【基础版】浙教版数学八上2.3 等腰三角形的性质定理同步练习
一、选择题
1．（2023八上·哈尔滨月考）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
2．（2024八上·衡山期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．（2024八上·舟山期末）如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（ ）
A． B． C． D．6
4．（华师大版数学八年级上册第13章第二节13.3.1等腰三角形的性质同步练习）如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2023八上·安宁期中）如图，等边△ABC的两条高AD和BE相交于点O，则∠DOE度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
6．（2023八上·福州月考）如图，AD是等腰三角形的顶角平分线，，则CD等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
7．（2019八上·萧山期中）如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，则∠MAN为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
8．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
二、填空题
9．（2016八上·个旧期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数
10．（2021八上·盐池期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ．
11．（2021八上·太和月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ．
12．（2024八上·和田地期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ．
三、作图题
13．（2024八上·海曙期末）如图，在中，∠．
（1）尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知，求的度数．
四、解答题
14．（2023八上·花垣期中） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
15．（2024八上·海曙期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，D，F分别在三边上，且BE=CD，CF=BD．
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）若∠EDF=50°，求∠A的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角是50°，
∴底角为：（180°-50°）÷2=65°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角的度数相同，再根据三角形内角和为180°，计算即可得出答案．
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
故答案为：D.
【分析】利用三角形三线合一的性质分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图，
∵的面积为28，
∴
∴
∵AB=AC=16，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接AD，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD=28，结合AB=AC=16，DF=2DE，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=CD=AC，∠DBC= ∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故答案为：C．
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边的两条高和相交于点O，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质求解。首先求得，，然后利用三角形外角的性质求解．
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BC=10，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵EM是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线
∴AM=BM，AN=NC
∴∠BAM=∠ABM，∠CAN=∠ACN
设∠BAM=∠ABM =x，∠CAN=∠ACN =y
∴∠BAC=∠BAM+∠MAN+∠CAN=x+y+∠MAN=130°
在△AMN中，∠MAN+∠AMN+∠ANM=∠MAN+2∠BAM+2∠CAN=∠MAN+2(∠BAM+∠CAN)= ∠MAN+2(x+y)=180°
联立解得：∠MAN=80°，x+y=50°
故答案选择：A.
【分析】先根据“AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F”得出∠BAM=∠ABM，∠CAN=∠ACN，再列出方程∠BAM+∠MAN+∠CAN=130°和∠MAN+2(∠BAM+∠CAN) =180°，解方程即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线连接PC，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而确定PB=PC，再根据三角形的三边关系可得最小值.
9．【答案】25°或65°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：
当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°.
故答案为：D.
【分析】由于此题没有告知等腰三角形是什么三角形，故需要分①当这个三角形是锐角三角形时，②当这个三角形是钝角三角形时，两种情况来讨论，分别画出图形即可算出答案。
10．【答案】20
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当4为腰时，三边长为4、4、8，而4+4=8，此时无法构成三角形
当4为底边时，三边长为4、8、8，此时可以构成三角形
则这个等腰三角形的周长为4+8+8=20.
故答案为：20.
【分析】分4为腰、4为底边，利用三角形的三边关系以及等腰三角形的性质判断是否能构成三角形，进而求出周长.
11．【答案】10
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，
∴MO=MB，ON=NC，
∴AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC=4+6=10，
故答案为：10.
【分析】由角平分线的定义可得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，再结合平行线的性质可求出∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，由等角对等边可得MO=MB，ON=NC，根据AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC即可求解.
12．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AM，AD，如图所示：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC=×BC×AD，
∴AD=，
∵AB的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F点，
∴AM=BM，
∴BM+DM=AM+DM≥AD，
∴BM+DM的最小值为AD=10，
故答案为：10.
【分析】连接AM，AD，先利用三角形的面积公式求出AD的长，再利用垂直平分线的性质及三角形三边的关系可得BM+DM=AM+DM≥AD，再求出BM+DM的最小值即可.
13．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵ ，
∴∠B=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠B=∠BAD=∠DAC，
又∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°
∴∠B=30°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法尺规作图即可；
（2）根据AD=BD得∠B=∠BAD，根据角平分线得定义得∠BAD=∠DAC，结合∠C=90°，即可求∠B的度数.
14．【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
15．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）．
（2）解：∵△BDE≌△CFD，
∴∠BDE=∠CFD．
∵∠EDF=50°，
∴∠BDE+∠FDC=130°，
∴∠CFD+∠FDC=130°，
∴∠C=180°-∠CFD-∠FDC=50°，
∴∠B+∠C=2∠C=100°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=80°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠B=∠C，从而可用SAS证 △BDE≌△CFD ；
（2）由（1）中的全等三角形可得∠BDE=∠CFD，由角的构成和平角的意义可求得∠BDE+∠CDF的度数，于是再根据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解.
1 / 1【基础版】浙教版数学八上2.3 等腰三角形的性质定理同步练习
一、选择题
1．（2023八上·哈尔滨月考）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角是50°，
∴底角为：（180°-50°）÷2=65°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角的度数相同，再根据三角形内角和为180°，计算即可得出答案．
2．（2024八上·衡山期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
故答案为：D.
【分析】利用三角形三线合一的性质分析求解即可.
3．（2024八上·舟山期末）如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图，
∵的面积为28，
∴
∴
∵AB=AC=16，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接AD，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD=28，结合AB=AC=16，DF=2DE，即可求解.
4．（华师大版数学八年级上册第13章第二节13.3.1等腰三角形的性质同步练习）如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=CD=AC，∠DBC= ∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故答案为：C．
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
5．（2023八上·安宁期中）如图，等边△ABC的两条高AD和BE相交于点O，则∠DOE度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边的两条高和相交于点O，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质求解。首先求得，，然后利用三角形外角的性质求解．
6．（2023八上·福州月考）如图，AD是等腰三角形的顶角平分线，，则CD等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BC=10，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
7．（2019八上·萧山期中）如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，则∠MAN为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵EM是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线
∴AM=BM，AN=NC
∴∠BAM=∠ABM，∠CAN=∠ACN
设∠BAM=∠ABM =x，∠CAN=∠ACN =y
∴∠BAC=∠BAM+∠MAN+∠CAN=x+y+∠MAN=130°
在△AMN中，∠MAN+∠AMN+∠ANM=∠MAN+2∠BAM+2∠CAN=∠MAN+2(∠BAM+∠CAN)= ∠MAN+2(x+y)=180°
联立解得：∠MAN=80°，x+y=50°
故答案选择：A.
【分析】先根据“AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F”得出∠BAM=∠ABM，∠CAN=∠ACN，再列出方程∠BAM+∠MAN+∠CAN=130°和∠MAN+2(∠BAM+∠CAN) =180°，解方程即可得出答案.
8．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线连接PC，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而确定PB=PC，再根据三角形的三边关系可得最小值.
二、填空题
9．（2016八上·个旧期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数
【答案】25°或65°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：
当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°.
故答案为：D.
【分析】由于此题没有告知等腰三角形是什么三角形，故需要分①当这个三角形是锐角三角形时，②当这个三角形是钝角三角形时，两种情况来讨论，分别画出图形即可算出答案。
10．（2021八上·盐池期末）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】20
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当4为腰时，三边长为4、4、8，而4+4=8，此时无法构成三角形
当4为底边时，三边长为4、8、8，此时可以构成三角形
则这个等腰三角形的周长为4+8+8=20.
故答案为：20.
【分析】分4为腰、4为底边，利用三角形的三边关系以及等腰三角形的性质判断是否能构成三角形，进而求出周长.
11．（2021八上·太和月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ．
【答案】10
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，
∴MO=MB，ON=NC，
∴AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC=4+6=10，
故答案为：10.
【分析】由角平分线的定义可得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，再结合平行线的性质可求出∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，由等角对等边可得MO=MB，ON=NC，根据AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC即可求解.
12．（2024八上·和田地期末）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AM，AD，如图所示：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC=×BC×AD，
∴AD=，
∵AB的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F点，
∴AM=BM，
∴BM+DM=AM+DM≥AD，
∴BM+DM的最小值为AD=10，
故答案为：10.
【分析】连接AM，AD，先利用三角形的面积公式求出AD的长，再利用垂直平分线的性质及三角形三边的关系可得BM+DM=AM+DM≥AD，再求出BM+DM的最小值即可.
三、作图题
13．（2024八上·海曙期末）如图，在中，∠．
（1）尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵ ，
∴∠B=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠B=∠BAD=∠DAC，
又∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°
∴∠B=30°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法尺规作图即可；
（2）根据AD=BD得∠B=∠BAD，根据角平分线得定义得∠BAD=∠DAC，结合∠C=90°，即可求∠B的度数.
四、解答题
14．（2023八上·花垣期中） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
15．（2024八上·海曙期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，D，F分别在三边上，且BE=CD，CF=BD．
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）若∠EDF=50°，求∠A的度数．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）．
（2）解：∵△BDE≌△CFD，
∴∠BDE=∠CFD．
∵∠EDF=50°，
∴∠BDE+∠FDC=130°，
∴∠CFD+∠FDC=130°，
∴∠C=180°-∠CFD-∠FDC=50°，
∴∠B+∠C=2∠C=100°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=80°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠B=∠C，从而可用SAS证 △BDE≌△CFD ；
（2）由（1）中的全等三角形可得∠BDE=∠CFD，由角的构成和平角的意义可求得∠BDE+∠CDF的度数，于是再根据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解.
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