中小学教育资源及组卷应用平台
第1章：二次函数能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线
2.已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4．已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5. 抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有
C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有
8.如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
10.如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）①；②；③；④若方程两根为，则．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______．
12． 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，且它的顶点坐标为（﹣1，6），则这条抛物线的解析式为
13．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＞mx+n的解集为
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
15.关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 ________（填写所有正确结论的序号）．①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；
③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
16.二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）（1）求缆索所在抛物线的函数表达式；（2）点E在缆索上，，且，，求的长．
18（本题6分）．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y轴交于点C，直线 y=x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.（1）求抛物线的解析式.（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形 求出此时点P的坐标.
19（本题8分）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
（1）求的值；（2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．
20（本题8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.
21（本题10分）．已知抛物线的图象与x轴交于点和点C，与y轴交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
22.（本题10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．（1）求二次函数的表达式；（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
23（本题12分）我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．
（1）判断抛物线与是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，请说明理由．（2）抛物线与是“共点抛物线”，且“共点”在轴上，求抛物线的函数关系式．（3）抛物线与是“共点抛物线”，求的值．
24（本题12分）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第1章：二次函数能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选择：D．
2.答案：A
解析：二次函数图象经过第一、二、四象限，
设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得
解得．
故选择：A．
3.答案：C
根据题意画出函数的图像，如图所示：
∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，
∴，，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∵抛物线的顶点为，
∴，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选择：C．
4.答案：B
解析：
对称轴为.
a=1>0，抛物线开口向上，
所以点到对称轴距离越远，对应的函数值越大.
∵A到对称轴距离：；B到对称轴距离：；C到对称轴距离：；
∵
∴.
故选择：B.
5.答案：A
解析：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为
依题意，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，，即
∴，故A选项正确，符合题意；
若对称轴为，即，
而，不能得出对称轴为直线，
故B选项不正确，不符合题意；
∵抛物线与坐标轴有2个交点，
∴方程有两个不等实数解，即，又
∴，故C选项错误，不符合题意；
无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意；
故选择：A．
6.答案：C
解析：根据题意得：
，
解得：，
∴的取值范围是，
故选择：C．
7.答案：C
解析：二次函数解析式为，
二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，
当时，，
当时，，
，
当时，，
，
故A、B错误，不符合题意；
当时，，
由二次函数对称性可知，，
当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选择：C．
8.答案：D
解析： ∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选择：D．
9.答案：B
解析：将点E（2，4）代入解得：a=1
∵当点，四边形为正方形
∴CD=CE=EF=4
设点A横坐标为m，则A（m，8）
代入解得：
故选择：B
10.答案：B
解析：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，方程两根为满足，故④正确；
故选择：B．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
当时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离为．
故答案为：
12.答案：
解析：由题意可知顶点坐标， 抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同 ，
所以得y=a(x+1)2+6，a=-2，
∴
故答案为：.
13.答案：-3＜x＜1.
解析：∵ 抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），
∴ 关于x的不等式ax2+bx＞mx+n 的解集为-3＜x＜1，
故答案为：-3＜x＜1.
14.答案：4
解析：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），
∴
解得：．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴是直线．
∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0），
∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
15.答案：①．
解析：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，
∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．
又若此抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0．
∴m＝4，故②错误．
由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4，
∴对称轴是直线．
又抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵A（m﹣2，y1），B（m+1，y2），
∴m﹣（m﹣2）＝2＞m+1﹣m＝1．
∴y1＞y2，故③错误．
故答案为：①．
16.答案：
解析：把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为，
设缆索所在抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为；
（2）解析：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的长为．
18.解析：（1）根据题意，得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
（2）解析：如图所示，
∵PQ∥y轴，
∴当PQ=CD时，四边形PDCQ是平行四边形.
∵当x=0时，
y=-x2+2x+3=3，y=x+2=2，
∴C(0，3)，D(0，2).
∴CD=1.
设Q(m，-m2+2m+3)，则P(m，m+2).
∴PQ=(-m2+2m+3)-(m+2)=1，
解得m1=0，m2=1.
当m=0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，
∴m=1，m+2=3.
∴点P的坐标为(1，3).
19.解析：（1）二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得，，
∴；
（2）解析：由（1）可知二次函数解析式为：，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
∴．
20.解析：（1）把代入得，，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解析：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；
当时，如图，此时，
∴，
又∵，
∴；
当时，如图，此时，
解得，
又∵，
∴；
综上，当或，都有．
21.解析：（1）抛物线的图象经过点和点
，解得
抛物线的解析式为：.
（2）解析：对称轴为，令，
解得，，，如图所示.
点C与点A关于直线对称，
连接与对称轴的交点即为所求之P点，
的长是个定值，则此时的点P，使的周长最小，
由于A、C两点关于对称轴对称，则此时最小.
设直线的解析式为，由可得，
解得，，直线解析式为；
当时，，点坐标为；
22.解析：（1）将代入，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为．
（2）解析：设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以点坐标为．
23.解析：（1）抛物线与是“共点抛物线”都经过坐标原点，
与是“共点抛物线”，共点”为．
（2）令
解得，，
当，，
不是共点；
当时，，解得
；
（3）若两个抛物线是“共点抛物线”，
则方程 有两个相等的实数根
即 有两个相等的实数根，
△
解得或
的值为0或4．
24.解析：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
