【提升版】浙教版数学八上2.1 图形的轴对称 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·台山期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．（2024七下·罗湖期末）我国古代数学的发展历史源远流长，在历代数学家的不懈探索中，诞生了很多伟大的数学发现．下列有关我国古代数学发现的图示中，不是轴对称图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：对于A．是轴对称图形，不合题意；
对于B．是轴对称图形，不合题意；
对于C．不是轴对称图形，符合题意；
对于D．是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判定即可．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
3．（2024七下·揭西期末）如图，的面积是6，，，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，如图：
则AD=A'D，
∴AD+DE=A'D+DE≥A'E，
即AD+DE的最小值为A'E，
∵，
∴，
即AD+DE的最小值为.
故答案为：C.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，则AD=A'D，所以AD+DE=A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E，根据三角形的面积公式即可求解.
4．（2024·邱县模拟）如图，点O为∠ABC内部一点，且OB=2，E，F分别为点O关于射线BA，BC的对称点，当AB⊥BC时，EF=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OE，OF，BE，BF，如图所示：
∵点O和点E关于射线BA对称，
∴射线AB垂直平分OE，
∴BE=BO=2，
∴∠OBA=∠EBA，
同理可得：BF=BO=2，∠OBC=∠FBC，
∴BE=BF，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBA+∠FBC=∠OBA+∠OBC=∠ABC=90°，
∴∠EBA+∠FBC+∠ABC=180°，
∴点E、B、F三点共线，
∴EF=BE+BF=4，
故答案为：A.
【分析】连接OE，OF，BE，BF，先证出点E、B、F三点共线，再结合OB=2，可得BE=BF=OB=2，最后求出EF即可.
5．（2024·浙江）如图 ， 在 的正方形网格中已有 2 个正方形涂黑， 再选择一个正方形涂黑， 使得 3 个涂黑的正方形组成轴对称图形， 选择的位置共有（ ）
A．7 处 B．4 处 C．3 处 D．2 处
【答案】A
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，
当对称轴为竖直线时，位置①或②的小正方形涂黑，3个正方形组成轴对称图形；
当对称轴为水平横线时，位置③的小正方形涂黑，3个正方形组成轴对称图形；
当对称轴为连接正方形对角的直线时，位置④，⑤，⑥或⑦的小正方形涂黑，3个正方形组成轴对称图形；
共共有7个位置可选.
故答案为：A
【分析】分对称轴是竖直线或水平线以及斜线三种情况，讨论第3个正方形的位置即可.
6．（2024八下·开州开学考）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄，欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离之和最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，如图所示：
∴选项D铺设的管道，所需管道最短．
故答案为：D
【分析】根据轴对称-最短距离问题结合题意作点关于直线的对称点，连接交直线于，进而即可求解。
7．（2024八上·余姚期末）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：C、图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，∴是轴对称图形，C正确；
A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，A、B、D错误；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐一判断即可.
8．（2024八上·汉阳期末）如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点F，作M关于AD的对称点E，连接EF，
∵E是M关于AD的对称点，
∴AM=AE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAF=∠EAF，
∵AM=AE，∠MAF=∠EAF，AF=AF，
∴△AMF≌△AEF（SAS），
∴MF=EF，
即FE+FC=MF+FC，
MF+FC的最小值为△ABC中AB边上的高CM，
∵△ABC的面积为6，AB=5，
∴，
∴ ，
即FE+FC的最小值为；
故答案为：B.
【分析】过C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点F，作M关于AD的对称点E，连接EF，根据对称的性质可得AM=AE，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠MAF=∠EAF，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得MF=EF，推得FE+FC=MF+FC，故根据三角形的面积公式求MF+FC的最小值CM，即可.
二、填空题
9．（2020七下·来宾期末）如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个。
【答案】3
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：在3个空白的角落处的小方格中分别画上半径相等的圆，即可得到轴对称图形.
故这样的轴对称图形共有3个.
【分析】可分别在每个空白的小方格中画上半径相等的圆，然后判断图形是否是轴对称图形，进而解决问题.
10．（2024七下·揭西期末）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是 .
【答案】54°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴∠B'=∠B，
∵∠A=78°，∠C=48°，
∴∠B=180°-78°-48°=54°．
故答案为：54°.
【分析】根据成轴对称的两个图形全等，全等图形的对应角相等可得∠B'=∠B，根据三角形内角和是180°求出∠B的度数即可求解.
11．（2024七下·黔东南期末）如图，在三角形中，点，分别在边，上，将三角形沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接若，则阴影部分的周长为 ．
【答案】14
【知识点】轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】∵ 将三角形沿折叠，使点落在点处，
∴DF=BF，
∵ 线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，
∴AC=DF，AD=FC，
∴AC+FC+DF+AD=2（DF+FC）=2（BF+FC）=2BC=14，
故答案为：14.
【分析】根据折叠的性质和平移的性质求解即可。
12．（2024·绥化）如图， 已知 ， 点 为 内部一点， 点 为射线 、点 为射线 上的两个动点， 当 的周长最小时， 则 。
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作P点关于OB的对称点E，连接EM，EP
则EM=EP，∠EOM=∠POM，OM=OM
∴△EOM≌△POM
∴∠OEM=∠OPM
P点关于OA的对称点F，连接NP，NF
同理：△PON≌△FON
∴∠OFN=∠OPN，PN=FN
∵的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF
∴当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
∠EOF=∠OEM+∠POM+∠PON+∠NOF=2
∴∠OPN+∠OPM=∠OFN+∠OEM=180°-∠EOF=80°
故答案为.
【分析】作两次对称：作P点关于OB的对称点E，P点关于OA的对称点F， 的周长 =PM+PN+MN=EM+NF+MN，则当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，在根据对称性质，即可求出的度数.
三、作图题
13．（2024七下·黔西期末）
（1）如图，在方格纸中，画出关于直线l对称的图形；
（2）在对称轴l上画出一点P，使得最短.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：连接，与直线l的交点即为点P，如图：最短.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先作出点A、B、C关于直线l对称的点，再连接即可；（2）连接AB1，并直线L于点P，P就是求作的点。
四、解答题
14．（2023七下·长治期末）如图，在中，，点，分别在边，上，连接，且和关于直线对称．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若，，且的周长为36，求的周长．
【答案】（1）
（2）解：∵的周长为36，
∴，
∵，，
∴，解得，
∴.
∵和关于直线对称，
∴，
∴的周长
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-40°=50°，
∵△AMN和△BMN关于直线MN对称，
∴ ∠NAB=∠B=40°，
∴ ∠CAN=∠CAB- ∠NAB=50°-40°=10°.
故答案为：10°.
【分析】（1）根据三角形的内角和得∠CAB的度数，根据△AMN和△BMN关于直线MN对称得∠NAB的度数，两角相减即可求得∠CAN的度数.
（2）根据已知△ABC的三边数量关系和其周长，求出△ABC的三边长，根据对称得AN=BN，把△ACN的周长转化为AC+BC来求.
五、综合题
15．（2023七下·青岛期末）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：
（1）作出关于直线的对称图形；
（2）的面积为 ．
【答案】（1）解：如图，点，点，点关于的对称点分别为点，点，点，
连接，，，
则即为所作．
（2）7
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：△ABC的面积=5×3-×4×2-×3×1-×5×1=7；
故答案为：7.
【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于直线对称的对应点D、E、F，再顺次连接即可；
（2）利用割补法求出△ABC的面积即可.
1 / 1【提升版】浙教版数学八上2.1 图形的轴对称 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·台山期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·罗湖期末）我国古代数学的发展历史源远流长，在历代数学家的不懈探索中，诞生了很多伟大的数学发现．下列有关我国古代数学发现的图示中，不是轴对称图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·揭西期末）如图，的面积是6，，，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·邱县模拟）如图，点O为∠ABC内部一点，且OB=2，E，F分别为点O关于射线BA，BC的对称点，当AB⊥BC时，EF=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2024·浙江）如图 ， 在 的正方形网格中已有 2 个正方形涂黑， 再选择一个正方形涂黑， 使得 3 个涂黑的正方形组成轴对称图形， 选择的位置共有（ ）
A．7 处 B．4 处 C．3 处 D．2 处
6．（2024八下·开州开学考）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄，欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离之和最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·余姚期末）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·汉阳期末）如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题
9．（2020七下·来宾期末）如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有 个。
10．（2024七下·揭西期末）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是 .
11．（2024七下·黔东南期末）如图，在三角形中，点，分别在边，上，将三角形沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接若，则阴影部分的周长为 ．
12．（2024·绥化）如图， 已知 ， 点 为 内部一点， 点 为射线 、点 为射线 上的两个动点， 当 的周长最小时， 则 。
三、作图题
13．（2024七下·黔西期末）
（1）如图，在方格纸中，画出关于直线l对称的图形；
（2）在对称轴l上画出一点P，使得最短.
四、解答题
14．（2023七下·长治期末）如图，在中，，点，分别在边，上，连接，且和关于直线对称．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若，，且的周长为36，求的周长．
五、综合题
15．（2023七下·青岛期末）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：
（1）作出关于直线的对称图形；
（2）的面积为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：对于A．是轴对称图形，不合题意；
对于B．是轴对称图形，不合题意；
对于C．不是轴对称图形，符合题意；
对于D．是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判定即可．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，如图：
则AD=A'D，
∴AD+DE=A'D+DE≥A'E，
即AD+DE的最小值为A'E，
∵，
∴，
即AD+DE的最小值为.
故答案为：C.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，则AD=A'D，所以AD+DE=A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E，根据三角形的面积公式即可求解.
4．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OE，OF，BE，BF，如图所示：
∵点O和点E关于射线BA对称，
∴射线AB垂直平分OE，
∴BE=BO=2，
∴∠OBA=∠EBA，
同理可得：BF=BO=2，∠OBC=∠FBC，
∴BE=BF，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBA+∠FBC=∠OBA+∠OBC=∠ABC=90°，
∴∠EBA+∠FBC+∠ABC=180°，
∴点E、B、F三点共线，
∴EF=BE+BF=4，
故答案为：A.
【分析】连接OE，OF，BE，BF，先证出点E、B、F三点共线，再结合OB=2，可得BE=BF=OB=2，最后求出EF即可.
5．【答案】A
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，
当对称轴为竖直线时，位置①或②的小正方形涂黑，3个正方形组成轴对称图形；
当对称轴为水平横线时，位置③的小正方形涂黑，3个正方形组成轴对称图形；
当对称轴为连接正方形对角的直线时，位置④，⑤，⑥或⑦的小正方形涂黑，3个正方形组成轴对称图形；
共共有7个位置可选.
故答案为：A
【分析】分对称轴是竖直线或水平线以及斜线三种情况，讨论第3个正方形的位置即可.
6．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，如图所示：
∴选项D铺设的管道，所需管道最短．
故答案为：D
【分析】根据轴对称-最短距离问题结合题意作点关于直线的对称点，连接交直线于，进而即可求解。
7．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：C、图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，∴是轴对称图形，C正确；
A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，A、B、D错误；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐一判断即可.
8．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点F，作M关于AD的对称点E，连接EF，
∵E是M关于AD的对称点，
∴AM=AE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAF=∠EAF，
∵AM=AE，∠MAF=∠EAF，AF=AF，
∴△AMF≌△AEF（SAS），
∴MF=EF，
即FE+FC=MF+FC，
MF+FC的最小值为△ABC中AB边上的高CM，
∵△ABC的面积为6，AB=5，
∴，
∴ ，
即FE+FC的最小值为；
故答案为：B.
【分析】过C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点F，作M关于AD的对称点E，连接EF，根据对称的性质可得AM=AE，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠MAF=∠EAF，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得MF=EF，推得FE+FC=MF+FC，故根据三角形的面积公式求MF+FC的最小值CM，即可.
9．【答案】3
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：在3个空白的角落处的小方格中分别画上半径相等的圆，即可得到轴对称图形.
故这样的轴对称图形共有3个.
【分析】可分别在每个空白的小方格中画上半径相等的圆，然后判断图形是否是轴对称图形，进而解决问题.
10．【答案】54°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴∠B'=∠B，
∵∠A=78°，∠C=48°，
∴∠B=180°-78°-48°=54°．
故答案为：54°.
【分析】根据成轴对称的两个图形全等，全等图形的对应角相等可得∠B'=∠B，根据三角形内角和是180°求出∠B的度数即可求解.
11．【答案】14
【知识点】轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】∵ 将三角形沿折叠，使点落在点处，
∴DF=BF，
∵ 线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，
∴AC=DF，AD=FC，
∴AC+FC+DF+AD=2（DF+FC）=2（BF+FC）=2BC=14，
故答案为：14.
【分析】根据折叠的性质和平移的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作P点关于OB的对称点E，连接EM，EP
则EM=EP，∠EOM=∠POM，OM=OM
∴△EOM≌△POM
∴∠OEM=∠OPM
P点关于OA的对称点F，连接NP，NF
同理：△PON≌△FON
∴∠OFN=∠OPN，PN=FN
∵的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF
∴当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
∠EOF=∠OEM+∠POM+∠PON+∠NOF=2
∴∠OPN+∠OPM=∠OFN+∠OEM=180°-∠EOF=80°
故答案为.
【分析】作两次对称：作P点关于OB的对称点E，P点关于OA的对称点F， 的周长 =PM+PN+MN=EM+NF+MN，则当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，在根据对称性质，即可求出的度数.
13．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：连接，与直线l的交点即为点P，如图：最短.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）先作出点A、B、C关于直线l对称的点，再连接即可；（2）连接AB1，并直线L于点P，P就是求作的点。
14．【答案】（1）
（2）解：∵的周长为36，
∴，
∵，，
∴，解得，
∴.
∵和关于直线对称，
∴，
∴的周长
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-40°=50°，
∵△AMN和△BMN关于直线MN对称，
∴ ∠NAB=∠B=40°，
∴ ∠CAN=∠CAB- ∠NAB=50°-40°=10°.
故答案为：10°.
【分析】（1）根据三角形的内角和得∠CAB的度数，根据△AMN和△BMN关于直线MN对称得∠NAB的度数，两角相减即可求得∠CAN的度数.
（2）根据已知△ABC的三边数量关系和其周长，求出△ABC的三边长，根据对称得AN=BN，把△ACN的周长转化为AC+BC来求.
15．【答案】（1）解：如图，点，点，点关于的对称点分别为点，点，点，
连接，，，
则即为所作．
（2）7
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：△ABC的面积=5×3-×4×2-×3×1-×5×1=7；
故答案为：7.
【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于直线对称的对应点D、E、F，再顺次连接即可；
（2）利用割补法求出△ABC的面积即可.
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