【提升版】浙教版数学八上2.3 等腰三角形的性质定理同步练习
一、选择题
1．（2023八下·南宁月考）如图，在中，，为的平分线，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·南浔模拟）如图，直线 .以直线 上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线 于点B、C，连结 .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·市中区期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于，则( )
A． B． C． D．
5．（2024·从江模拟）如图，在中，以点为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，连接MN，交AB于点.已知的周长为，则AB的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·黔东南期末）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·丰南期中）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题
9．（2024七下·花溪月考）在 中， ， 点 在 边上，连接 ， 若 为直角三角形，则 的度数是 .
10．（2024七下·贵阳期末） 定义： 等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角形的"优美比"。若等腰三角形的周长为 13 cm ，一边长为 5 cm ， 则它的"优美比" 为
11．（2024八下·仁寿期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿点在上，点在上折叠，点与点恰好重合，已知，则的度数为
12．（2023八上·新邵期中）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为 ．
三、解答题
13．（2024七下·贵阳期末）如 图， 是 的高线， 的垂直平分线分别交 于点 .
（1） 若 ， 求 的度数；
（2） 试说明： .
14．（2024七下·抚州期末）如图在中、，分别垂直平分边和边，交边于、两点、与所在直线相交于点．
（1）若、求的周长；
（2）若，求的度数．
四、综合题
15．（2023·龙湾模拟）如图，，，D是上的一点，且.
（1）求证：
（2）若，，求的度数.
16．（2020八上·鞍山月考）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，为的平分线，
∴是的中线，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 等边三角形ABC
∴ ∠ABC=∠ACB=60°
∵直线l∥m
∴ ∠EBC+∠DCB=180°
∴ ∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°
即 21°+60°+60°+∠ACD=180°
∴ ∠ACD=39°
故答案为：B.
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键；由等边三角形ABC得∠ABC=∠ACB=60°；根据直线l∥m得 ∠EBC+∠DCB=180°，可得 ∠ACD=39°.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】由作图可知AB=AC，可得∠ABC=∠ACB=68°，根据三角形的内角和定理可得结论.
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，过点C关于OA的对称点P，关于OB的对称点Q，连接PQ，交OA于点D'，交OB于点E'，此时三角形CD'E'的周长是周长的最小值，连接OP，OQ，CD'，CE'，
根据对称的性质，可得：OP=OQ=OC=3，
∵PD'=CD'，CE'=QE'，
∴三角形CD'E'的周长=CD'+D'E'+CE'=PD'+D'E'+QE'=PQ=3，
∴是等边三角形，
∵∠POD'=∠COD'，∠QOE'=∠COE'，
∴∠POQ=2∠AOB=60°，
∴∠AOB=30°，
即α=30°。
故答案为：D。
【分析】过点C关于OA的对称点P，关于OB的对称点Q，连接PQ，交OA于点D'，交OB于点E'，根据对称的性质，及两点之间线段最短，即可得出此时三角形CD'E'的周长是周长的最小值，即可得出PQ=3，根据对称性质OP=OQ=OC=3，即可得出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠POQ=60°，再根据对称性质得出∠AOB=30°，即α=30°。
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可知，AD=AC，直线MN为线段BD的垂直平分线，
∴BE= DE，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+ BE+AC=AB+AC=9+5=14.
∵AC=5，
∴AB=8.
故答案为：B.
【分析】由作图过程可知，AD=AC，直线MN为线段BD的垂直平分线，则BE=DE，将△ADE的周长转化为AB+AC，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴∠AOB=∠COD，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴，，
∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠BOE=∠DOF，
∴∠DOF+∠BOF=90°，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故A选项正确，不符合题意；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B选项错误，符合题意；
∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
又∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE=OF，故C选项正确，不符合题意；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC+∠COD=90°①，
∵OE⊥OF，
∴∠COF+∠EOC=90°，
∵∠COF=∠AOE，
∴∠AOE+∠EOC=90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB+∠BOC=90°②，
①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC=180°，
即∠BOC+∠AOD=180°，故D选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出∠AOB=∠COD，根据等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合可推得∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，再结合OE⊥OF即可判断A选项，根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，根据全等三角形对应边上的中线相等可得OE=OF，即可判断C选项，结合A选项中结论即可得出∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，即可判断D选项.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，与交于点，此时最小，
是等边三角形，，
，
，
即就是的最小值，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据等边三角形的性质可知点C 关于AD的对称点为点B，连接BE，根据垂直平分线的选择可知，即就是的最小值，再根据等边三角形的性质得，，利用三角形内角和定理得，再根据等腰三角形的性质可得，再利用角的和差即可求得 .
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作AD的延长线的垂线于点F，如图所示：
是等边三角形，
=，
，
=，
，
，
∵，
(AAS) ，
AE=CF，PE=QF，
同理可证 ，
DE=DF，
AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，
DE= ．
故答案为：B
【分析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F，先根据等边三角形的性质得到=，进而结合三角形全等的判定与性质证明 (AAS) 即可得到AE=CF，PE=QF，同理可证 ，进而得到AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，从而即可求解。
9．【答案】90°或50°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵为直角三角形，
分类讨论：①当时，如图1，
∴；
②当时，如图2，
综上所述，的度数是90°或50°
故答案为：90°或50°.
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到．进而根据直角三角形的性质分类讨论：①当时，②当时，再根据三角形内角和定理即可求解.
10．【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①腰长为5cm，则底边长为：13-5×2=3（cm），所以 它的"优美比" 为 ：；
②底边长为5cm，则腰长为：（13-5）÷2=4（cm），所以 它的"优美比" 为 ：。
故答案为： 或。
【分析】根据5cm为腰长和底边长，分为两种情况，分别求得 它的"优美比" 的值即可。
11．【答案】64
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C，
∵ ∠BAC=52°，
∴ ∠C=64°.
故答案为：64.
【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求得.
12．【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
∵等边△ABC中，BD＝CD，AE＝BE，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF＝BF，
即BF+EF＝CF+EF＝CE，
∵等边△ABC中，AE＝BE，
∴CE⊥AB，
∴BF+EF＝CE时最小，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
在△ADB和△CEB中，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD＝6，
即BF+EF的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】取点B关于直线AD的对称点点C，连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，（“将军饮马”问题）此时BF+EF =CE ，再证明△ADB≌△CEB（AAS），即可得到最小值为6.
13．【答案】（1）解：因为 是 的垂直平分线，所以 .
因为 ， 所以 .
所以 .
（2）解：因为 是 的垂直平分线，
所以 .
所以 .
由 (1) 可知， ，
所以 .
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先判定，再根据平行线的性质得出；
（2）首先根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，进一步即可得出。
14．【答案】（1）解：，分别垂直平分边和边，
，，
的周长；
（2）解：，分别垂直平分边和边，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可证得MC=MA，NC=NB，可推出△CMN的周长就是AB的长.
（2）利用垂直的定义和四边形的内角和定理求出∠ACB的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠A+∠B的度数，再利用等边对等角，可证得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，然后求出∠MCN的度数.
15．【答案】（1）证明
∵，
∴.
∵，，
∴；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
∵，
，
，
；
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BAD=∠ACE，由已知条件可知ABA=C，AD=CE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠EAC=∠ABD=25°，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=65°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=65°，∠BAC=50°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠EAC进行计算.
16．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用等式性质求出∠BAE＝∠CAD，根据ASA可证△ABE≌△ACD，可得AE=AD；
（2） 由等边对等角，可得∠ABC＝∠ACB＝65°，利用三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，再次利用三角形内角和定理，可得∠BDC＝∠BAC＝50°.
1 / 1【提升版】浙教版数学八上2.3 等腰三角形的性质定理同步练习
一、选择题
1．（2023八下·南宁月考）如图，在中，，为的平分线，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，为的平分线，
∴是的中线，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一即可得出答案.
2．（2024·泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 等边三角形ABC
∴ ∠ABC=∠ACB=60°
∵直线l∥m
∴ ∠EBC+∠DCB=180°
∴ ∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°
即 21°+60°+60°+∠ACD=180°
∴ ∠ACD=39°
故答案为：B.
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键；由等边三角形ABC得∠ABC=∠ACB=60°；根据直线l∥m得 ∠EBC+∠DCB=180°，可得 ∠ACD=39°.
3．（2022·南浔模拟）如图，直线 .以直线 上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线 于点B、C，连结 .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】由作图可知AB=AC，可得∠ABC=∠ACB=68°，根据三角形的内角和定理可得结论.
4．（2024七下·市中区期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，过点C关于OA的对称点P，关于OB的对称点Q，连接PQ，交OA于点D'，交OB于点E'，此时三角形CD'E'的周长是周长的最小值，连接OP，OQ，CD'，CE'，
根据对称的性质，可得：OP=OQ=OC=3，
∵PD'=CD'，CE'=QE'，
∴三角形CD'E'的周长=CD'+D'E'+CE'=PD'+D'E'+QE'=PQ=3，
∴是等边三角形，
∵∠POD'=∠COD'，∠QOE'=∠COE'，
∴∠POQ=2∠AOB=60°，
∴∠AOB=30°，
即α=30°。
故答案为：D。
【分析】过点C关于OA的对称点P，关于OB的对称点Q，连接PQ，交OA于点D'，交OB于点E'，根据对称的性质，及两点之间线段最短，即可得出此时三角形CD'E'的周长是周长的最小值，即可得出PQ=3，根据对称性质OP=OQ=OC=3，即可得出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠POQ=60°，再根据对称性质得出∠AOB=30°，即α=30°。
5．（2024·从江模拟）如图，在中，以点为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，连接MN，交AB于点.已知的周长为，则AB的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可知，AD=AC，直线MN为线段BD的垂直平分线，
∴BE= DE，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+ BE+AC=AB+AC=9+5=14.
∵AC=5，
∴AB=8.
故答案为：B.
【分析】由作图过程可知，AD=AC，直线MN为线段BD的垂直平分线，则BE=DE，将△ADE的周长转化为AB+AC，即可得出答案.
6．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴∠AOB=∠COD，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴，，
∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠BOE=∠DOF，
∴∠DOF+∠BOF=90°，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故A选项正确，不符合题意；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B选项错误，符合题意；
∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
又∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE=OF，故C选项正确，不符合题意；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC+∠COD=90°①，
∵OE⊥OF，
∴∠COF+∠EOC=90°，
∵∠COF=∠AOE，
∴∠AOE+∠EOC=90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB+∠BOC=90°②，
①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC=180°，
即∠BOC+∠AOD=180°，故D选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出∠AOB=∠COD，根据等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合可推得∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，再结合OE⊥OF即可判断A选项，根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，根据全等三角形对应边上的中线相等可得OE=OF，即可判断C选项，结合A选项中结论即可得出∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，即可判断D选项.
7．（2024八上·黔东南期末）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，与交于点，此时最小，
是等边三角形，，
，
，
即就是的最小值，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据等边三角形的性质可知点C 关于AD的对称点为点B，连接BE，根据垂直平分线的选择可知，即就是的最小值，再根据等边三角形的性质得，，利用三角形内角和定理得，再根据等腰三角形的性质可得，再利用角的和差即可求得 .
8．（2023八上·丰南期中）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于点为延长线上一点，当时，交于，则的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作AD的延长线的垂线于点F，如图所示：
是等边三角形，
=，
，
=，
，
，
∵，
(AAS) ，
AE=CF，PE=QF，
同理可证 ，
DE=DF，
AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，
DE= ．
故答案为：B
【分析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F，先根据等边三角形的性质得到=，进而结合三角形全等的判定与性质证明 (AAS) 即可得到AE=CF，PE=QF，同理可证 ，进而得到AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，从而即可求解。
二、填空题
9．（2024七下·花溪月考）在 中， ， 点 在 边上，连接 ， 若 为直角三角形，则 的度数是 .
【答案】90°或50°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵为直角三角形，
分类讨论：①当时，如图1，
∴；
②当时，如图2，
综上所述，的度数是90°或50°
故答案为：90°或50°.
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到．进而根据直角三角形的性质分类讨论：①当时，②当时，再根据三角形内角和定理即可求解.
10．（2024七下·贵阳期末） 定义： 等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角形的"优美比"。若等腰三角形的周长为 13 cm ，一边长为 5 cm ， 则它的"优美比" 为
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①腰长为5cm，则底边长为：13-5×2=3（cm），所以 它的"优美比" 为 ：；
②底边长为5cm，则腰长为：（13-5）÷2=4（cm），所以 它的"优美比" 为 ：。
故答案为： 或。
【分析】根据5cm为腰长和底边长，分为两种情况，分别求得 它的"优美比" 的值即可。
11．（2024八下·仁寿期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿点在上，点在上折叠，点与点恰好重合，已知，则的度数为
【答案】64
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C，
∵ ∠BAC=52°，
∴ ∠C=64°.
故答案为：64.
【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求得.
12．（2023八上·新邵期中）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
∵等边△ABC中，BD＝CD，AE＝BE，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF＝BF，
即BF+EF＝CF+EF＝CE，
∵等边△ABC中，AE＝BE，
∴CE⊥AB，
∴BF+EF＝CE时最小，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
在△ADB和△CEB中，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD＝6，
即BF+EF的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】取点B关于直线AD的对称点点C，连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，（“将军饮马”问题）此时BF+EF =CE ，再证明△ADB≌△CEB（AAS），即可得到最小值为6.
三、解答题
13．（2024七下·贵阳期末）如 图， 是 的高线， 的垂直平分线分别交 于点 .
（1） 若 ， 求 的度数；
（2） 试说明： .
【答案】（1）解：因为 是 的垂直平分线，所以 .
因为 ， 所以 .
所以 .
（2）解：因为 是 的垂直平分线，
所以 .
所以 .
由 (1) 可知， ，
所以 .
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先判定，再根据平行线的性质得出；
（2）首先根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，进一步即可得出。
14．（2024七下·抚州期末）如图在中、，分别垂直平分边和边，交边于、两点、与所在直线相交于点．
（1）若、求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，分别垂直平分边和边，
，，
的周长；
（2）解：，分别垂直平分边和边，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可证得MC=MA，NC=NB，可推出△CMN的周长就是AB的长.
（2）利用垂直的定义和四边形的内角和定理求出∠ACB的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠A+∠B的度数，再利用等边对等角，可证得∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，然后求出∠MCN的度数.
四、综合题
15．（2023·龙湾模拟）如图，，，D是上的一点，且.
（1）求证：
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）证明
∵，
∴.
∵，，
∴；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
∵，
，
，
；
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BAD=∠ACE，由已知条件可知ABA=C，AD=CE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠EAC=∠ABD=25°，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=65°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=65°，∠BAC=50°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠EAC进行计算.
16．（2020八上·鞍山月考）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用等式性质求出∠BAE＝∠CAD，根据ASA可证△ABE≌△ACD，可得AE=AD；
（2） 由等边对等角，可得∠ABC＝∠ACB＝65°，利用三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，再次利用三角形内角和定理，可得∠BDC＝∠BAC＝50°.
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