【培优版】浙教版数学八上2.4 等腰三角形的判定定理同步练习

【培优版】浙教版数学八上2.4 等腰三角形的判定定理同步练习
一、选择题
1．（2024八下·安顺期末）在 中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是(　　)
A． B． C． D．
2．（2024·恩施模拟） 如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．（2023九上·杭州期中）有一道题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）
A．淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130°
B．淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20°
D．两人都不对，∠ABD应有3个不同值
4．（2024八上·高邑期末）如图：点在上，、均是等边三角形，、分别与、交于点，，则下列结论，，为等边三角形，正确的有个．（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
6．（2023八上·嘉祥月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（　　）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
7．（2024八上·长沙期末）如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于.其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022八上·定海期末）如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2024八下·榕江月考）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可.如图①所示，衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图②所示，则此时A，B两点之间的距离是　 　cm.
10．（2023八上·江夏期中）如图，中，，平分交于点D，过点A作交的延长线于点E．若，的周长为，的面积为，则　 　．
11．（2023八上·南宁期末）如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是　 　.
12．（2023八上·长沙月考）如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：　 　．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD-CE．
三、作图题
13．（2024九下·荆州月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中画出一个，使，D为格点（点D不在点C处）：
（2）在图②中的边BC上找一点E，连接AE，使；
（3）在图③中的边BC上找一点F，使点F到AB和AC所在直线的距离相等．
四、解答题
14．（2024八上·海曙期末）
（1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证：
（2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：．
15．（2024七下·罗湖期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．
（1）【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理
①∵，平分，
∴ ， ；
②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．
（2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．
已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：．
方法一：如图2，延长到点E，使， 连接．
方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F．
（3）【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值．
五、实践探究题
16．（2024八下·永修期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解.
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：
①；
②.
（2）已知的三边a，b，c满足，试判断的形状.
17．（2024八下·青山湖期中）已知在中，，过点引一条射线，是上一点．
（1）【问题解决】
如图1，若，射线在内郃，，求证：，小明的做法是：在上取一点，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程：
（2）【类比探究】
如图2，已知，当射线在内，求的度数．
（3）【变式迁移】
如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由．
六、综合题
18．（2022八上·海曙期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念
如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”
（2）概念应用
如图2，在中，为角平分线，，.
求证：为的等角分割线.
（3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数.
19．（2023七下·成都期末）在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于直线的对称点为E，连接．
（1）如图1，点D在线段上，，求的度数；
（2）射线与射线的交于点F，过点D作交射线于点G，连接交于点H．
①如图2，点D在线段上，求证：；
②点D在线段延长线上，用等式表示线段和之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①由作图可知，，∴是等腰三角形，故符合题意；
②由作图可知，AE=ED，得不出等腰三角形，故不符合题意；
③由尺规作图可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故符合题意；
④由作图可知，，得不出是等腰三角形，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】利用尺规作图痕迹及等腰三角形的判断方法可直接判断①②④；结合平行四边形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判断方法可判断②．
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，∵是等边三角形，
∴，，
∵为的平分线，
∴，，
作点N关于的对称点，连接交于P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
即的最小值为，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：C．
【分析】作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值为，然后证明是等边三角形，求出即可．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知点D可能在上方，或下方，故如图所示：
连接，，，，，，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
同理：也是等边三角形，
∴，，
∴，.
故答案为：A.
【分析】由题可知点D可能在上方，或下方，故分两种情况讨论，利用等边对等角以及三角形内角和定理可求出，也就证明了和是等边三角形，从而即可求出和．
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵、均是等边三角形
∴CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°
∴∠DCE=60°，∠ACE=∠BCD=120°
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB，则①正确
在△ACM和△DCN中
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴CM=CN，∠MCN=60°，则②正确
∴△CMN为等边三角形，则③正确
∴∠CMN=60°
∴∠CMN=∠MCA
∴MN∥BC，则④正确
故答案为：D
【分析】根据等边三角形性质可得CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△DCB（SAS），△ACM≌△DCN（ASA），再根据其性质可判断①，②正确，再根据等边三角形判定定理可得③正确，再根据等边三角形性质可判断④正确.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE≌△ACD中，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，
故结论①正确；
由△BCE≌△ACD得
∠CBE=∠CAD，
又∵∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCQ=∠ACP=60°，
在△BCQ和△ACP中，
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴CQ=CP，
又∵∠PCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形，
∴∠DCE=∠PQC=60°，
∴AE∥PQ，
故结论②正确；
在△BCQ和△ACP中，
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴BQ=AP，
∴结论③正确；
∵∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，
∴∠CPD>60°，
∴DC≠DP，
又∵DE=DC，
∴DP≠DE，
故结论④不正确；
∵∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，
故结论⑤正确.
综上所述，正确的结论有：①②③⑤.
故答案为：C.
【分析】①根据SAS判断出△BCE≌△ACD，即可判断出AD=BE.
②首先根据AAS得到△BCQ≌△ACP，即可判断出CP=CQ，然后根据∠PCQ=60°，可得△PCQ 为等边三角形，所以∠DCE=∠PQC60°，根据平行线的判定方法得PQ∥AE，即可得②正确.
③根据AAS得△BCQ≌△ACP，从而可得AP=BQ .
④首先根据∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，可得∠DPC> 60°，从而得出DP≠DC，再根据DE=DC，即可判断出DP≠DE.
⑤∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，可得⑤正确.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1所示，连接，作于，于，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，②正确；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确；
如图2所示，当时，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误；
故答案为：C
【分析】连接，作于，于，先根据角平分线的性质得到，进而进行角的运算得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而个等边三角形的判定即可判断①；根据三角形全等的性质得到，进而结合定点即可判断②；从而结合题意得到的周长为，再根据垂线段最短即可判断③；根据平行线的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质结合题意即可判断④。
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：
∵∠PAE=60°，
∴△PAE是等边三角形，
∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，
∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，
∴△BPE≌△OPA（SAS），
∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，
∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，
∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，
如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得BD=CD，∠ACB=∠ABC=30°，利用等边对等角可得到∠OBD=∠OCD，结合已知可得到OC=OP，利用等边对等角可证得∠APO=∠OCP，根据∠ACB=∠OCP-∠OCB，可对①作出判断；由OP=OB，可证得∠OPB=∠PBO，再证明∠PBO=∠PBA+∠APO，利用三角形的内角和定理可证得∠OPB=60°，利用有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△BPO是等边三角形，可对②作出判断；在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，易证△PAE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到AP=PE=AE，∠APE=60°；再证明∠BPE=∠OPA，利用SAS证明△BPE≌△OPA，利用全等三角形的性质可得到BE=AO，根据AB-BE=AE，可推出AB-AP=AO，可对③作出判断；延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，易证△ABF是等边三角形，可得到∠ABF=60°，再证明∠PBA=∠OBF，利用SAS证明△APB≌△FOB，可证得四边形AOBP的面积等于△ABF的面积，要证四边形AOBP的面积等于△BOC面积的2倍，需证明AD=2OD，不能证明此结论，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】18
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm，
故答案为：18.
【分析】先证出△AOB是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得AB=OA=OB=18cm，从而得解.
10．【答案】4
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AB上截取BF=BC，连接DF，如图：
∵平分交AC于点D，
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴cm，
∴BC+CD=18cm，
∵的周长为，
∴cm，
∵的面积为，
∴
∴.
故答案为：4.
【分析】在AB上截取BF=BC，连接DF，利用"SAS"证明得到结合已知条件得到进而得到根据"的周长为"，即可求出BD的长度，最后根据"的面积为"，即可求出AE的长度.
11．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于的对称点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，
为，
的最小值为到的距离，
故答案为：6.
【分析】作A关于的对称点，连接，，易证△AA'B为等边三角形，可得的最小值为到的距离，即为BC的长.
12．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵FB＝BC，BD⊥AC，
∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠FBC＝∠ABE，
∴∠FBA＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴△FAB≌△CBE（SAS），
∴∠F＝∠BCE，
∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠DCE＝180°，
故②正确；
∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，
∴△BDC≌△BGC（AAS），
∴AD＝GE，CD＝CG，
∵AC＝AD+DC，
∴AC＝AD+CG
＝AD+GE+CE
＝2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC＝CF-AF，
∴AC＝2CD-CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，可构造等腰三角形，延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF=BC，进一步得到∠FBC=2∠DBC，然后再证明△FAB△CEB；进一步可判断BC平分∠DCE，再由角平分线的性质联想到过点B作BGCE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD△EBG，即可得出结论.
13．【答案】（1）解：△ABD就是所求的三角形；
（2）解：如图，点E就是所求的点；
（3）解：如图，点F就是所求的点；
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据“同底等高面积相等”画出图形即可；
（2）通过构造全等三角形进行作图即可；
（3）利用勾股定理构造等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质作图即可．
14．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠BCA.
∴在△AEC和△CDB中
∴△AEC≌△CDB（SAS）
∴BD=CE.
（2）证明：如图：
由（1）△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD.
∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，
即∠ABD=∠ECB.
∵BC=CF，
∴∠BCF=∠BFC，
又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，
∴∠ECH=∠H，
∴EH=EC.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和AE=CD即可证明△AEC≌△CDB，于是可得到BD=CE；
（2）利用△AEC≌△CDB和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ECB.由BF=BC，可得∠BFC=∠BCF，两等式相减，可得∠ECH=∠H，利用等角对等边即可得到EH=EC.
15．【答案】（1），；；
（2）解：（2）证明：方法一：如图2， 延长到点E，使， 连接，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
方法二：
如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长交的延长线为点，如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积分别为，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
当以为底边，为高时，有最大值，即有最大值，
∴的最大值为：，
∴的最大值为．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图：
∵，平分，
∴，，
故答案为：，；
设，，，
∵的周长为32，
∴，
∴，
∵的周长为23，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据等腰的性质补充推理过程即可；
同理结合等腰的性质及已知三角形的周长推理分析，为便于理解，可通过设元更为直观表示其内在关系解得目标AD的长；
（2）方法一：通过辅助线构造完成全等证明，后利用全等的性质及等腰三角形的判定进一步得证；
方法二：同理通过辅助线构造完全二次全等证明，后利用全等的性质即可得证等腰.
（3）根据角平分线及高线构造补全等腰，即延长交的延长线为点，后根据条件将目标面积进行转换，即，结合等腰的性质进一步将目标面积转化向条件靠拢，即，利用垂线段最短分析即可计算出此时最值.
16．【答案】（1）解：①
；
②
；
（2）解：等腰三角形，理由如下：
，
，
，，是的三边，
，
，
，
，
的形状是等腰三角形．
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）①将原式按“两两”分组为，然后提公因式即可得到答案；
②将原式按“三一”分组为，再进行因式分解即可；
（2）将原式按“两两”分组，因式分解得到，则，即a=b，据此可判断的形状是等腰三角形.
17．【答案】（1）解：如图1，在上取一点，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在上取一点，，如图所示：
∵，
∴，
∵，AE=AD，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）解：的度数不会变化，理由如下：
在延长线上取一点，使得，
同理（1）的方法可证：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）在上取一点，使，根据等边三角形的判定与性质可得∠BAC=∠EAD，推出∠BAE=∠CAD，依据SAS判定△BAE≌△CAD，即可求得；
（2）在上取一点，，根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，∠AED=∠ADE，推出∠BAE=∠CAD，依据SAS判定△BAE≌△CAD，即可求得；
（3）在延长线上取一点，使得，同理可得△BAE≌△CAD推出∠ADC=∠E，即可求得.
18．【答案】（1）解： 与 ， 与 ， 与 是“等角三角形”；
（2）证明： 在 中， ，
为角平分线，
，
， ，
，
在 中， ， ，
，
，
， ， ，
，
为 的等角分割线；
（3）解： 的度数为 或 或 或 .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，
∴△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD都是等角三角形；
（3）当 是等腰三角形， 时， ，
，
当 是等腰三角形， 时， ，
，
，
当 是等腰三角形， AC=CD 时，∠A=∠ADC=42°，
∠ACD=180°-42°-42°=96°，
∴∠ACB=96°+42°=138°，而∠A+∠ACB=138°+42°=180°，所以CB与AB不可能相交，此种情况不存在；
当 是等腰三角形， 时， ，
，
当 是等腰三角形， 时， ，
设 ，
则 ，
则 ，
由题意得， ，
解得， ，
，
，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB时，∠B=∠CDB，∠ACD=∠B，而∠CDB＞∠ACD，故此种情况不存在.
的度数为 或 或 或 .
【分析】（1）推出∠A＝∠BCD，∠ACB＝∠B，∠ADC＝∠BDC，从而得出结论；
（2）根据三角形的内角和定理得∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得∠ACD=∠DCB=40°，则∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠A＝60°，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB＝80°，从而得出结论；
（3）分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，当△ACD是等腰三角形时，再分为：AC＝AD，AD＝CD，AC＝CD三种情形讨论，同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨论．
19．【答案】（1）解：点B关于直线AD的对称点为E，
，，
是等边三角形，
，．
∴
∵
，．
．
．
（2）解：
①是等边三角形，
，．
∵，
，．
．
是等边三角形．
．
．
点B关于直线AD的对称点为E，
，设．
是等边三角形，
，．
，．
．
．
．
在中，．
，，．
点B关于直线AD的对称点为E，
，．
．
，
．
．
．
．
在和中，
．
②，理由如下：
由①可得．
．
在中，，．
，
．
∴是等边三角形．
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据对称性可得∠DAE=∠DAB=15°，可得出∠BAE=30°，根据等边三角形的性质可知∠CAE=30°，又知道AE=AB=AC，在等腰△ACE中，已知顶角∠CAE=30°，可求得底角∠ACE=75°，然后75°减去等边三角形内角60°，即可求得∠BCE；
（2）①首先证明AG=CD，设∠BAD=α，再证明∠AGH=∠CDF=120°-α，又由（1）知：∠BAD=∠FCD，根据ASA可判定△AGH≌△CDF；
②CE=AH+FH；由①可知△AGH≌△CDF，得出AH=CF，又CE=CF+EF，所以只需证明EF=FH即可，根据已知条件，可证△EFH是等边三角形，即可得出EF=FH，从而得出结论CE=AH+FH。
1 / 1【培优版】浙教版数学八上2.4 等腰三角形的判定定理同步练习
一、选择题
1．（2024八下·安顺期末）在 中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①由作图可知，，∴是等腰三角形，故符合题意；
②由作图可知，AE=ED，得不出等腰三角形，故不符合题意；
③由尺规作图可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故符合题意；
④由作图可知，，得不出是等腰三角形，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】利用尺规作图痕迹及等腰三角形的判断方法可直接判断①②④；结合平行四边形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判断方法可判断②．
2．（2024·恩施模拟） 如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，∵是等边三角形，
∴，，
∵为的平分线，
∴，，
作点N关于的对称点，连接交于P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
即的最小值为，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故答案为：C．
【分析】作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值为，然后证明是等边三角形，求出即可．
3．（2023九上·杭州期中）有一道题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）
A．淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130°
B．淇淇说的不对，∠ABD就得10°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20°
D．两人都不对，∠ABD应有3个不同值
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知点D可能在上方，或下方，故如图所示：
连接，，，，，，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
同理：也是等边三角形，
∴，，
∴，.
故答案为：A.
【分析】由题可知点D可能在上方，或下方，故分两种情况讨论，利用等边对等角以及三角形内角和定理可求出，也就证明了和是等边三角形，从而即可求出和．
4．（2024八上·高邑期末）如图：点在上，、均是等边三角形，、分别与、交于点，，则下列结论，，为等边三角形，正确的有个．（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵、均是等边三角形
∴CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°
∴∠DCE=60°，∠ACE=∠BCD=120°
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB，则①正确
在△ACM和△DCN中
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴CM=CN，∠MCN=60°，则②正确
∴△CMN为等边三角形，则③正确
∴∠CMN=60°
∴∠CMN=∠MCA
∴MN∥BC，则④正确
故答案为：D
【分析】根据等边三角形性质可得CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△DCB（SAS），△ACM≌△DCN（ASA），再根据其性质可判断①，②正确，再根据等边三角形判定定理可得③正确，再根据等边三角形性质可判断④正确.
5．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
6．（2023八上·嘉祥月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（　　）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE≌△ACD中，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，
故结论①正确；
由△BCE≌△ACD得
∠CBE=∠CAD，
又∵∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCQ=∠ACP=60°，
在△BCQ和△ACP中，
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴CQ=CP，
又∵∠PCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形，
∴∠DCE=∠PQC=60°，
∴AE∥PQ，
故结论②正确；
在△BCQ和△ACP中，
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴BQ=AP，
∴结论③正确；
∵∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，
∴∠CPD>60°，
∴DC≠DP，
又∵DE=DC，
∴DP≠DE，
故结论④不正确；
∵∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，
故结论⑤正确.
综上所述，正确的结论有：①②③⑤.
故答案为：C.
【分析】①根据SAS判断出△BCE≌△ACD，即可判断出AD=BE.
②首先根据AAS得到△BCQ≌△ACP，即可判断出CP=CQ，然后根据∠PCQ=60°，可得△PCQ 为等边三角形，所以∠DCE=∠PQC60°，根据平行线的判定方法得PQ∥AE，即可得②正确.
③根据AAS得△BCQ≌△ACP，从而可得AP=BQ .
④首先根据∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，可得∠DPC> 60°，从而得出DP≠DC，再根据DE=DC，即可判断出DP≠DE.
⑤∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，可得⑤正确.
7．（2024八上·长沙期末）如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于.其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1所示，连接，作于，于，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，②正确；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确；
如图2所示，当时，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误；
故答案为：C
【分析】连接，作于，于，先根据角平分线的性质得到，进而进行角的运算得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而个等边三角形的判定即可判断①；根据三角形全等的性质得到，进而结合定点即可判断②；从而结合题意得到的周长为，再根据垂线段最短即可判断③；根据平行线的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质结合题意即可判断④。
8．（2022八上·定海期末）如图，在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：
∵∠PAE=60°，
∴△PAE是等边三角形，
∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，
∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，
∴△BPE≌△OPA（SAS），
∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，
∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，
∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，
如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可证得BD=CD，∠ACB=∠ABC=30°，利用等边对等角可得到∠OBD=∠OCD，结合已知可得到OC=OP，利用等边对等角可证得∠APO=∠OCP，根据∠ACB=∠OCP-∠OCB，可对①作出判断；由OP=OB，可证得∠OPB=∠PBO，再证明∠PBO=∠PBA+∠APO，利用三角形的内角和定理可证得∠OPB=60°，利用有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△BPO是等边三角形，可对②作出判断；在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，易证△PAE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到AP=PE=AE，∠APE=60°；再证明∠BPE=∠OPA，利用SAS证明△BPE≌△OPA，利用全等三角形的性质可得到BE=AO，根据AB-BE=AE，可推出AB-AP=AO，可对③作出判断；延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，易证△ABF是等边三角形，可得到∠ABF=60°，再证明∠PBA=∠OBF，利用SAS证明△APB≌△FOB，可证得四边形AOBP的面积等于△ABF的面积，要证四边形AOBP的面积等于△BOC面积的2倍，需证明AD=2OD，不能证明此结论，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
9．（2024八下·榕江月考）由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可.如图①所示，衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图②所示，则此时A，B两点之间的距离是　 　cm.
【答案】18
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm，
故答案为：18.
【分析】先证出△AOB是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得AB=OA=OB=18cm，从而得解.
10．（2023八上·江夏期中）如图，中，，平分交于点D，过点A作交的延长线于点E．若，的周长为，的面积为，则　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在AB上截取BF=BC，连接DF，如图：
∵平分交AC于点D，
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴cm，
∴BC+CD=18cm，
∵的周长为，
∴cm，
∵的面积为，
∴
∴.
故答案为：4.
【分析】在AB上截取BF=BC，连接DF，利用"SAS"证明得到结合已知条件得到进而得到根据"的周长为"，即可求出BD的长度，最后根据"的面积为"，即可求出AE的长度.
11．（2023八上·南宁期末）如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是　 　.
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于的对称点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，
为，
的最小值为到的距离，
故答案为：6.
【分析】作A关于的对称点，连接，，易证△AA'B为等边三角形，可得的最小值为到的距离，即为BC的长.
12．（2023八上·长沙月考）如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：　 　．（填序号）
①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD-CE．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵FB＝BC，BD⊥AC，
∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝∠FBC，
∵∠DBC＝∠ABE，
∴∠FBC＝∠ABE，
∴∠FBA＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴△FAB≌△CBE（SAS），
∴∠F＝∠BCE，
∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCE，
∴BC平分∠DCE，
故①正确；
∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠ABE+∠DCE＝180°，
故②正确；
∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，
∴△BDC≌△BGC（AAS），
∴AD＝GE，CD＝CG，
∵AC＝AD+DC，
∴AC＝AD+CG
＝AD+GE+CE
＝2GE+CE，
∵GE≠BE，
∴AC≠2BE+CE，
故③错误；
∵AC＝CF-AF，
∴AC＝2CD-CE，
故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据已知∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，可构造等腰三角形，延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF=BC，进一步得到∠FBC=2∠DBC，然后再证明△FAB△CEB；进一步可判断BC平分∠DCE，再由角平分线的性质联想到过点B作BGCE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD△EBG，即可得出结论.
三、作图题
13．（2024九下·荆州月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中画出一个，使，D为格点（点D不在点C处）：
（2）在图②中的边BC上找一点E，连接AE，使；
（3）在图③中的边BC上找一点F，使点F到AB和AC所在直线的距离相等．
【答案】（1）解：△ABD就是所求的三角形；
（2）解：如图，点E就是所求的点；
（3）解：如图，点F就是所求的点；
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据“同底等高面积相等”画出图形即可；
（2）通过构造全等三角形进行作图即可；
（3）利用勾股定理构造等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质作图即可．
四、解答题
14．（2024八上·海曙期末）
（1）如图1，点、分别是等边边、上的点，连接、，若，求证：
（2）如图2，在（1）问的条件下，点在的延长线上，连接交延长线于点，．若，求证：．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠BCA.
∴在△AEC和△CDB中
∴△AEC≌△CDB（SAS）
∴BD=CE.
（2）证明：如图：
由（1）△AEC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD.
∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，
即∠ABD=∠ECB.
∵BC=CF，
∴∠BCF=∠BFC，
又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，
∴∠ECH=∠H，
∴EH=EC.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和AE=CD即可证明△AEC≌△CDB，于是可得到BD=CE；
（2）利用△AEC≌△CDB和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ECB.由BF=BC，可得∠BFC=∠BCF，两等式相减，可得∠ECH=∠H，利用等角对等边即可得到EH=EC.
15．（2024七下·罗湖期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．
（1）【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理
①∵，平分，
∴ ， ；
②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．
（2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．
已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：．
方法一：如图2，延长到点E，使， 连接．
方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F．
（3）【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值．
【答案】（1），；；
（2）解：（2）证明：方法一：如图2， 延长到点E，使， 连接，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
方法二：
如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长交的延长线为点，如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积分别为，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
当以为底边，为高时，有最大值，即有最大值，
∴的最大值为：，
∴的最大值为．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图：
∵，平分，
∴，，
故答案为：，；
设，，，
∵的周长为32，
∴，
∴，
∵的周长为23，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据等腰的性质补充推理过程即可；
同理结合等腰的性质及已知三角形的周长推理分析，为便于理解，可通过设元更为直观表示其内在关系解得目标AD的长；
（2）方法一：通过辅助线构造完成全等证明，后利用全等的性质及等腰三角形的判定进一步得证；
方法二：同理通过辅助线构造完全二次全等证明，后利用全等的性质即可得证等腰.
（3）根据角平分线及高线构造补全等腰，即延长交的延长线为点，后根据条件将目标面积进行转换，即，结合等腰的性质进一步将目标面积转化向条件靠拢，即，利用垂线段最短分析即可计算出此时最值.
五、实践探究题
16．（2024八下·永修期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解.
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：
①；
②.
（2）已知的三边a，b，c满足，试判断的形状.
【答案】（1）解：①
；
②
；
（2）解：等腰三角形，理由如下：
，
，
，，是的三边，
，
，
，
，
的形状是等腰三角形．
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）①将原式按“两两”分组为，然后提公因式即可得到答案；
②将原式按“三一”分组为，再进行因式分解即可；
（2）将原式按“两两”分组，因式分解得到，则，即a=b，据此可判断的形状是等腰三角形.
17．（2024八下·青山湖期中）已知在中，，过点引一条射线，是上一点．
（1）【问题解决】
如图1，若，射线在内郃，，求证：，小明的做法是：在上取一点，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程：
（2）【类比探究】
如图2，已知，当射线在内，求的度数．
（3）【变式迁移】
如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，在上取一点，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在上取一点，，如图所示：
∵，
∴，
∵，AE=AD，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）解：的度数不会变化，理由如下：
在延长线上取一点，使得，
同理（1）的方法可证：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）在上取一点，使，根据等边三角形的判定与性质可得∠BAC=∠EAD，推出∠BAE=∠CAD，依据SAS判定△BAE≌△CAD，即可求得；
（2）在上取一点，，根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，∠AED=∠ADE，推出∠BAE=∠CAD，依据SAS判定△BAE≌△CAD，即可求得；
（3）在延长线上取一点，使得，同理可得△BAE≌△CAD推出∠ADC=∠E，即可求得.
六、综合题
18．（2022八上·海曙期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念
如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”
（2）概念应用
如图2，在中，为角平分线，，.
求证：为的等角分割线.
（3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数.
【答案】（1）解： 与 ， 与 ， 与 是“等角三角形”；
（2）证明： 在 中， ，
为角平分线，
，
， ，
，
在 中， ， ，
，
，
， ， ，
，
为 的等角分割线；
（3）解： 的度数为 或 或 或 .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，
∴△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD都是等角三角形；
（3）当 是等腰三角形， 时， ，
，
当 是等腰三角形， 时， ，
，
，
当 是等腰三角形， AC=CD 时，∠A=∠ADC=42°，
∠ACD=180°-42°-42°=96°，
∴∠ACB=96°+42°=138°，而∠A+∠ACB=138°+42°=180°，所以CB与AB不可能相交，此种情况不存在；
当 是等腰三角形， 时， ，
，
当 是等腰三角形， 时， ，
设 ，
则 ，
则 ，
由题意得， ，
解得， ，
，
，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB时，∠B=∠CDB，∠ACD=∠B，而∠CDB＞∠ACD，故此种情况不存在.
的度数为 或 或 或 .
【分析】（1）推出∠A＝∠BCD，∠ACB＝∠B，∠ADC＝∠BDC，从而得出结论；
（2）根据三角形的内角和定理得∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得∠ACD=∠DCB=40°，则∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠A＝60°，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB＝80°，从而得出结论；
（3）分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，当△ACD是等腰三角形时，再分为：AC＝AD，AD＝CD，AC＝CD三种情形讨论，同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨论．
19．（2023七下·成都期末）在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于直线的对称点为E，连接．
（1）如图1，点D在线段上，，求的度数；
（2）射线与射线的交于点F，过点D作交射线于点G，连接交于点H．
①如图2，点D在线段上，求证：；
②点D在线段延长线上，用等式表示线段和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：点B关于直线AD的对称点为E，
，，
是等边三角形，
，．
∴
∵
，．
．
．
（2）解：
①是等边三角形，
，．
∵，
，．
．
是等边三角形．
．
．
点B关于直线AD的对称点为E，
，设．
是等边三角形，
，．
，．
．
．
．
在中，．
，，．
点B关于直线AD的对称点为E，
，．
．
，
．
．
．
．
在和中，
．
②，理由如下：
由①可得．
．
在中，，．
，
．
∴是等边三角形．
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据对称性可得∠DAE=∠DAB=15°，可得出∠BAE=30°，根据等边三角形的性质可知∠CAE=30°，又知道AE=AB=AC，在等腰△ACE中，已知顶角∠CAE=30°，可求得底角∠ACE=75°，然后75°减去等边三角形内角60°，即可求得∠BCE；
（2）①首先证明AG=CD，设∠BAD=α，再证明∠AGH=∠CDF=120°-α，又由（1）知：∠BAD=∠FCD，根据ASA可判定△AGH≌△CDF；
②CE=AH+FH；由①可知△AGH≌△CDF，得出AH=CF，又CE=CF+EF，所以只需证明EF=FH即可，根据已知条件，可证△EFH是等边三角形，即可得出EF=FH，从而得出结论CE=AH+FH。
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