=90°.
（3） 如图三作BG∥DM
设∠DBE=α，则∠DBC=2α+90°，∠BFC=3α.
则
∵BD⊥AM，
∴∠DFB=45°-α.
∴∠AFC=∠DFB+∠BFC=45°+2α.
∵∠FCB+∠NCF=180°，∠AFC+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=45°+2α.
由(2)知，∠NCB=2α，
∴2α+2(45°+2α) =180°，
解得α=15°.
∴∠EBC=90°+α=105°.
【分析】（1）已知AB⊥BC，由两直线平行同位角相等，即可推出∠A与∠C之间的数量关系；
（2）如图2作BG∥DM，然后根据同角的余角相等，可以得出∠ABD=∠CBG，再由平行线的性质，可以得出∠C=∠CBG，然后即可得∠ABD=∠C；
（3） 如图三作BG∥DM，然后设∠DBE=α，则∠DBC=2α+90°，∠BFC=3α，由BD⊥AM可以推出∠AFC=∠DFB+∠BFC=45°+2α，再由题上所给条件以及（2）中可得2α+2(45°+2α) =180°，然后解出α，求出∠EBC的度数.
23．【答案】（1）
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）解：如图，点即为所求作的点；
．
【解析】【解答】解：（1）∵DE=DE，CE=DE，CO=DO，
∴△EDO≌△ECO（SSS），
∴∠EOB=∠EOA，
∴就是的平分线，
故答案为：SSS
【分析】（1）根据三角形全等的判定（SSS）结合三角形全等的性质即可求解；
（2）先证明，进而即可得到，再根据角平分线的判定即可求解；
（3）根据题意画出∠CAB的角平分线，进而截取AE=AD即可求解。
24．【答案】（1）解：特例探究，
∵，
∴，
∴．
∵，∴．
在△ABP和△ACQ中，
∴．
∴，．
∴．
∴．
（2）解：归纳证明：结论成立．
证明：
∵，
∴，
∴．
∵，∴．
在△ABP和△ACQ中，
∴．
∴，．
∴．
∴．
（3）结论成立
（4）或
【解析】【分析】（1）先求出 ，再利用全等三角形的判定方法求出 ，最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再利用SAS证明 ，最后证明求解即可；
（3）根据（1）（2）所求，找出规律求解即可；
（4）结合图形，利用三角形的面积公式计算求解即可。