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3.2.2图形的旋转（二）七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：旋转对称图形的识别
【经典例题1】下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练1-1】下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-2】下列图形中，不能由一个图形通过旋转而成的为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（ ）
A．可回收物 B．有害垃圾
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【变式训练1-4】观察下列图标，其中既是轴对称图形又是旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】如所示的四个交通标志图中，为旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：求旋转对称图的旋转角度
【经典例题2】若将如图所示的图案绕它的旋转中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，把图形绕着它的中心旋转后可以与原来的图形重合，则至少要旋转（ ）度
A．60 B．120 C．180 D．270
【变式训练2-2】风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则n的值不可能的是（ ）
A．120 B．180 C．240 D．360
【变式训练2-3】将如图所示的正五角星绕着它的中心点顺时针旋转一定角度后能与原图形重合，则这个旋转角的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】将如图所示的图案绕其中心旋转，当此图案第一次与其自身完全重合时，其旋转角的大小为 度．
【变式训练2-5】如图，在正方形中，于点M，，且点M是的中点，那么正方形绕点M至少旋转 度与它本身重合．
题型三：求绕原点旋转90°的点的坐标
【经典例题3】如图，在中，，顶点，，将绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是 ．
【变式训练3-3】线段在平面直角坐标系内，A点坐标为，线段绕原点O逆时针旋转，则点的坐标为 ．
【变式训练3-4】在如图所示的平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ．
题型四：求绕点（非原点）旋转90°的点的坐标
【经典例题4】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，将先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格线的格点上，将绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点P的坐标为 ．
【变式训练4-4】要求完成：
(1)画出格子图中平行四边形绕点B逆时针旋转的图形．
(2)按画出这个平行四边形放大后的图形．
【变式训练4-5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出关于轴对称的，并写出的坐标；
(2)作出绕点顺时针方向旋转得到的，并写出的坐标．
题型五：绕原点旋转的一定角度的点的坐标
【经典例题5】如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转45°，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正半轴的夹角为，且，若将线段绕点O沿逆时针方向旋转到线段，则此时点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-4】将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ．
【变式训练5-6】如图，在平面直角坐标系中，将绕点旋转，得到，请画出，并求出、、的坐标．
题型六：坐标与旋转规律问题
【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-3】如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形OABC，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形OABC绕原点O沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-5】如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到则的直角顶点的坐标为 ．
题型七：旋转综合题
【经典例题7】在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．
(1)如图①，当时，求与的交点的坐标；
(2)如图②，连接，当经过点A时，求的长；
(3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)．
【变式训练7-1】[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，．
[问题解决]
(1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值．
【变式训练7-2】在等边中， 点是上一点， 点是上一点， 与 交于点，且．
(1)如图1， 若 求 的长度；
(2)如图2， 延长至点 ，使得 连接，点为中点， 连接，， 求证 ；
(3)如图3， 点 为中点， 将沿折叠得到四边形，动点 在线段上运动包括端点，连接、，将绕点 顺时针旋转得到将绕点 逆时针旋转 得到 连接． 点 为的中点，求的取值范围．
【变式训练7-3】如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形；
①在旋转过程中，当是直角时，求的度数；
②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______．
【变式训练7-4】如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
(1)填空：
①的度数为__________；
②线段，之间的数量关系为__________；
(2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由．
【变式训练7-5】（1）问题发现：
如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程；
（2）拓展研究：
请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明；
②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值．
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3.2.2图形的旋转（二）七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：旋转对称图形的识别
【经典例题1】下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平移，旋转，轴对称的基本概念，根据平移，旋转，轴对称的定义即可作出判断．解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的判定方法．
【详解】解：选项A的图形可以由旋转变换得到，但不能由平移变换和轴对称得到，故A不符合题意；
选项B的图形可以通过旋转变换和平移变换得到，但不能由轴对称得到，故B不符合题意；
选项C的图形可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到，故C符合题意；
选项D的图形可以由旋转变换和轴对称变换得到，但不能由平移变换得到，故D不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-1】下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查旋转对称图形的定义，根据：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，”进行判断即可．
【详解】解：前三个图形是旋转对称图形；第四个图形不是旋转对称图形．
故选：C．
【变式训练1-2】下列图形中，不能由一个图形通过旋转而成的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转对称图形，根据旋转对称图形的定义逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：不能由一个图形通过旋转而成的为是：
，
故选C．
【变式训练1-3】垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（ ）
A．可回收物 B．有害垃圾
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
【答案】A
【分析】本题考查了旋转对称图形，正确记忆相关概念是解题关键．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断．
【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以都是旋转对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以不是旋转对称图形．
故选：A．
【变式训练1-4】观察下列图标，其中既是轴对称图形又是旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是旋转对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是旋转对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是轴对称图形又不是旋转对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查轴对称图形及旋转对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合；旋转对称图形的关键是寻找旋转中心，图形绕旋转中心旋转一定角度后，能够和原来的图形重合．
【变式训练1-5】如所示的四个交通标志图中，为旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可．
【详解】解：题中所示的四个交通标志图中，只有选项D旋转与原图形重合，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
题型二：求旋转对称图的旋转角度
【经典例题2】若将如图所示的图案绕它的旋转中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是旋转的性质，旋转角的理解，根据旋转的性质可得答案．
【详解】解：如图，设O的是图形的中心，
∴至少将它绕中心旋转，才能与自身重合．
故选A．
【变式训练2-1】如图，把图形绕着它的中心旋转后可以与原来的图形重合，则至少要旋转（ ）度
A．60 B．120 C．180 D．270
【答案】B
【分析】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【详解】解：，
该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故选：B．
【变式训练2-2】风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则n的值不可能的是（ ）
A．120 B．180 C．240 D．360
【答案】B
【分析】本题考查旋转对称图形的定义，根据：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，”进行判断即可．
【详解】解：由图可得，该图形被平分三部分，每部分的度数为，
∴旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故选：B．
【变式训练2-3】将如图所示的正五角星绕着它的中心点顺时针旋转一定角度后能与原图形重合，则这个旋转角的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，旋转角的概念和性质，根据旋转后重合的性质即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
从平均分成了，
∴到，需要旋转，即旋转的整数倍，
∵，，，，
∴不可能是，
故选：C ．
【变式训练2-4】将如图所示的图案绕其中心旋转，当此图案第一次与其自身完全重合时，其旋转角的大小为 度．
【答案】90
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平均分成4部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平均分成4部分，
∴每部分被分成的圆心角是，
∵圆具有旋转不变性，
∴当此图案第一次与其自身完全重合时，其旋转角的大小为90度
故答案为：90．
【变式训练2-5】如图，在正方形中，于点M，，且点M是的中点，那么正方形绕点M至少旋转 度与它本身重合．
【答案】90
【分析】本题主要考查了旋转对称图形、全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质解题的关键．
根据题意得出对角线互相垂直，进而得出旋转的角度，据此可解决问题．
【详解】解：根据题意可得：
，
在和中
，
，
，
同理可得，，
，
又∵，
∴至少旋转会与它本身重合．
故答案为：90．
题型三：求绕原点旋转90°的点的坐标
【经典例题3】如图，在中，，顶点，，将绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握图形旋转的性质是解题的关键．
如图1，过点作轴于点，根据，利用全等三角形可得出点C的坐标，再根据旋转构造全等三角形即可解答．
【详解】如图1，过点作轴于点，
，，，
，，，
，
，,
∴，
，
连接，，过点作轴于点，
由旋转的性质可知：,
∴,
∴，
∴，
，，
点的对应点的坐标为．
故选：D．
【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与旋转：根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可．
【详解】解：∵点在轴，
∴绕原点O顺时针旋转后，落在轴的正半轴上，对应点的坐标为，
故选：B．
【变式训练3-2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，先画出图形，再利用旋转的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，
∵点的坐标为，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【变式训练3-3】线段在平面直角坐标系内，A点坐标为，线段绕原点O逆时针旋转，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质及全等三角形的判定和性质，坐标与图形，根据题意作出图形，然后综合运用这些知识点是解题关键．
过点A作轴于点B，过点作轴于点C，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解．
【详解】解：过点A作轴于点B，过点作轴于点C，
则，
∵A点坐标为，
∴，
根据旋转的性质，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
【变式训练3-4】在如图所示的平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查图形的旋转，首先根据旋转的性质将旋转后的图形画出来，再根据坐标系写出的坐标即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，由绕原点顺时针旋转后得到，
根据坐标系特点可得，
故答案为：．
题型四：求绕点（非原点）旋转90°的点的坐标
【经典例题4】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则，，证明得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示， 分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∴，
∵点的坐标是，若点的坐标为，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练4-1】如图，将先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，根据平移的规律找到点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键．
【详解】解：如图所示：的坐标为，向上平移1个单位后为，再绕点P逆时针旋转后对应点的坐标为．
故选：D．
【变式训练4-2】如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转变换的性质，平移的性质，掌握旋转变换的性质，平移的性质是解本题关键．
将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标，向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为，即可得出结果．
【详解】解：由题意得，，
将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标，
向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为．
故选：D．
【变式训练4-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格线的格点上，将绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．连接，，作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求．
【详解】解：如图点即为所求．．
故答案为：．
【变式训练4-4】要求完成：
(1)画出格子图中平行四边形绕点B逆时针旋转的图形．
(2)按画出这个平行四边形放大后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）将平行四边形的各边扩大为原来的2倍，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，图①即为所求．
（2）解：如图，图②即为所求．
【变式训练4-5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出关于轴对称的，并写出的坐标；
(2)作出绕点顺时针方向旋转得到的，并写出的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
（）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可．
【详解】（1）解：如图所示，关于轴对称的图形为，即为所求；
（2）解：如图所示，绕点顺时针方向旋转得到，即为所求．
题型五：绕原点旋转的一定角度的点的坐标
【经典例题5】如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点作轴，根据旋转的性质，结合角的和差关系，得到，进而求出的长，即可得出结果。
【详解】解：过点作轴，
∵，
∴，
∵将绕点O按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D。
【变式训练5-1】如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转45°，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，由正方形的性质和勾股定理得，再由旋转的性质得在轴正半轴上，且，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
正方形的边长为，
，，，
，
将正方形绕原点顺时针旋转后点旋转到的位置，
在轴正半轴上，且，
点的坐标为，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
【变式训练5-2】在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查坐标与旋转，分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴两点在第二象限的角平分线上，
∴直线与轴正半轴的夹角为，
当绕原点O顺时针旋转时，如图：
过点作轴，过点作轴，
则：，，，
∴，
∴，
∴，，
∴
当绕原点O逆时针旋转时，如图：
同法可得：，，
∴；
故选C．
【变式训练5-3】如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正半轴的夹角为，且，若将线段绕点O沿逆时针方向旋转到线段，则此时点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，解直角三角形得到的长度即可得到答案．
【详解】如答图，过点作轴于点B．
将线段绕点O沿逆时针方向旋转到线段，
，
．
在中，
，
．
根据勾股定理，得，
点的坐标为．
故选C．
【变式训练5-4】将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征．根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和点重合，再判断第2024次属于循环中的第2次，最后即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如图所示：
由的坐标为可知：，，
，
，，
由旋转性质可知：，
，，
，
在与中：
，
，
，，
此时点对应坐标为，
当第二次旋转时，如图所示：
此时点对应点的坐标为．
当第3次旋转时，第3次的点对应点与点中心对称，故坐标为，
当第4次旋转时，第4次的点对应点与第1次旋转的点对应点中心对称，故坐标为，
当第5次旋转时，第5次的点对应点与第2次旋转的点对应点中心对称，故坐标为．
第6次旋转时，与点重合．
故前6次旋转，点对应点的坐标分别为：、、、、、．
由于，
故第2024次旋转时，点的对应点为．
故选：B．
【变式训练5-5】如图，顶点，，的坐标分别为，，，将绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．根据成中心对称的图形的性质即可解决问题．
【详解】解：由题知，由绕原点旋转得到，
所以与关于坐标原点成中心对称，
则点与其对应点关于坐标原点对称．
又因为点坐标为，
所以点坐标为．
故答案为：．
【变式训练5-6】如图，在平面直角坐标系中，将绕点旋转，得到，请画出，并求出、、的坐标．
【答案】见解析，，，
【分析】本题主要考查了画旋转图形，根据网格的特点和旋转角度找到A、B、C对应点、、的位置，再顺次连接、、即可．
【详解】解：如图所示，，，．
题型六：坐标与旋转规律问题
【经典例题6】如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果．
【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置，
∵，
∴的坐标和点的坐标重合，
∴点的坐标是；
故选A．
【变式训练6-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点所在的象限，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
将正方形绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形，
再将正方绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形…以此规律，
∴每4次循环一周，，
∵，
∴点与同在一个象限内，
∴点，
故选：A．
【变式训练6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点的规律探究．熟练掌握旋转的性质，所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理，是解题的关键．
过点作轴于，求出的长，进于求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每6次一个循环，进而求出第2024次旋转后，点的坐标即可．
【详解】解：过点作轴于，
在中，，
，
，
由勾股定理得，
，
，
，
∴逆时针旋转后，得，以此类推，6次一个循环，
，
∴第2024次旋转后，点的坐标为，
故选：A．
【变式训练6-3】如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键．先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题．
【详解】解：，，
，．
在中，
．
，且轴，
点的坐标为．
，
每旋转四次，点对应点的坐标循环出现．
余1，
点的坐标与点的坐标相同．
将绕点顺时针旋转，如图所示，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，，
，，
，
点的坐标为，
即点的坐标为．
故选：A
【变式训练6-4】雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形OABC，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形OABC绕原点O沿顺时针方向旋转5次，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标．
【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形，
过作轴于，连接交于，
四边形是菱形，
，，，
的坐标是，
，
，
，
，
，
，
，
，
的坐标是．
故选：D．
【变式训练6-5】如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到则的直角顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理列式求出的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2020除以3，根据商为673余数为1，可知第20，20个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
【详解】解：点、，
，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：，
，
∴的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
，
∴的直角顶点的坐标为．
故答案为．
题型七：旋转综合题
【经典例题7】在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．
(1)如图①，当时，求与的交点的坐标；
(2)如图②，连接，当经过点A时，求的长；
(3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点D的纵坐标，从而得解；
（2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解；
（3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围．
【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为．
∵点，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴是等边三角形，
∵，轴
∴．
∴．
∴点的坐标为．
（2）解：如图，过点作轴，垂足为．
由旋转得，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，．
（3）
解：取线段的中点N，连接、，则
∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴
由旋转的性质得：，
∴
∴
即
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键．
【变式训练7-1】[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，．
[问题解决]
(1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)四边形是正方形，理由见解析
(3)
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
（1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案；
（2）先证四边形是矩形，再证明是正方形；
（3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可．
【详解】（1）解：（1），，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由旋转的性质得：，
；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：，，
，，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
（3）解：是固定值，点是定点，点是动点，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：
当点、、依次共线时，最大，
此时，，
即长度的最大值为．
【变式训练7-2】在等边中， 点是上一点， 点是上一点， 与 交于点，且．
(1)如图1， 若 求 的长度；
(2)如图2， 延长至点 ，使得 连接，点为中点， 连接，， 求证 ；
(3)如图3， 点 为中点， 将沿折叠得到四边形，动点 在线段上运动包括端点，连接、，将绕点 顺时针旋转得到将绕点 逆时针旋转 得到 连接． 点 为的中点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，根据已知条件证明，得出，在，中，勾股定理即可求解；
（2）延长至，使得，连接，证明，得出，证明是等边三角形，延长至，使得，证明，得出，根据中位线的性质得出，等量代换，即可得证；
（3）连接，将绕点逆时针旋转得到，连接则是等边三角形，根据中位线的性质，旋转的性质得出的轨迹为平行于的一条线段，且，进而找到最大值和最小值的位置，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵等边中，
∴，
∵，
又∵
∴，
在中，
∴
∴
在中，，，
∴，
在中，
（2）解：如图所示，
延长至，使得，连接
∵
∴是等边三角形，
∴，
设，
由（1）可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，
∴
∴
又∵
∴
∵
∴是等边三角形，
∴，
延长至，使得，
∴
∴
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接则是等边三角形，
∵将沿折叠得到四边形，
∴四边形是菱形，
依题意，三点共线，且，
又，
∴
∴
∵为的中点，
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴的轨迹为平行于的一条线段，且
∵点 为中点，则，
由（1）可得，则为的中点,则
在中，
∴，
∵，
∴
∴，
如图所示，当重合时，取得最大值，此时如图所示，
∵，，
则共线，
∴
在中，
如图所示，当重合时，最小，
在中，
∴
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练7-3】如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形；
①在旋转过程中，当是直角时，求的度数；
②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______．
【答案】(1)见解析
(2)①当时，或；②
【分析】（1）延长交于，根据四边形是正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证；
（2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时的长最大，由即可得到答案．
【详解】（1）如图，延长交于，
点是正方形两对角线的交点，
，，
四边形是正方形
在和中，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况：
如图2，由增大到过程中，
当时，
，
在中，
，
，，
，
，即；
由增大到过程中，当时，如图
同理可求，
，
综上所述，当时，或；
②如图，连接，
四边形是正方形，
，，
正方形的边长为2，
，
，
则，
当时，
、、在一条直线上，此时的长最大，
最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式训练7-4】如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
(1)填空：
①的度数为__________；
②线段，之间的数量关系为__________；
(2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)存在，最小值为，最大值为
【分析】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆的性质定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质等知识，做题的关键是熟练掌握这些知识．
（1）由条件易证明，故，，因为，所以．
（2）仿照（1）中的解法可求出，证出，由为等腰直角三角形，及为中上的高，可得，从而证得．
（3）如图时，因为点到点的距离是，所以点是以点为圆心，为半径的圆，当、、三点在同一条直线上时，有最小值，因为，，所以，在与中，，得，所以，，在中，，所以，，此时时，的最小值为，同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时，的最大值为：．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴．
故答案为：，．
（2）解：∵和均为等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
在和中，，
∴，
∴，，，
∴，
在等腰直角三角形中，为斜边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）解：如图，
∵点到点的距离是，
∴点是以点为圆心，为半径的圆，
当、、三点在同一条直线上时，有最小值，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
此时时，的最小值为，
同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时，
的最大值为：．
【变式训练7-5】（1）问题发现：
如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程；
（2）拓展研究：
请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明；
②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；②
【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出；
（2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到；
②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，，根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为
【详解】解： （1）连接，
∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到，
∴，，
∴'为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形， 且，
∴，
∴；
（2）①．
证明： ∵,，
∴，
如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，
则：，，，，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴；
②的最小值为
如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，
则：，，，，
∴为等边三角形，，
∴
∴ ，
∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，
∵，
∴，
∴的最小值为
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
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