【培优版】浙教版数学八上2.3 等腰三角形的性质定理同步练习
一、选择题
1．（2024八下·六盘水期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；作直线交于点，连接若点是的中点，则的度数是( )
A． B． C． D．
2．（2024八下·南山期末）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
3．（2024·安徽）在凸五边形ABCDE中，，，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·东阿月考）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小时，为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
6．（2023八上·衡阳期中）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
二、填空题
7．（2024·内江）如图，在中，，，，则的度数为
8．（2024八下·深圳期中）如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=25°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径面筑两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 .
9．（2024八下·沈阳月考）如图，已知，则的度数为 ．
10．（2023八上·余姚月考）如图，边长为2的等边中，是边上的中线，点E在上，连接，在的下方作等边，连接，则周长的最小值是 ．
三、解答题
11．（2024八下·四川月考） 已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
（2）如图1，求证：EF＝2AD．
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
12．（2024八下·临川月考）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，．
①求的周长；
②在直线上是否有在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
13．（2018八上·白城期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
14．（2024八上·梅河口期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．
（1）若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是 ；
（2）若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点)
（3）若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
四、实践探究题
15．（2024八上·安乡县期末）已知和均为等边三角形，点在的边上，点在直线上．
（1）若点和点重合（如图①），求证：．
（2）若点在的延长线上（如图②），（1）中的结论还能成立吗？给出你的结论并证明．
16．（2023八上·南宁期中）【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”
（1）【性质探究】如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点O，试探究筝形ABCD的性质，并填空：对角线AC、BD的关系是： ；图中∠ADB、∠CDB的大小关系是： .
（2）【概念理解】如图2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为，△EAB与△DAB关于所在的直线对称，△FAC与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；
（3）【应用拓展】如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：∠BAC=∠FEG.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图知：MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠B=∠BCD，
∵ 点是的中点 ，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠A+∠B+∠BCD+∠ACD=180°，
∴2∠BCD+2∠ACD=180°，即∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACB=90°.
故答案为：A.
【分析】由作图知：MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质及线段的中点可推出AD=BD=CD，可得∠B=∠BCD，∠A=∠ACD，由三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠BCD+∠ACD=180°，继而求出∠ACB的度数.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：小明的作图中，
∴，
∴，
∴平分，故小明的作法正确；
小颖的作图中，
∴，
∴，
∵OC=OD，OG=OF，
∴，即，
又∵，
∴（AAS），
∴
又∵，
∴（SSS），
∴，
∴平分，故小颖的作法正确；
小亮的作图中，，
∴，
∴平分，故小亮的作法正确，
综上，小明、小颖和小亮三位同学用尺规作∠AOB的平分线作法都正确.
故答案为：D．
【分析】根据小明的作法用SSS判断出△DOE≌△COE，由全等三角形的对应角相等得∠DOE=∠COE，从而利用角平分线的定义可判断；根据小颖的作法，先用SAS判断出△OCG≌△ODF，得∠OGC=∠OFD，再用AAS判断出△GDE≌△FCE，得GE=EF，最后用SSS判断出△OGEE≌△OFE，由全等三角形的对应角相等得∠DOE=∠COE，从而利用角平分线的定义可判断；根据小亮的作法可得OF=EF，EF∥OB，由等边对等角得∠FOE=∠FEO，由二直线平行，内错角相等，得∠FEO=∠EOB，则∠FOE=∠BOE，从而利用角平分线的定义可判断.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A、如图，连接AC，AD，
∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=DE，
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD，
∵F是CD的中点，
∴AF⊥CD，故A不符合题意；
B、∵AB=AE，BC=DE，CF=DF，
∴五边形ABCDE为轴对称图形，其中AF所在的直线为对称轴，
∴AF⊥CD，故B不符合题意；
C、连接BF、EF，
∵CF=DF， ，BC=DE，
∴△BCF≌△EDF，
∴BF=EF，
∵AB=AE，AF=AF，
∴△ABF≌△AEF，
∴∠BAF=∠EAF，
由B知：AF⊥CD，故C不符合题意；
D、根据 不能推出AF平分∠BAD，继而不能得出AF与CD一定垂直，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】如图，连接AC，AD，可证△ABC≌△AED（SAS），可得AC=AD，利用等腰三角形的性质可判断A；由AB=AE，BC=DE，CF=DF，可得五边形ABCDE为轴对称图形，其中AF所在的直线为对称轴，结合已知即可判断B；连接BF、EF，证△BCF≌△EDF，可得BF=EF，再证△ABF≌△AEF，可得∠BAF=∠EAF，结合B项即可判断C；根据 不能推出AF平分∠BAE，继而不能得出AF与CD一定垂直，据此判断D项.
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，是边上的高，
是中点，即垂直平分，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，
点是边的中点，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题求解。连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数．
5．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△BDE和△FGH是等边三角形，△BDE≌△FGH，
∴DE=FH=BE，
∴DE+EC=BE+EC=BC，FH+FD=BD+DF=BF，
∵∠EHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵∠A=60°，
∴∠AFH+∠AHF=120°，
∴∠AFH=∠GHC，
∵FH=GH，∠A=∠C，
∴△AFH≌△CHC（AAS），
∴HC=FA，
∴FH+FD+HC=BF+FA=BA，
∴五边形DECHF的周长=DE+EC+HC+FH+FD=BC+BA= △ABC的周长 ，
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质，结合全等三角形的性质和等式的性质可得DE+EC=BC，FH+FD=BF，再利用角角边定理证明△AFH≌△CHC可得HC=FA，推出FH+FD+HC=BA，最后可得五边形DECHF的周长是△ABC的周长的，据此可知答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长交于，如图所示：
分别为边上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长，故④正确，
∴正确的有①③④．
故答案为：C
【分析】延长交于，先根据三角形的高得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而即可判断①；进而结合题意即可判断②；再进行角的运算即可判断③；进而结合题意运用垂直平分线的性质得到，进而根据△CDF的周长即可判断④。
7．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AE=AC，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，
∴∠A=180°-2x，∠B=180°-2y，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴180°-2x+180°-2y+x+y-40°=180°
解之：x+y=140°，
∴∠ACB=x+y-40°=140°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】利用等边对等角可证得∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，利用三角形的内角和定理可表示出∠B和∠A，利用△的内角和定理可求出ux+y的值，再根据∠ACB=x+y-40°，代入计算可求解.
8．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：△ABC中，∵ ∠B=70°，∠C=25°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=85°，
∵MN垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAC=25°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°.
故答案为：60°.
【分析】由三角形的内角和定理得∠BAC=85°，由线段垂直平分线性质得AD=CD，由等边对等角得∠C=∠DAC=25°，最后根据∠BAD=∠BAC-∠DAC可算出答案.
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴.
故答案为：10°.
【分析】根据三角形内角公式得到，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可得到答案.
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：、 为等边三角形，
∴CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF，
∴≌(SAS)
∴∠CAE=∠CBF，
又 是边上的中线，
∴∠CAE=∠CBF=30°，
作点D关于BF对称的点H，
∴BD=BH，∠CBH=2∠CBF=60°，
是等边三角形，
∴∠BDH=60°，∠HDC=120°，
的周长=CF+DF+CD=CF+HF+CD
周长最小时，H、F、C三点共线，
中，∠HDC=120°，CD=HD=1，
∴CH=，
即的周长最小为CD+CH=1+.
故答案为： .
【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF，推出≌(SAS)，根据三角形全等的性质及等腰三角形的性质可得∠CAE=∠CBF=30°，作点D关于BF对称的点H，由对称性可得BD=BH，∠CBH=2∠CBF=60°，是等边三角形，推出H、F、C三点共线时，的周长最小，即可得的周长最小为CD+CH=1+.
11．【答案】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠EAB＝50°，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝75°，
∴∠CAF＝30°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，
∴50°+2∠BAC+30°＝180°，
∴∠BAC＝50°．
（2）证明：证明：如图，延长AD至点H，使DH=AD，连接BH
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，
∴BH=AF，
∵∠BHD=∠DAC，
∴BH∥AC，
∴∠BAC+∠ABH=180°，
又∵∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠ABH=∠EAF，
又∵AB=AE，BH=AF，
∴△AEF≌△BAH（SAS），
∴EF=AH=2AD，
∴EF＝2AD；
（3）解：结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．
理由：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
由（2）△AEF≌△BAH，
∴∠AEG=∠BAD，
在△EAG和△ABD中，
，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，
∴△AEB是等边三角形，AG=CD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBM＝60°，
在△ACD和△FAG中，
，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD＝∠FAG，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，
∴60°+2∠BCF＝360°，
∴∠BCF＝150°，
∴∠BCA+∠ACF＝150°，
∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，
∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质求得 ∠EAB、 ∠CAF 的度数，结合已知条件利用角的和差关系即可求解；
（2） 延长AD至点H，使DH=AD，连接BH ，利用SAS证明 △ADC≌△HDB得到 BH=AC，∠BHD=∠DAC， 进而得到 BH=AF， 再证明 △AEF≌△BAH ，得到 EF=AH=2AD， 从而求解；
（3）先证明 △EAG≌△ABD， 得到 ∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD， 进而证明 △AEB是等边三角形，AG=CD， 再证明 △ACD≌△FAG， 得到 ∠ACD＝∠FAG， 再由AC＝AF，得到∠ACF＝∠AFC，最后利用四边形的内角和即可求解.
12．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：①∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
②如图，
∵垂直平分，
∴点B关于直线的对称点为点A，
∴要使的值最小，则连接与直线的交点即为点P，
∴当点P与点M重合时，最小值
∴最小值为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得， 由三角形的内角和定理求得，再利用余角的性质即可求解；
（2） ① 由线段垂直平分线的性质得到， 从而得到的周长，代入数据即可求解；
② 根据线段垂直平分线的性质得到点B关于直线的对称点为点A， 要使的值最小，则连接与直线的交点即为点P， 当点P与点M重合时，最小值 ，此时最小值从而求解.
13．【答案】（1）证明：是等边三角形
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
≌；
（2）解：点、在运动的过程中，不变．
理由：≌，
，
，
；
（3）解：点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．
理由：在与中，
≌，
，
，
．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，由于点PQ的运动速度相同，可得AP=BQ，根据“SAS”可证△ABQ≌△CAP；
（2） 由△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP，利用三角形外角的性质可得∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°，据此即可判断.
（3）先证△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP，从而求出∠QMC=120°，据此判断即可.
14．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，交于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）解：结论仍成立，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，点是的中点，
∴∠BDC=90°，∠DBC=30°，
∵BD=CE，
∴∠E=30°，
∴∠BDE=120°，
∴∠CDE=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
又∵AD=CD，
∴AD=CE；
【分析】（1）AD=CE。首先根据等边三角形的性质得出∠BDC=90°，∠DBC=30°，然后根据等腰三角形的性质可分别求得∠CDE=∠E=30°，即可得出CD=CE，进而得出结论AD=CE；
（2） 过点作，交于点， ， 首先根据AAS可以证明 ， 然后得出 ， 再等量代换成 ；
（3） 结论仍成立，如图，过点作，交的延长线于点， 首先根据AAS可以证明 ，可得出PD=CE，再等量代换成 。
15．【答案】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下，
如图所示，过点作交的延长线于点，
∴
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
同（1）可得，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的条件SAS，可证，可得∠EAC=∠B=60°，然后可得∠EAC=∠ACB，最后根据平行线的判定定理即可得出结论；
（2） 过点F作FG∥BC交AB的延长线于点G，可得△AGF是等边三角形，然后同（1）可得，可得∠EAF=∠G=60°，再根据平行线的判定定理即可得出结论.
16．【答案】（1）BD垂直平分AC；∠ADB=∠CDB
（2）解：图中的“筝形”有：四边形AEBD、四边形ADCF、四边形AEGF；
证明四边形AEBD是筝形：
由轴对称的性质可知， ；
四边形AEBD是筝形
（3）证明：如图3中，
由轴对称的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵AD=CD，AB=BC
∴DO⊥AC，BO⊥AC，∠ADB=∠CDB
∴AC⊥BD
故答案为：AC⊥BD；∠ADB=∠CDB.
【分析】（1）根据等腰三角形和线段垂直平分线的判定和性质即可直接解题；
（2）根据“筝形”的定义，可得AE=AD，BE=BD，（两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”）直接求证即可；
（3）根据对称性，可得相应的角相等；根据三角形内角和定理和等量代换原则即可求解.
1 / 1【培优版】浙教版数学八上2.3 等腰三角形的性质定理同步练习
一、选择题
1．（2024八下·六盘水期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；作直线交于点，连接若点是的中点，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图知：MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠B=∠BCD，
∵ 点是的中点 ，
∴AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠A+∠B+∠BCD+∠ACD=180°，
∴2∠BCD+2∠ACD=180°，即∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACB=90°.
故答案为：A.
【分析】由作图知：MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质及线段的中点可推出AD=BD=CD，可得∠B=∠BCD，∠A=∠ACD，由三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠BCD+∠ACD=180°，继而求出∠ACB的度数.
2．（2024八下·南山期末）如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：小明的作图中，
∴，
∴，
∴平分，故小明的作法正确；
小颖的作图中，
∴，
∴，
∵OC=OD，OG=OF，
∴，即，
又∵，
∴（AAS），
∴
又∵，
∴（SSS），
∴，
∴平分，故小颖的作法正确；
小亮的作图中，，
∴，
∴平分，故小亮的作法正确，
综上，小明、小颖和小亮三位同学用尺规作∠AOB的平分线作法都正确.
故答案为：D．
【分析】根据小明的作法用SSS判断出△DOE≌△COE，由全等三角形的对应角相等得∠DOE=∠COE，从而利用角平分线的定义可判断；根据小颖的作法，先用SAS判断出△OCG≌△ODF，得∠OGC=∠OFD，再用AAS判断出△GDE≌△FCE，得GE=EF，最后用SSS判断出△OGEE≌△OFE，由全等三角形的对应角相等得∠DOE=∠COE，从而利用角平分线的定义可判断；根据小亮的作法可得OF=EF，EF∥OB，由等边对等角得∠FOE=∠FEO，由二直线平行，内错角相等，得∠FEO=∠EOB，则∠FOE=∠BOE，从而利用角平分线的定义可判断.
3．（2024·安徽）在凸五边形ABCDE中，，，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A、如图，连接AC，AD，
∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=DE，
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD，
∵F是CD的中点，
∴AF⊥CD，故A不符合题意；
B、∵AB=AE，BC=DE，CF=DF，
∴五边形ABCDE为轴对称图形，其中AF所在的直线为对称轴，
∴AF⊥CD，故B不符合题意；
C、连接BF、EF，
∵CF=DF， ，BC=DE，
∴△BCF≌△EDF，
∴BF=EF，
∵AB=AE，AF=AF，
∴△ABF≌△AEF，
∴∠BAF=∠EAF，
由B知：AF⊥CD，故C不符合题意；
D、根据 不能推出AF平分∠BAD，继而不能得出AF与CD一定垂直，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】如图，连接AC，AD，可证△ABC≌△AED（SAS），可得AC=AD，利用等腰三角形的性质可判断A；由AB=AE，BC=DE，CF=DF，可得五边形ABCDE为轴对称图形，其中AF所在的直线为对称轴，结合已知即可判断B；连接BF、EF，证△BCF≌△EDF，可得BF=EF，再证△ABF≌△AEF，可得∠BAF=∠EAF，结合B项即可判断C；根据 不能推出AF平分∠BAE，继而不能得出AF与CD一定垂直，据此判断D项.
4．（2023八上·东阿月考）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是线段上的一个动点，当最小时，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
是等边三角形，是边上的高，
是中点，即垂直平分，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，
点是边的中点，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题求解。连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数．
5．（2020·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△BDE和△FGH是等边三角形，△BDE≌△FGH，
∴DE=FH=BE，
∴DE+EC=BE+EC=BC，FH+FD=BD+DF=BF，
∵∠EHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵∠A=60°，
∴∠AFH+∠AHF=120°，
∴∠AFH=∠GHC，
∵FH=GH，∠A=∠C，
∴△AFH≌△CHC（AAS），
∴HC=FA，
∴FH+FD+HC=BF+FA=BA，
∴五边形DECHF的周长=DE+EC+HC+FH+FD=BC+BA= △ABC的周长 ，
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质，结合全等三角形的性质和等式的性质可得DE+EC=BC，FH+FD=BF，再利用角角边定理证明△AFH≌△CHC可得HC=FA，推出FH+FD+HC=BA，最后可得五边形DECHF的周长是△ABC的周长的，据此可知答案.
6．（2023八上·衡阳期中）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长交于，如图所示：
分别为边上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长，故④正确，
∴正确的有①③④．
故答案为：C
【分析】延长交于，先根据三角形的高得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而即可判断①；进而结合题意即可判断②；再进行角的运算即可判断③；进而结合题意运用垂直平分线的性质得到，进而根据△CDF的周长即可判断④。
二、填空题
7．（2024·内江）如图，在中，，，，则的度数为
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AE=AC，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，
∴∠A=180°-2x，∠B=180°-2y，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴180°-2x+180°-2y+x+y-40°=180°
解之：x+y=140°，
∴∠ACB=x+y-40°=140°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】利用等边对等角可证得∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，利用三角形的内角和定理可表示出∠B和∠A，利用△的内角和定理可求出ux+y的值，再根据∠ACB=x+y-40°，代入计算可求解.
8．（2024八下·深圳期中）如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=25°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径面筑两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 .
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：△ABC中，∵ ∠B=70°，∠C=25°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=85°，
∵MN垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAC=25°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°.
故答案为：60°.
【分析】由三角形的内角和定理得∠BAC=85°，由线段垂直平分线性质得AD=CD，由等边对等角得∠C=∠DAC=25°，最后根据∠BAD=∠BAC-∠DAC可算出答案.
9．（2024八下·沈阳月考）如图，已知，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴.
故答案为：10°.
【分析】根据三角形内角公式得到，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可得到答案.
10．（2023八上·余姚月考）如图，边长为2的等边中，是边上的中线，点E在上，连接，在的下方作等边，连接，则周长的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：、 为等边三角形，
∴CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF，
∴≌(SAS)
∴∠CAE=∠CBF，
又 是边上的中线，
∴∠CAE=∠CBF=30°，
作点D关于BF对称的点H，
∴BD=BH，∠CBH=2∠CBF=60°，
是等边三角形，
∴∠BDH=60°，∠HDC=120°，
的周长=CF+DF+CD=CF+HF+CD
周长最小时，H、F、C三点共线，
中，∠HDC=120°，CD=HD=1，
∴CH=，
即的周长最小为CD+CH=1+.
故答案为： .
【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF，推出≌(SAS)，根据三角形全等的性质及等腰三角形的性质可得∠CAE=∠CBF=30°，作点D关于BF对称的点H，由对称性可得BD=BH，∠CBH=2∠CBF=60°，是等边三角形，推出H、F、C三点共线时，的周长最小，即可得的周长最小为CD+CH=1+.
三、解答题
11．（2024八下·四川月考） 已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
（2）如图1，求证：EF＝2AD．
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠EAB＝50°，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝75°，
∴∠CAF＝30°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，
∴50°+2∠BAC+30°＝180°，
∴∠BAC＝50°．
（2）证明：证明：如图，延长AD至点H，使DH=AD，连接BH
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，
∴BH=AF，
∵∠BHD=∠DAC，
∴BH∥AC，
∴∠BAC+∠ABH=180°，
又∵∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠ABH=∠EAF，
又∵AB=AE，BH=AF，
∴△AEF≌△BAH（SAS），
∴EF=AH=2AD，
∴EF＝2AD；
（3）解：结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．
理由：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
由（2）△AEF≌△BAH，
∴∠AEG=∠BAD，
在△EAG和△ABD中，
，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，
∴△AEB是等边三角形，AG=CD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBM＝60°，
在△ACD和△FAG中，
，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD＝∠FAG，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，
∴60°+2∠BCF＝360°，
∴∠BCF＝150°，
∴∠BCA+∠ACF＝150°，
∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，
∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质求得 ∠EAB、 ∠CAF 的度数，结合已知条件利用角的和差关系即可求解；
（2） 延长AD至点H，使DH=AD，连接BH ，利用SAS证明 △ADC≌△HDB得到 BH=AC，∠BHD=∠DAC， 进而得到 BH=AF， 再证明 △AEF≌△BAH ，得到 EF=AH=2AD， 从而求解；
（3）先证明 △EAG≌△ABD， 得到 ∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD， 进而证明 △AEB是等边三角形，AG=CD， 再证明 △ACD≌△FAG， 得到 ∠ACD＝∠FAG， 再由AC＝AF，得到∠ACF＝∠AFC，最后利用四边形的内角和即可求解.
12．（2024八下·临川月考）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，．
①求的周长；
②在直线上是否有在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）解：①∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
②如图，
∵垂直平分，
∴点B关于直线的对称点为点A，
∴要使的值最小，则连接与直线的交点即为点P，
∴当点P与点M重合时，最小值
∴最小值为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得， 由三角形的内角和定理求得，再利用余角的性质即可求解；
（2） ① 由线段垂直平分线的性质得到， 从而得到的周长，代入数据即可求解；
② 根据线段垂直平分线的性质得到点B关于直线的对称点为点A， 要使的值最小，则连接与直线的交点即为点P， 当点P与点M重合时，最小值 ，此时最小值从而求解.
13．（2018八上·白城期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）证明：是等边三角形
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
≌；
（2）解：点、在运动的过程中，不变．
理由：≌，
，
，
；
（3）解：点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．
理由：在与中，
≌，
，
，
．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，由于点PQ的运动速度相同，可得AP=BQ，根据“SAS”可证△ABQ≌△CAP；
（2） 由△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP，利用三角形外角的性质可得∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°，据此即可判断.
（3）先证△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP，从而求出∠QMC=120°，据此判断即可.
14．（2024八上·梅河口期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．
（1）若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是 ；
（2）若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点)
（3）若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，交于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）解：结论仍成立，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
，
则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，点是的中点，
∴∠BDC=90°，∠DBC=30°，
∵BD=CE，
∴∠E=30°，
∴∠BDE=120°，
∴∠CDE=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
又∵AD=CD，
∴AD=CE；
【分析】（1）AD=CE。首先根据等边三角形的性质得出∠BDC=90°，∠DBC=30°，然后根据等腰三角形的性质可分别求得∠CDE=∠E=30°，即可得出CD=CE，进而得出结论AD=CE；
（2） 过点作，交于点， ， 首先根据AAS可以证明 ， 然后得出 ， 再等量代换成 ；
（3） 结论仍成立，如图，过点作，交的延长线于点， 首先根据AAS可以证明 ，可得出PD=CE，再等量代换成 。
四、实践探究题
15．（2024八上·安乡县期末）已知和均为等边三角形，点在的边上，点在直线上．
（1）若点和点重合（如图①），求证：．
（2）若点在的延长线上（如图②），（1）中的结论还能成立吗？给出你的结论并证明．
【答案】（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下，
如图所示，过点作交的延长线于点，
∴
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
同（1）可得，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的条件SAS，可证，可得∠EAC=∠B=60°，然后可得∠EAC=∠ACB，最后根据平行线的判定定理即可得出结论；
（2） 过点F作FG∥BC交AB的延长线于点G，可得△AGF是等边三角形，然后同（1）可得，可得∠EAF=∠G=60°，再根据平行线的判定定理即可得出结论.
16．（2023八上·南宁期中）【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”
（1）【性质探究】如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点O，试探究筝形ABCD的性质，并填空：对角线AC、BD的关系是： ；图中∠ADB、∠CDB的大小关系是： .
（2）【概念理解】如图2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为，△EAB与△DAB关于所在的直线对称，△FAC与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；
（3）【应用拓展】如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：∠BAC=∠FEG.
【答案】（1）BD垂直平分AC；∠ADB=∠CDB
（2）解：图中的“筝形”有：四边形AEBD、四边形ADCF、四边形AEGF；
证明四边形AEBD是筝形：
由轴对称的性质可知， ；
四边形AEBD是筝形
（3）证明：如图3中，
由轴对称的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵AD=CD，AB=BC
∴DO⊥AC，BO⊥AC，∠ADB=∠CDB
∴AC⊥BD
故答案为：AC⊥BD；∠ADB=∠CDB.
【分析】（1）根据等腰三角形和线段垂直平分线的判定和性质即可直接解题；
（2）根据“筝形”的定义，可得AE=AD，BE=BD，（两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”）直接求证即可；
（3）根据对称性，可得相应的角相等；根据三角形内角和定理和等量代换原则即可求解.
1 / 1
