【培优版】浙教版数学八上2.1 图形的轴对称 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·宝安期末）下列深圳建筑剪影中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】、是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
、不是轴对称图形，故B错误，符合题意；
、是轴对称图形，故C正确，不符合题意；
、是轴对称图形，故D正确，不符合题意；
故选：．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可；即：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称．
2．（2024·眉山） 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、此标志图案是轴对称图形，故A符合题意；
B、此标志图案不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此标志图案不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此标志图案不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．（2021八上·日照期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，
此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得∠OPM=∠ODM=50°，所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】先求出∠COD=2∠AOB=80°，再利用SAS证明△CON≌△PON，最后根据全等三角形的判定与性质求解即可。
4．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
5．（2023八上·临海期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ
C．β= D．θ=2α+2β﹣180°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设AC与A'D相交于点F，如图
∵ 三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ，
∴ ∠A= ∠A’= α ，∠ADE=∠A'DE ， ∠DEA=∠DEA’=β，
∴∠AFD=∠A'+∠A'EF 且 ∠BDA' =∠A+∠AFD，
∴∠BDA' =∠A+∠A'+∠A'EF，
即 θ =2α+γ，
∴A项正确，
∵∠DEF=∠DEA'- ∠CEA'=β- γ，
∴∠AED+∠DEF=180°，
即β+β- γ=180°，
∴β=90°+，
∴C项正确，
∵∠A+∠DEA=∠BDA' + ∠A'DE ，
∴α + β = θ +∠ADE，
∵∠ADE=180°-α-β，
∴α + β = θ +180°-α-β，
∴θ=2α+2β﹣180° ，
∴D项正确，
B项中的式子不能得出，
故答案为：B.
【分析】根据题意分别计算每个选项中的角的关系即可。
6．（2019八上·湄潭期中）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，且AE+EF=HE+EF
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝ AC HF＝ CH AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出AE+EF=HE+EF，再根据点到直线的距离垂线段最短得出当HF⊥AC时，HE+EF最小为HF，再根据三角形面积公式计算出AG，根据AH=AG即可得出结论.
二、填空题
7．（2024八上·吉林期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠B的度数是 .
【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴∠A=∠A'=40°，
∵∠C=35°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=105°，
故答案为：105°.
【分析】根据△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，求出∠A=∠A'=40°，再根据三角形的内角和等于180°计算求解即可。
8．（2024八上·青山期末）如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， °．
【答案】70
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
如上图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A″，
连接A'A″与BC、CD的交点即为所求的点M'、N'，
则当△AMN的周长最小时，M、N分别位于M'、N'处，
∵， ，
∴，
∴，
根据轴对称的性质得，，
∴，
∴
当的周长最小时，．
故答案为：70.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A'A″与BC、CD的交点即为所求的点M'、N'，利用三角形的内角和定理列式求出∠A'+∠A″，再根据轴对称的性质计算即可.
9．（2023八上·恩施期末）如图，在中，，，，，是的平分线．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点Q作Q关于AD的对称点Q'，过点C作CH⊥AB于点H，如下图：
∵点Q与点Q'关于AD对称
∴PQ=PQ'
∴PC+PQ=PC+PQ'
∵PC+PQ'≥CH
∴PC+PQ的最小值为CH
∴CH==
故答案为：.
【分析】根据关于直线对称的点到直线的距离相等，可得PQ=PQ'；根据垂线段最短可得PC+PQ的最小值；根据面积相等的原则，即可求出最小值.
10．（2024八上·越秀月考）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ．
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A'A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A'关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，
有轴对称的性质可得MA=MA'，NA=NA″，
∴∠A'=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A'，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A'+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°．
∴∠MAN=180°﹣110°=70°，
故答案为：70°．
【分析】延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A'A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)，由三角形内角和定理求出∠A'+∠A″得度数，即得∠AMN+∠ANM的度数，再次利用三角形内角和定理可求出∠MAN的度数．
三、作图题
11．如图，要在街道l上修建一个牛奶售卖点D．（街道用直线l表示）
（1）如图①，若牛奶售卖点D向小区A，B提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A ，B的距离之和最短？
（2）如图②，若牛奶售卖点D向小区A，C提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？
【答案】（1）解：如图，连结AB，交直线l于点D，点D就是牛奶售卖点所在位置.
（2）解：如图，作点A关于直线l的对称点，连结C交直线l于点D，点 D 就是牛奶售卖点所在位置.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）连结AB，线段AB与直线l的交点就是要求作的点；
（2）作点A关于直线l的对称点，将这个点与点C连结，连线与直线l的交点就是要求作的点.
四、实践探究题
12．（2023八上·鄂州期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
（2）探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
（3）探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出关于直线对称的，如图所示；
（2）解：作点关于直线对称点，连接，交于点，如图所示；
则的周长
点即为所求；
（3）解：延长交于点，则即为所求，如图所示：
．，，
，
，
，
，
．
即为所求边上的高
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）在直角坐标系中，根据网格分别找到点A、B、C关于直线m对称的带你A'、B'、C'，然后依次连接A'、B'和C'即可；
（2）根据轴对称-两点之间线段最短，找到点A关于直线m的对称点A''，连接CA''与直线m的交点即为点P的位置；
（3）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠CAD=∠FBG；根据对顶角相等得∠BEC=∠ACD；根据三角形内角和定理，可得∠BEC=∠ADC=90°，即可解题.
五、综合题
13．（2022八上·杭州期中）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N.
（1）①若∠AOB=60°，则∠COD= °；
②若∠AOB=α，求∠COD的度数.
（2）若CD=4，则△PMN的周长为 .
【答案】（1）解：①120°
②∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP.
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2α.
（2）4
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP.
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2×60°=120°.
故答案为：120°.
（2）根据轴对称的性质，可知CM=PM，DN=PN，
所以△PMN的周长为：PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4.
故答案为：4.
【分析】（1）①根据轴对称的性质可∠AOC=∠AOP，∠BOD=∠BOP，由∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+
∠BOP）=2∠AOB，据此即得结论；②同①方法解答；
（2）根据轴对称的性质，可知CM=PM，DN=PN，由△PMN的周长为PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD即可求解.
14．（2022八上·杭州期中）如图，在正方形网格中点均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作出关于直线l的对称图形；
（2）在直线l上找一点D，使最小.
【答案】（1）解：作图如下：
就是所求作的三角形；
（2）解：在（1）的图中，连接 ，交直线 于D，点D就是所求作的点，
理由如下：
连接 ，如图，
根据对称性得： ，
∴ ，
当 ， ， ，三点共线时，即两点之间线段最短，
即图中的点D就是所求作的点.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于直线l的对称的对应点A'、B'、C'，然后顺次连接即可；
（2） 在（1）的图中，连接 ，交直线 于D，点D就是所求作的点.
15．（2022八上·仪征月考）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小，并说明你的理由；
（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ ．
【答案】（1）解：如图所示，直线l即为所求．
（2）解：如图所示，点P即为所求；
根据两点之间线段最短即可证明PA+PC最小；
（3）3
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝3.
故答案为：3.
【分析】（1）连接AD、CF，作其垂直平分线即可；
（2）连接CD，与对称轴交于点P，此时PA+PC最小，为CD的值；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积.
1 / 1【培优版】浙教版数学八上2.1 图形的轴对称 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·宝安期末）下列深圳建筑剪影中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·眉山） 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·日照期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
4．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2023八上·临海期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA'=γ，∠BDA'=θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A．θ=2α+γ B．θ=180°﹣α﹣γ
C．β= D．θ=2α+2β﹣180°
6．（2019八上·湄潭期中）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
二、填空题
7．（2024八上·吉林期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠B的度数是 .
8．（2024八上·青山期末）如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， °．
9．（2023八上·恩施期末）如图，在中，，，，，是的平分线．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是
10．（2024八上·越秀月考）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ．
三、作图题
11．如图，要在街道l上修建一个牛奶售卖点D．（街道用直线l表示）
（1）如图①，若牛奶售卖点D向小区A，B提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A ，B的距离之和最短？
（2）如图②，若牛奶售卖点D向小区A，C提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？
四、实践探究题
12．（2023八上·鄂州期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
（2）探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
（3）探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）
五、综合题
13．（2022八上·杭州期中）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N.
（1）①若∠AOB=60°，则∠COD= °；
②若∠AOB=α，求∠COD的度数.
（2）若CD=4，则△PMN的周长为 .
14．（2022八上·杭州期中）如图，在正方形网格中点均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作出关于直线l的对称图形；
（2）在直线l上找一点D，使最小.
15．（2022八上·仪征月考）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
（1）利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；
（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小，并说明你的理由；
（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】、是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
、不是轴对称图形，故B错误，符合题意；
、是轴对称图形，故C正确，不符合题意；
、是轴对称图形，故D正确，不符合题意；
故选：．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可；即：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、此标志图案是轴对称图形，故A符合题意；
B、此标志图案不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此标志图案不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此标志图案不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，
此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得∠OPM=∠ODM=50°，所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】先求出∠COD=2∠AOB=80°，再利用SAS证明△CON≌△PON，最后根据全等三角形的判定与性质求解即可。
4．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：设AC与A'D相交于点F，如图
∵ 三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE ，
∴ ∠A= ∠A’= α ，∠ADE=∠A'DE ， ∠DEA=∠DEA’=β，
∴∠AFD=∠A'+∠A'EF 且 ∠BDA' =∠A+∠AFD，
∴∠BDA' =∠A+∠A'+∠A'EF，
即 θ =2α+γ，
∴A项正确，
∵∠DEF=∠DEA'- ∠CEA'=β- γ，
∴∠AED+∠DEF=180°，
即β+β- γ=180°，
∴β=90°+，
∴C项正确，
∵∠A+∠DEA=∠BDA' + ∠A'DE ，
∴α + β = θ +∠ADE，
∵∠ADE=180°-α-β，
∴α + β = θ +180°-α-β，
∴θ=2α+2β﹣180° ，
∴D项正确，
B项中的式子不能得出，
故答案为：B.
【分析】根据题意分别计算每个选项中的角的关系即可。
6．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，且AE+EF=HE+EF
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝ AC HF＝ CH AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出AE+EF=HE+EF，再根据点到直线的距离垂线段最短得出当HF⊥AC时，HE+EF最小为HF，再根据三角形面积公式计算出AG，根据AH=AG即可得出结论.
7．【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴∠A=∠A'=40°，
∵∠C=35°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=105°，
故答案为：105°.
【分析】根据△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，求出∠A=∠A'=40°，再根据三角形的内角和等于180°计算求解即可。
8．【答案】70
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
如上图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A″，
连接A'A″与BC、CD的交点即为所求的点M'、N'，
则当△AMN的周长最小时，M、N分别位于M'、N'处，
∵， ，
∴，
∴，
根据轴对称的性质得，，
∴，
∴
当的周长最小时，．
故答案为：70.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A'A″与BC、CD的交点即为所求的点M'、N'，利用三角形的内角和定理列式求出∠A'+∠A″，再根据轴对称的性质计算即可.
9．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点Q作Q关于AD的对称点Q'，过点C作CH⊥AB于点H，如下图：
∵点Q与点Q'关于AD对称
∴PQ=PQ'
∴PC+PQ=PC+PQ'
∵PC+PQ'≥CH
∴PC+PQ的最小值为CH
∴CH==
故答案为：.
【分析】根据关于直线对称的点到直线的距离相等，可得PQ=PQ'；根据垂线段最短可得PC+PQ的最小值；根据面积相等的原则，即可求出最小值.
10．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A'A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A'关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，
有轴对称的性质可得MA=MA'，NA=NA″，
∴∠A'=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A'，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A'+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°．
∴∠MAN=180°﹣110°=70°，
故答案为：70°．
【分析】延长AB到A'使得BA'=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A'A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″)，由三角形内角和定理求出∠A'+∠A″得度数，即得∠AMN+∠ANM的度数，再次利用三角形内角和定理可求出∠MAN的度数．
11．【答案】（1）解：如图，连结AB，交直线l于点D，点D就是牛奶售卖点所在位置.
（2）解：如图，作点A关于直线l的对称点，连结C交直线l于点D，点 D 就是牛奶售卖点所在位置.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）连结AB，线段AB与直线l的交点就是要求作的点；
（2）作点A关于直线l的对称点，将这个点与点C连结，连线与直线l的交点就是要求作的点.
12．【答案】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出关于直线对称的，如图所示；
（2）解：作点关于直线对称点，连接，交于点，如图所示；
则的周长
点即为所求；
（3）解：延长交于点，则即为所求，如图所示：
．，，
，
，
，
，
．
即为所求边上的高
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）在直角坐标系中，根据网格分别找到点A、B、C关于直线m对称的带你A'、B'、C'，然后依次连接A'、B'和C'即可；
（2）根据轴对称-两点之间线段最短，找到点A关于直线m的对称点A''，连接CA''与直线m的交点即为点P的位置；
（3）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠CAD=∠FBG；根据对顶角相等得∠BEC=∠ACD；根据三角形内角和定理，可得∠BEC=∠ADC=90°，即可解题.
13．【答案】（1）解：①120°
②∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP.
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2α.
（2）4
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP.
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2×60°=120°.
故答案为：120°.
（2）根据轴对称的性质，可知CM=PM，DN=PN，
所以△PMN的周长为：PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4.
故答案为：4.
【分析】（1）①根据轴对称的性质可∠AOC=∠AOP，∠BOD=∠BOP，由∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+
∠BOP）=2∠AOB，据此即得结论；②同①方法解答；
（2）根据轴对称的性质，可知CM=PM，DN=PN，由△PMN的周长为PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD即可求解.
14．【答案】（1）解：作图如下：
就是所求作的三角形；
（2）解：在（1）的图中，连接 ，交直线 于D，点D就是所求作的点，
理由如下：
连接 ，如图，
根据对称性得： ，
∴ ，
当 ， ， ，三点共线时，即两点之间线段最短，
即图中的点D就是所求作的点.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于直线l的对称的对应点A'、B'、C'，然后顺次连接即可；
（2） 在（1）的图中，连接 ，交直线 于D，点D就是所求作的点.
15．【答案】（1）解：如图所示，直线l即为所求．
（2）解：如图所示，点P即为所求；
根据两点之间线段最短即可证明PA+PC最小；
（3）3
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝3.
故答案为：3.
【分析】（1）连接AD、CF，作其垂直平分线即可；
（2）连接CD，与对称轴交于点P，此时PA+PC最小，为CD的值；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积.
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