【基础版】浙教版数学八上2.4 等腰三角形的判定定理同步练习
一、选择题
1．（2024八上·娄底期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·谷城期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形高线、中线和角平分线互相重合
B．全等三角形对应边相等
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
3．（2023八上·哈尔滨期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
4．（2023八上·南关期中）在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，且
6．如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2016八上·滨湖期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023八上·萧山月考）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．
10．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝ ．
11．（2024八上·赣州期末）如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是 ．
12．（2022八上·长沙月考）如图，，点在的角平分线上，，点、是两边、上的动点，当的周长最小时，点到距离是 .
三、解答题
13．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：∠EBC＝∠ECB．
14．（2024八上·嘉兴期末）如图，．
（1）求证：．
（2）判断的形状，并说明理由．
15．（2024八上·三台期末）如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）判断△ADE是什么特殊三角形，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】
解：分两种情况：
①当等腰三角形的腰长为3cm时，
∵等腰三角形的周长为12cm，
∴等腰三角形的底边长=12-3X2=6 (cm)，
∵3+3=6，不满足三角形三边关系
∴不能组成三角形；
②当等腰三角形的底边长为3cm时，
∵等腰三角形的周长为12cm，
∴等腰三角形的腰长=(12-3)÷ 2=4.5 (cm)，
∵4.5+4.5>3，满足三角形三边关系，
∴底边长为3cm。
综上所述：该等腰三角形的底边长为3cm，故答案为：A.
【分析】分类讨论，当等腰三角形腰长为3cm时，当等腰三角形的底边长为3cm时，然后分别计算，再根据三角形三边关系进行判断即可解答。
2．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线互相重合 ，A错误；
B：全等三角形对应边相等，B正确；
C：三个角都相等的三角形是等边三角形，C正确；
D：角平分线上的点到角两边的距离相等 ，D正确；
故答案为：A.
【分析】根据的等腰三角形、全等三角形的性质、等边三角形和角平分线的性质判断即可.
3．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、④三边都相等的三角形是等边三角形，∴A选项错误；
B、③ 三个角都相等的三角形也是等边三角形，∴B选项错误；
C、②有一个角等于60°的等腰三角形，④三边都相等的三角形，都是等边三角形，∴C选项错误.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴，
解得：，
∵∠A＝∠B≠∠C，
∴ AC=BC，即△ABC是 等腰三角形。
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理计算，再根据等腰三角形的判定求解。
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项A不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项B不符合题意；
C、由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形，逐项分析即可求解.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=36°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°-108°-36°=36°，
∴∠ABD=∠A，即△ABD是等腰三角形．
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和为180°求得∠ABD=36°，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可求解.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°-50°-35°=95°，
∴A选项中的图形不是等腰三角形，故选项A符合题意；
B、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°-90°-45°=45°，
∴B选项中的图形是等腰三角形，故选项B不符合题意；
C、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°-100°-40°=40°，
∴C选项中的图形是等腰三角形，故选项不符合题意；
D、由图形中有两边长为5知：选项D中的图形是等腰三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由三角形的内角和180°求出A、B、C选项中三角形中第三个角的度数，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，有两条边相等的三角形是等腰三角形即可逐项判断.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】如下图，△ABC为等腰三角形，点C的位置一共有6种可能，其中满足面积为1.5的，只有C5和C6.
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰；然后根据S△ABC=1.5，再确定点C的位置．
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∠A=60°（答案不唯一）.
故答案为：∠A=60°（答案不唯一）.
【分析】由题意，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形即可求解（答案不唯一）.
10．【答案】3cm
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF．
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，
∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，
∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，
∴DE=DI﹣EI=3（cm）．
故答案为3cm．
【分析】根据角平分线的定义，可得∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，根据平行线的性质，可得∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，利用等量代换可得∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，由等角对等边可得DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，利用DE=DI﹣EI即可求出结论.
11．【答案】，或
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意
当为等腰三角形的顶角时，
当为等腰三角形的顶角时
当为等腰三角形的顶角时，
综上，的度数可能是，或
故答案为：，或
【分析】题中说为等腰三角形但未说明哪个角是顶角或者哪个边是腰，故需要分别讨论三种情况，根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质可求的度数。
12．【答案】5cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作关于的对称点，连接交于点，连接，，
∴，OP=OE'，
∵，点在的角平分线上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
∴，
∴，
∵当的周长最小时，三点共线，
此时即为到的距离，
∴，
故答案为：5cm.
【分析】 如图，分别作P关于OA、OB的对称点E'、F'，连接E'F'交OP于点Q，连接EE'、FF'、PE'、PF'， 根据轴对称的性质得∠E'OA=∠AOP，OP=OE'，再结合角平分线的性质得∠E'OP=60°，则△E'OP是等边三角形，同理可得△OPF'是等边三角形，根据等边三角形的性质得PE'=PF'，根据等腰三角形的三线合一得OP⊥E'F'，当△PEF的周长最小时，E'、Q、F'三点共线，此时PQ即为P到EF的距离.
13．【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）证明：∵△ABE≌△DCE，
∴EB＝EC，
∴△EBC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定AAS证明即可.
（2）由得到，进而得到是等腰三角形，即可.
14．【答案】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ABC和△DCB全等，即可得到 AC=BD ；
（2）根据△ABC和△DCB全等可得∠PBC=∠PCB，即可得△PBC为等腰三角形.
15．【答案】（1）证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°+∠CDE，
∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
（2）解：△ADE是等边三角形．
理由：∵△ABD≌△DCE
∴AD＝ED，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据角的运算得到∠BAD＝∠CDE，进而根据三角形全等的判定证明△ABD≌△DCE（ASA）即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到AD＝ED，进而根据等边三角形的判定即可求解。
1 / 1【基础版】浙教版数学八上2.4 等腰三角形的判定定理同步练习
一、选择题
1．（2024八上·娄底期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】
解：分两种情况：
①当等腰三角形的腰长为3cm时，
∵等腰三角形的周长为12cm，
∴等腰三角形的底边长=12-3X2=6 (cm)，
∵3+3=6，不满足三角形三边关系
∴不能组成三角形；
②当等腰三角形的底边长为3cm时，
∵等腰三角形的周长为12cm，
∴等腰三角形的腰长=(12-3)÷ 2=4.5 (cm)，
∵4.5+4.5>3，满足三角形三边关系，
∴底边长为3cm。
综上所述：该等腰三角形的底边长为3cm，故答案为：A.
【分析】分类讨论，当等腰三角形腰长为3cm时，当等腰三角形的底边长为3cm时，然后分别计算，再根据三角形三边关系进行判断即可解答。
2．（2023八上·谷城期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形高线、中线和角平分线互相重合
B．全等三角形对应边相等
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线互相重合 ，A错误；
B：全等三角形对应边相等，B正确；
C：三个角都相等的三角形是等边三角形，C正确；
D：角平分线上的点到角两边的距离相等 ，D正确；
故答案为：A.
【分析】根据的等腰三角形、全等三角形的性质、等边三角形和角平分线的性质判断即可.
3．（2023八上·哈尔滨期中）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、④三边都相等的三角形是等边三角形，∴A选项错误；
B、③ 三个角都相等的三角形也是等边三角形，∴B选项错误；
C、②有一个角等于60°的等腰三角形，④三边都相等的三角形，都是等边三角形，∴C选项错误.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的判定方法进行判断即可.
4．（2023八上·南关期中）在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴，
解得：，
∵∠A＝∠B≠∠C，
∴ AC=BC，即△ABC是 等腰三角形。
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理计算，再根据等腰三角形的判定求解。
5．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，且
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项A不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项B不符合题意；
C、由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形，逐项分析即可求解.
6．如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=36°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°-108°-36°=36°，
∴∠ABD=∠A，即△ABD是等腰三角形．
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和为180°求得∠ABD=36°，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可求解.
7．下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°-50°-35°=95°，
∴A选项中的图形不是等腰三角形，故选项A符合题意；
B、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°-90°-45°=45°，
∴B选项中的图形是等腰三角形，故选项B不符合题意；
C、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°-100°-40°=40°，
∴C选项中的图形是等腰三角形，故选项不符合题意；
D、由图形中有两边长为5知：选项D中的图形是等腰三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由三角形的内角和180°求出A、B、C选项中三角形中第三个角的度数，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，有两条边相等的三角形是等腰三角形即可逐项判断.
8．（2016八上·滨湖期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】如下图，△ABC为等腰三角形，点C的位置一共有6种可能，其中满足面积为1.5的，只有C5和C6.
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰；然后根据S△ABC=1.5，再确定点C的位置．
二、填空题
9．（2023八上·萧山月考）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∠A=60°（答案不唯一）.
故答案为：∠A=60°（答案不唯一）.
【分析】由题意，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形即可求解（答案不唯一）.
10．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝ ．
【答案】3cm
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF．
∵DE∥BC，
∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，
∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，
∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，
∴DE=DI﹣EI=3（cm）．
故答案为3cm．
【分析】根据角平分线的定义，可得∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，根据平行线的性质，可得∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，利用等量代换可得∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，由等角对等边可得DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，利用DE=DI﹣EI即可求出结论.
11．（2024八上·赣州期末）如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是 ．
【答案】，或
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意
当为等腰三角形的顶角时，
当为等腰三角形的顶角时
当为等腰三角形的顶角时，
综上，的度数可能是，或
故答案为：，或
【分析】题中说为等腰三角形但未说明哪个角是顶角或者哪个边是腰，故需要分别讨论三种情况，根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质可求的度数。
12．（2022八上·长沙月考）如图，，点在的角平分线上，，点、是两边、上的动点，当的周长最小时，点到距离是 .
【答案】5cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作关于的对称点，连接交于点，连接，，
∴，OP=OE'，
∵，点在的角平分线上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
∴，
∴，
∵当的周长最小时，三点共线，
此时即为到的距离，
∴，
故答案为：5cm.
【分析】 如图，分别作P关于OA、OB的对称点E'、F'，连接E'F'交OP于点Q，连接EE'、FF'、PE'、PF'， 根据轴对称的性质得∠E'OA=∠AOP，OP=OE'，再结合角平分线的性质得∠E'OP=60°，则△E'OP是等边三角形，同理可得△OPF'是等边三角形，根据等边三角形的性质得PE'=PF'，根据等腰三角形的三线合一得OP⊥E'F'，当△PEF的周长最小时，E'、Q、F'三点共线，此时PQ即为P到EF的距离.
三、解答题
13．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求证：∠EBC＝∠ECB．
【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）证明：∵△ABE≌△DCE，
∴EB＝EC，
∴△EBC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定AAS证明即可.
（2）由得到，进而得到是等腰三角形，即可.
14．（2024八上·嘉兴期末）如图，．
（1）求证：．
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△ABC和△DCB全等，即可得到 AC=BD ；
（2）根据△ABC和△DCB全等可得∠PBC=∠PCB，即可得△PBC为等腰三角形.
15．（2024八上·三台期末）如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）判断△ADE是什么特殊三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°+∠CDE，
∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
（2）解：△ADE是等边三角形．
理由：∵△ABD≌△DCE
∴AD＝ED，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据角的运算得到∠BAD＝∠CDE，进而根据三角形全等的判定证明△ABD≌△DCE（ASA）即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到AD＝ED，进而根据等边三角形的判定即可求解。
1 / 1
