【基础版】浙教版数学八上2.6 直角三角形同步练习
一、选择题
1．（2024八下·惠州期末）已知直角三角形中角所对的直角边长是厘米，则斜边的长是( )
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵直角三角形中角所对的直角边长是厘米，
∴斜边长4厘米，
故答案为：B
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边为斜边的一半）即可求解。
2．（2024·杭州模拟）如图，于，若，则等于（ ）
A．36° B．46° C．54° D．126°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AD||BC
∴ ∠B=∠1=54°
∵ CA⊥BE
∴ ∠BAC=90°
∴ ∠C=90°-∠B=90°-54°=36°
故答案为：A.
【分析】由平行的性质可得∠B的度数，由直角三角形两锐角互余得∠C的度数.
3．（2022八下·灌阳期中）直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 直角三角形的斜边长为10，
斜边上的中线长为 .
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半进行计算即可.
4．（2024七下·威县期中）如图，AB⊥BC，AB＝6，D是射线BC上的动点，则线段AD的长度不可能是（ ）
A．5.5 B．6 C．8 D．15
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：不论D在BC上的位置如何，A、B、D始终构成以AD为斜边的直角三角形，因此AD永远比AB大，只有A选项的长度不可能.
故答案为：A.
【分析】在同一个直角三角形中，斜边永远比任何一条直角边长.
5．（2024八下·澧县期中） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系（ ）
A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 △ABC中，∠ACB=90°，∠A=30° ， CD是高
∴AB=2BC，∠B=60°，∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD，
∴AB=4BD，即 BD=AB .
故答案为：C.
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC，BC=2BD，从而得出AB=4BD，据此判断即可.
6．（2022八下·阜平期中）如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，
∴∠DCA=∠A=20°，
∴∠BCD=90°-∠DCA=70°，
故答案为：D．
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用等边对等角的性质可得∠DCA=∠A=20°，再利用角的运算求出∠BCD的度数即可。
7．（2024八下·桂林期中） 如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴CE=AB=×6=3.
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CE的长.
8．（2024·长沙模拟） 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴∠C=∠1=50°
∵∠2+∠C=90°
∴∠ 2=90°-∠2=90°-50°=40°
答案：B.
【分析】结合平行线的性质和直角三角形的性质可得.
二、填空题
9．（2022八上·乐清期中）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝3，则AB＝ ．
【答案】6
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝3，
∴AB＝2CD＝6.
故答案为：6．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB＝2CD，即可解答.
10．（2024·广州开学考） 一个直角三角形的两个锐角的度数比是 . 这两个锐角分别是 度和 度。
【答案】54；36
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
解：由题意可知：
90°÷(3+2)=18°
18°×3=54°，18°×2=36°
因此两个锐角为36°，54°
故答案为36°，54°.
【分析】根据直角三角形两锐角互余，得出两个锐角和为90度，又因为两锐角共有5份，计算出每份的度数，分别乘以3和2即可.
11．（2024八下·吉林月考）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点为边的中点，点，对应的刻度为1，7，则 ．
【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：由题意知：AB=7-1=6
∵D为AB的中点，∠ACB=90°
∴CD=AB=3cm
故答案为：3
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，熟知直角三角形斜边的中线的性质是解题关键，本题根据直尺上的数据可求得AB=6cm，由直线三角形斜边的中线等于斜边的一半，D为AB的中点可知：CD=AB=3cm，即可得出答案.
12．（2024七下·吉州月考）如图，在中，，．若，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥AB，∠BCE=30° ，
∴∠B=∠BCE=30°，
∵Rt△ACB中， ∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
故答案为60°．
【分析】根据平行线的性质求出∠B=30°，再根据直角三角形的性质求出∠A 即可.
三、解答题
13．（2024八下·金沙期末）如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
∴∠FEC=∠BED=90°，
，，
，
∵，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
∴∠BDE=30°，
∵，
，
，∠B=60°，
是等边三角形，
∴BC=AB，
∵AD=3，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”得∠B=∠C，根据垂直的定义、直角三角形两锐角互余得∠F+∠C=90°，∠BDE=∠B=90°，从而有∠F=∠BDE，根据对顶角相等进行等量代换得∠F=∠FDA，从而得AF=AD，即可证出结论；
（2）根据垂直的定义、直角三角形两锐角互余得∠BDE=30°，然后利用含30°的直角三角形的性质得，接下来证明是等边三角形，得BC=AB=AD+BD=9，从而求出EC=BC-BE=6.
14．（2024八下·巴楚期中） 如图，在中，为的中点，，
（1）求的长．
（2）请直接写出线段与线段之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
15．（2024·防城模拟）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、在同一平面上），过点作于点，测得．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：，
在中，，
；
（2）在和中
，
，
的长为
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据与恰好垂直可知∠BOC=90°，再根据△AOB为直角三角形可得，即可推出；
（2）已知，∠BDO=∠OEC=90°，OA=OB=OC，可得，据此可知，根据AE=OA-OE即可得解.
16．（2024八下·都昌期中）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，．
（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求DF的长．
【答案】（1）解：是的平分线，，
，
即是等腰三角形：
（2）解：，
又平分，
由（1）可知，，在Rt中，，又，．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 (1)、 根据题意可知，由平行的性质可知，通过等量代换求出
即可证明；
(2)、由平行线的性质求出 ， 由（1）可知证明，在Rt中，证明，又因为， 求出即可.
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一、选择题
1．（2024八下·惠州期末）已知直角三角形中角所对的直角边长是厘米，则斜边的长是( )
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
2．（2024·杭州模拟）如图，于，若，则等于（ ）
A．36° B．46° C．54° D．126°
3．（2022八下·灌阳期中）直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024七下·威县期中）如图，AB⊥BC，AB＝6，D是射线BC上的动点，则线段AD的长度不可能是（ ）
A．5.5 B．6 C．8 D．15
5．（2024八下·澧县期中） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系（ ）
A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB
6．（2022八下·阜平期中）如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（2024八下·桂林期中） 如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·长沙模拟） 如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022八上·乐清期中）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝3，则AB＝ ．
10．（2024·广州开学考） 一个直角三角形的两个锐角的度数比是 . 这两个锐角分别是 度和 度。
11．（2024八下·吉林月考）如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．已知，点为边的中点，点，对应的刻度为1，7，则 ．
12．（2024七下·吉州月考）如图，在中，，．若，则 ．
三、解答题
13．（2024八下·金沙期末）如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，，，求的长．
14．（2024八下·巴楚期中） 如图，在中，为的中点，，
（1）求的长．
（2）请直接写出线段与线段之间的数量关系．
15．（2024·防城模拟）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、在同一平面上），过点作于点，测得．
（1）求证：；
（2）求的长．
16．（2024八下·都昌期中）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，．
（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求DF的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵直角三角形中角所对的直角边长是厘米，
∴斜边长4厘米，
故答案为：B
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边为斜边的一半）即可求解。
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AD||BC
∴ ∠B=∠1=54°
∵ CA⊥BE
∴ ∠BAC=90°
∴ ∠C=90°-∠B=90°-54°=36°
故答案为：A.
【分析】由平行的性质可得∠B的度数，由直角三角形两锐角互余得∠C的度数.
3．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 直角三角形的斜边长为10，
斜边上的中线长为 .
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半进行计算即可.
4．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：不论D在BC上的位置如何，A、B、D始终构成以AD为斜边的直角三角形，因此AD永远比AB大，只有A选项的长度不可能.
故答案为：A.
【分析】在同一个直角三角形中，斜边永远比任何一条直角边长.
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 △ABC中，∠ACB=90°，∠A=30° ， CD是高
∴AB=2BC，∠B=60°，∠BDC=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD，
∴AB=4BD，即 BD=AB .
故答案为：C.
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC，BC=2BD，从而得出AB=4BD，据此判断即可.
6．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴，
∴∠DCA=∠A=20°，
∴∠BCD=90°-∠DCA=70°，
故答案为：D．
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用等边对等角的性质可得∠DCA=∠A=20°，再利用角的运算求出∠BCD的度数即可。
7．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴CE=AB=×6=3.
故答案为：D.
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CE的长.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴∠C=∠1=50°
∵∠2+∠C=90°
∴∠ 2=90°-∠2=90°-50°=40°
答案：B.
【分析】结合平行线的性质和直角三角形的性质可得.
9．【答案】6
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝3，
∴AB＝2CD＝6.
故答案为：6．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB＝2CD，即可解答.
10．【答案】54；36
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
解：由题意可知：
90°÷(3+2)=18°
18°×3=54°，18°×2=36°
因此两个锐角为36°，54°
故答案为36°，54°.
【分析】根据直角三角形两锐角互余，得出两个锐角和为90度，又因为两锐角共有5份，计算出每份的度数，分别乘以3和2即可.
11．【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：由题意知：AB=7-1=6
∵D为AB的中点，∠ACB=90°
∴CD=AB=3cm
故答案为：3
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，熟知直角三角形斜边的中线的性质是解题关键，本题根据直尺上的数据可求得AB=6cm，由直线三角形斜边的中线等于斜边的一半，D为AB的中点可知：CD=AB=3cm，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥AB，∠BCE=30° ，
∴∠B=∠BCE=30°，
∵Rt△ACB中， ∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
故答案为60°．
【分析】根据平行线的性质求出∠B=30°，再根据直角三角形的性质求出∠A 即可.
13．【答案】（1）证明：，
，
，
∴∠FEC=∠BED=90°，
，，
，
∵，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
∴∠BDE=30°，
∵，
，
，∠B=60°，
是等边三角形，
∴BC=AB，
∵AD=3，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”得∠B=∠C，根据垂直的定义、直角三角形两锐角互余得∠F+∠C=90°，∠BDE=∠B=90°，从而有∠F=∠BDE，根据对顶角相等进行等量代换得∠F=∠FDA，从而得AF=AD，即可证出结论；
（2）根据垂直的定义、直角三角形两锐角互余得∠BDE=30°，然后利用含30°的直角三角形的性质得，接下来证明是等边三角形，得BC=AB=AD+BD=9，从而求出EC=BC-BE=6.
14．【答案】（1）解：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：，
在中，，
；
（2）在和中
，
，
的长为
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据与恰好垂直可知∠BOC=90°，再根据△AOB为直角三角形可得，即可推出；
（2）已知，∠BDO=∠OEC=90°，OA=OB=OC，可得，据此可知，根据AE=OA-OE即可得解.
16．【答案】（1）解：是的平分线，，
，
即是等腰三角形：
（2）解：，
又平分，
由（1）可知，，在Rt中，，又，．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 (1)、 根据题意可知，由平行的性质可知，通过等量代换求出
即可证明；
(2)、由平行线的性质求出 ， 由（1）可知证明，在Rt中，证明，又因为， 求出即可.
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