【提升版】浙教版数学八上2.4 等腰三角形的判定定理同步练习
一、选择题
1．（2024八下·榆阳期中）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可（如图1）．如图2．若衣架收拢时，衣架杆，，则此时A，B两点之间的距离是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·鄂州）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
3．（2022八下·郑州期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
4．（2024七下·宝安期末）如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·兴宁期中）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝4，∠C＝30°，则△ACD的面积为（ ）
A． B． C． D．13
6．（2024八下·金溪期中） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2024九下·石家庄开学考）如图，等边△ABC的边长为5，点D，P，L分别在边AB，BC，CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0），按如图方式作边长均为3的等边△DEF，△PQR，△LMN，点F，R．N分别在射线DA，PB，LC上．
结论Ⅰ：当边DE，PQ，LM与△ABC的三边围成的图形DGPHLI是正六边形时，x＝1；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，EF，QR，MN围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．1对Ⅱ不对
8．（2024八上·北海期末）如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024·湖南模拟）如图，在中，过边AC的中点作直线交BC于点D．若，则DC的长是 .
10．（2024·旌阳模拟） 已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 ．
11．（2024·重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 ．
12．（2024·容县模拟）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点，，则 ．
三、解答题
13．（2024七下·黔西期末）如图，在中，，是通过如图的作图痕迹作图而得，，交于点E.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
14．（2024·长沙模拟） 如图，在四边形中，，．
（1）求证：．
（2）若，，求四边形的周长．
15．（2020八上·五莲期末）在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
16．（2018八上·廉江期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
四、实践探究题
17．如图，在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在直线BC上，且DE=EC.试求AE与DB长度的大小关系.
（1）特殊情况，探索结论：
当E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB长度的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”“<”或“=”).
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB长度的大小关系：AE DB(填“>”“<”或“=”).
理由：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F……(请你补充完成解答过程).
（3）拓展结论，设计新题：
若△ABC的边长为10，AE=2，求CD的长
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AB，如图，
∵
∴为等边三角形，
∴
故答案为：C.
【分析】连接AB，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB为等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等即可求解.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图得，CA=CB，
∴
∵∠BCA＝150°，
∴
∵l1∥l2
∴
故答案为：B.
【分析】由作图得：CA=CB，则∠ABC=∠CAB，结合内角和定理可得∠ABC的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：C.
【分析】等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和中线，三线合一，依此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴
∴，故A正确；
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故D正确；
∵
∴
∴，故B正确；
由题意无法证明出．
∴不一定成立．
故选：C．
【分析】根据题意条件及全等的判定定理，由图分析易证，进而利用全等的性质及等腰的判定和性质进行边角分析逐一判断选项即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可得MN为线段AC的垂直平分线，
AD=CD，
∠DAC=∠C=30°，
∠ADB=60°，
AB＝BD，
△ABD是等边三角形，
BD=AD=CD，
故答案为：A.
【分析】根据作图得到MN为线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得到AD=CD，结合已知证明△ABD是等边三角形，进而得到，代入数据计算即可求解.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：可以画出7个等腰三角形；
故答案为：C．
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知，都是等边三角形，
AD＝BP＝CL＝x ，
当DG=AD=x时，六边形DGPHLI是正六边形，
等边△ABC的边长为5 ，
AB=5，
AD+DG+BG=5，
即3x=5，
，
结论Ⅰ 不正确；
当点D与点B重合时， 如图所示，
△DEF，△PQR，△LMN均是边长为3的等边三角形，
，四边形AQTF是平行四边形，
QT=AF=2，
同理可得RK=2，
KQ=RQ-RK=3-2=1，
TK=QT-KQ=2-1=1，
△WKT是边长为1的等边三角形，
EF，QR，MN围成的三角形的周长为3，结论Ⅱ正确，
综上，Ⅰ不对Ⅱ对.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出六边形DGPHLI是正六边形，DG=AD=BG=5，即可求出x的值为，即可判断Ⅰ；画出点D与点B重合时的图形，先根据AB的长和BF的长求出AF的长，进而求出QT的长，同理可求得RK的长，利用线段的和差求出KQ=1，进而求得TK=1，由此可判断Ⅱ.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，
，，
∵EG∥AC，
∴∠BEG=∠A=60°，∠BGE=∠C=60°，
是等边三角形，
又点是边的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：D
【分析】作EG∥AC交BC于点G，则，推出是等边三角形，由中点定义及等边三角形性质得，求得，结合，推出，可用AAS证明，由全等三角形的性质得，即可得解．
9．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴AD=AC=4，
∵，且点E是线段AC的中点，
∴DE 垂直平分AC，
∴DC=AD=4.
故答案为：4.
【分析】首先根据等角对等边求得AD=AC=4，再根据垂直平分线的性质得出DC=AD=4.
10．【答案】等腰三角形
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【分析】先根据题意因式分解得到，进而结合题意即可得到，即，再根据等腰三角形的判定即可求解。
11．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝36° ，
∴，
∵BD平分∠ABC ，
∴，
∴，
∴，
∵BC=2，
∴AD=DB=BC=2.
故答案为：2.
【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，利用角平分线概念求出及相关度数，根据三角形内角和和等腰三角形判定即可求出AD长度.
12．【答案】2
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明，可得，再证明 ，可得，然后根据计算即可．
13．【答案】（1）证明：由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图得出CD平分∠ACB，根据平行线的性质得出∠EDC=∠DCB，证明∠ECD=∠EDC，根据等腰三角形的判定求出结果即可；
（2）根据∠ECD=∠EDC可得∠ECD的度数，根据角平分线求出∠ACB的度数，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出∠A的度数．
14．【答案】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：∵，
，
∵，
，
，
∵，，
，
∵，
四边形的周长为20．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）利用SSS证明，由三角形全等的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质得到，进而得到，根据等角对等边得到，结合已知得得，从而求解.
15．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)
（2）解：∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AP=AQ，再证明∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形.
16．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
（2）解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及线段平行的性质即可求出∠F的度数。
（2）根据△EDC为等边三角形，即可得到答案。
17．【答案】（1）=
（2）解：题目中，AE与DB长度的大小关系：AE=DB
理由：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F ，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠FCE，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠DBE=∠EFC=120°，
∵AB=AC，
∴BE=CF，
∵DE=EC ，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠FEC，
∴△DBF≌△EFC（AAS）
∴BD=EF，
∴AE=BD.
（3）解：由（2）知：AE=BD=2，
∵等边 △ABC的边长为10 ，
∴BC=10，
∴CD=BD+BC=2+10=12.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1） 在等边三角形ABC中，点E在边AB上，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=∠ACB=30°，AE=BE，
∵DE=EC ，
∴∠D=∠BCE=30°，
∴∠DEB=∠ABC-∠D=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴BD=BE，
∴AE=BD.
故答案为：=.
【分析】（1）利用等边三角形的性质可得∠D=∠DEB=30°，可得BD=BE，利用等量代换即可求解；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F ，易得△AEF是等边三角形，可得AE=EF=AF，∠DBE=∠EFC=120°，再证△DBF≌△EFC（AAS），可得BD=EF，继而得解；
（3）由（2）知：AE=BD=2，BC=10，利用CD=BD+BC即可求解.
1 / 1【提升版】浙教版数学八上2.4 等腰三角形的判定定理同步练习
一、选择题
1．（2024八下·榆阳期中）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可（如图1）．如图2．若衣架收拢时，衣架杆，，则此时A，B两点之间的距离是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AB，如图，
∵
∴为等边三角形，
∴
故答案为：C.
【分析】连接AB，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOB为等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等即可求解.
2．（2022·鄂州）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图得，CA=CB，
∴
∵∠BCA＝150°，
∴
∵l1∥l2
∴
故答案为：B.
【分析】由作图得：CA=CB，则∠ABC=∠CAB，结合内角和定理可得∠ABC的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
3．（2022八下·郑州期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：C.
【分析】等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和中线，三线合一，依此解答即可.
4．（2024七下·宝安期末）如图，在中，D、E分别是，边上的点，连接、相交于点F，若，，下列等量关系不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴
∴，故A正确；
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故D正确；
∵
∴
∴，故B正确；
由题意无法证明出．
∴不一定成立．
故选：C．
【分析】根据题意条件及全等的判定定理，由图分析易证，进而利用全等的性质及等腰的判定和性质进行边角分析逐一判断选项即可.
5．（2024八下·兴宁期中）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝4，∠C＝30°，则△ACD的面积为（ ）
A． B． C． D．13
【答案】A
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可得MN为线段AC的垂直平分线，
AD=CD，
∠DAC=∠C=30°，
∠ADB=60°，
AB＝BD，
△ABD是等边三角形，
BD=AD=CD，
故答案为：A.
【分析】根据作图得到MN为线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得到AD=CD，结合已知证明△ABD是等边三角形，进而得到，代入数据计算即可求解.
6．（2024八下·金溪期中） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：可以画出7个等腰三角形；
故答案为：C．
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
7．（2024九下·石家庄开学考）如图，等边△ABC的边长为5，点D，P，L分别在边AB，BC，CA上，AD＝BP＝CL＝x（x＞0），按如图方式作边长均为3的等边△DEF，△PQR，△LMN，点F，R．N分别在射线DA，PB，LC上．
结论Ⅰ：当边DE，PQ，LM与△ABC的三边围成的图形DGPHLI是正六边形时，x＝1；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，EF，QR，MN围成的三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．1对Ⅱ不对
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知，都是等边三角形，
AD＝BP＝CL＝x ，
当DG=AD=x时，六边形DGPHLI是正六边形，
等边△ABC的边长为5 ，
AB=5，
AD+DG+BG=5，
即3x=5，
，
结论Ⅰ 不正确；
当点D与点B重合时， 如图所示，
△DEF，△PQR，△LMN均是边长为3的等边三角形，
，四边形AQTF是平行四边形，
QT=AF=2，
同理可得RK=2，
KQ=RQ-RK=3-2=1，
TK=QT-KQ=2-1=1，
△WKT是边长为1的等边三角形，
EF，QR，MN围成的三角形的周长为3，结论Ⅱ正确，
综上，Ⅰ不对Ⅱ对.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出六边形DGPHLI是正六边形，DG=AD=BG=5，即可求出x的值为，即可判断Ⅰ；画出点D与点B重合时的图形，先根据AB的长和BF的长求出AF的长，进而求出QT的长，同理可求得RK的长，利用线段的和差求出KQ=1，进而求得TK=1，由此可判断Ⅱ.
8．（2024八上·北海期末）如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，
，，
∵EG∥AC，
∴∠BEG=∠A=60°，∠BGE=∠C=60°，
是等边三角形，
又点是边的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：D
【分析】作EG∥AC交BC于点G，则，推出是等边三角形，由中点定义及等边三角形性质得，求得，结合，推出，可用AAS证明，由全等三角形的性质得，即可得解．
二、填空题
9．（2024·湖南模拟）如图，在中，过边AC的中点作直线交BC于点D．若，则DC的长是 .
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴AD=AC=4，
∵，且点E是线段AC的中点，
∴DE 垂直平分AC，
∴DC=AD=4.
故答案为：4.
【分析】首先根据等角对等边求得AD=AC=4，再根据垂直平分线的性质得出DC=AD=4.
10．（2024·旌阳模拟） 已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【分析】先根据题意因式分解得到，进而结合题意即可得到，即，再根据等腰三角形的判定即可求解。
11．（2024·重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 ．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝36° ，
∴，
∵BD平分∠ABC ，
∴，
∴，
∴，
∵BC=2，
∴AD=DB=BC=2.
故答案为：2.
【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，利用角平分线概念求出及相关度数，根据三角形内角和和等腰三角形判定即可求出AD长度.
12．（2024·容县模拟）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点，，则 ．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明，可得，再证明 ，可得，然后根据计算即可．
三、解答题
13．（2024七下·黔西期末）如图，在中，，是通过如图的作图痕迹作图而得，，交于点E.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图得出CD平分∠ACB，根据平行线的性质得出∠EDC=∠DCB，证明∠ECD=∠EDC，根据等腰三角形的判定求出结果即可；
（2）根据∠ECD=∠EDC可得∠ECD的度数，根据角平分线求出∠ACB的度数，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出∠A的度数．
14．（2024·长沙模拟） 如图，在四边形中，，．
（1）求证：．
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：∵，
，
∵，
，
，
∵，，
，
∵，
四边形的周长为20．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）利用SSS证明，由三角形全等的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质得到，进而得到，根据等角对等边得到，结合已知得得，从而求解.
15．（2020八上·五莲期末）在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)
（2）解：∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AP=AQ，再证明∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形.
16．（2018八上·廉江期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
（2）解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及线段平行的性质即可求出∠F的度数。
（2）根据△EDC为等边三角形，即可得到答案。
四、实践探究题
17．如图，在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在直线BC上，且DE=EC.试求AE与DB长度的大小关系.
（1）特殊情况，探索结论：
当E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB长度的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”“<”或“=”).
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB长度的大小关系：AE DB(填“>”“<”或“=”).
理由：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F……(请你补充完成解答过程).
（3）拓展结论，设计新题：
若△ABC的边长为10，AE=2，求CD的长
【答案】（1）=
（2）解：题目中，AE与DB长度的大小关系：AE=DB
理由：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F ，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠FCE，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠DBE=∠EFC=120°，
∵AB=AC，
∴BE=CF，
∵DE=EC ，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠FEC，
∴△DBF≌△EFC（AAS）
∴BD=EF，
∴AE=BD.
（3）解：由（2）知：AE=BD=2，
∵等边 △ABC的边长为10 ，
∴BC=10，
∴CD=BD+BC=2+10=12.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1） 在等边三角形ABC中，点E在边AB上，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=∠ACB=30°，AE=BE，
∵DE=EC ，
∴∠D=∠BCE=30°，
∴∠DEB=∠ABC-∠D=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴BD=BE，
∴AE=BD.
故答案为：=.
【分析】（1）利用等边三角形的性质可得∠D=∠DEB=30°，可得BD=BE，利用等量代换即可求解；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F ，易得△AEF是等边三角形，可得AE=EF=AF，∠DBE=∠EFC=120°，再证△DBF≌△EFC（AAS），可得BD=EF，继而得解；
（3）由（2）知：AE=BD=2，BC=10，利用CD=BD+BC即可求解.
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