【培优版】浙教版数学八上2.6 直角三角形同步练习
一、选择题
1．（2021八上·洛阳开学考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝30°，
∵AD＝1，
∴AE＝2，
∵BC＝6，
∴AC＝BC＝6，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣2＝4，
故答案为：B．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出AE长，再根据等边三角形的性质求出AC长，然后根据线段的和差关系求出CE长即可.
2．（2021八上·罗庄期中）如图，在 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算可得∠BCD=∠A=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=8，，最后利用线段的和差计算可得。
3．（2023八上·如东期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+b D．a
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，从而用SAS判断出△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，进而根据等边三角形的三线合一得∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，故点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，判断出△ACM是等边三角形，得AM＝AC，进而即可得出FM＝BF＝b，从而即可解决问题.
4．（2017八上·盂县期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点C，若DE=3cm，则AC=（ ）
A．9cm B．6cm C．12cm D．3cm
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=3cm；
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBE=∠CBD=60°÷2=30°，
∴BD=2DC=2×3=6（cm），
又∵∠A=30°，
∴∠A=∠DBE，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD=BD=6（cm），
∴AC=AD+DC=6+3=9（cm）．
故选：A．
【分析】首先根据角平分线的性质，可得DC=DE=3cm；然后判断出△ABD是等腰三角形，求出AD的长度，进而求出AC的长度是多少即可．
5．（2019八上·朝阳期中）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12，若点P在线段AD上运动，当 AP+BP的值最小时，AP的长为（ ）.
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，如下图所示
∵等边△ABC中AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ABF=∠CBF= ∠BAC=30°，
∴PD= AP
∴ AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值
∵在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
∴BF即为PD＋BP的最小值
∴BF与AD的交点即为P点，如下图所示
∵∠CAD=∠ABF=∠CBF =30°
∴AP= BP，PD= BP= AP
∵AD=12
∴AP＋PD=12
∴AP＋ AP=12
解得：AP=8
故答案为：B.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，根据等边三角形的性质可得：∠CAD=∠ABF=∠CBF= ∠BAC=30°，从而可得：PD= AP，故 AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值，根据垂线段最短的性质即可判断BF即为PD＋BP的最小值，再根据30°所对的直角边是斜边的一半求AP即可.
6．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.
二、填空题
7．（2018八上·北京月考）如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为
【答案】65°
【知识点】直角三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF=AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠ABC=40°
∴∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
8．（2024八上·顺德期末）如图，在中，，是高，若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠B=58°，
∴∠ACD=58°，
故答案为：58°.
【分析】根据题意可得∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等可得∠ACD=∠B，即可求解.
9．（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中， BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为 .
【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC=8，
∴BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，
∵△CEP为等边三角形，
∴CE=CP，∠PCE=60°，
∴∠PCE=∠ACB，
∴∠BCE=∠ACP，
∴在△BCE和△ACP中，
∴△BCE≌△ACP（SAS），
∴∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，
∴当DP⊥AP时，DP值最小，
此时∠APD=90°，∠CAP=30°，DA=4，
∴DP=2.
故答案为：2.
【分析】连接AP，由等边三角形的性质可得BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，CE=CP，∠PCE=60°，证明△BCE≌△ACP，得到∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，推出当DP⊥AP时，DP值最小，据此求解.
10．（2023八上·福州月考）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，BD与点，连CD分别交AE、AB于点F、G，过点作交BD于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是： .
【答案】①③④⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴、 、，
∴是等腰三角形，且顶角，
∴，故①正确；
∵， 即，
∴，
∴，，
∴，由知，故②错误；
记与的交点为，
由且，
，
则，
在和中，
∴，
∴，故③④正确；
∵，，，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
正确的为①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断； ②求出和度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断； ③根据证明即可判断③④正确； 由， ， 则即可判断⑤．
三、解答题
11．（2024八上·浏阳期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：为等边三角形，
，
，，，
，
，，，
，
，，，
，
是等边三角形；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据三个角都相等的三角形是等边三角形即可证明结论；
（2）首先可证明 ， 从而得出 ，， 进而得出 ， 再根据 ， 可得PB=4cm，即CM=4cm.
12．（2023八上·昭阳期中）在等腰中，，，，分别为的中线．
（1）如图1，求证：；
（2）求证：与的面积相等；
（3）如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：．
【答案】（1）证明：如图，
，，
，
是边上的中线
是的高，
，
，
是边上的中线，
，
．
（2）证明：如图，过点作交的延长线于点．
则为边上的高线．
，
为中点
与的面积相等．
（3）证明：由（2）知．
，，
垂直平分
，
又
，
在和中，
，
∴
∴，而
∴
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）已知条件有30°特殊角，提示我们在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边一半，而E恰好是AC的中点；
（2）根据三角形面积公式，等底等高的两三角形面积相等，作出底边AC的高，即可证明两三角形面积相等；
（3） 根据等腰三角形三线合一定理，可知BF=CF，问题可以转化为求证BE=CF，考虑已知，三线合一可知，至此可尝试证明两等角和BE、CF所在的三角形全等；30°角所对的直角边等于斜边一半，而D恰好是BC的中点，可证得BP=CD，还有一组直角相等，整理判定全等的条件，符合AAS定理，整理思路即可求证。
13．（2019八上·双台子期末）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动.在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN.
（1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件，使得△ABC为等边三角形；
①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；
②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明.
【答案】（1）30
（2）解：∵在△ABC中，∠B=60°
∴当AB=AC时，可得可得△ABC为等边三角形；
故答案为：AB＝AC；
①如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC=BC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中， ，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN；
∴AC=BC=BM+CM=CM+CN
即CN+CM＝AC；
②CN-CM=AC，
理由：如图2中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中， ，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN
∴AC=BC=BM-CM=CN-CM
即CN-CM=AC
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案为：30
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；（2）利用含一个60°角的等腰三角形是等边三角形的判定解答；①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解；②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解.
14．（2023八上·宁波月考）
（1）如图所示，在中，，，，求证．
（2）如图所示，在中，，，延长至使，求．
【答案】（1）解：作交于，过点作交的延长线于，过点作，如图，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
．
（2）解：在上取，连接，作平分，交于，交于，如图，
平分，，
，，
，
，
即是等腰三角形，
作，则等腰三角形两腰上的高相等，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） 作交于，过点作交的延长线于，过点作， 根据等腰三角形的判定与性质可得CH=BH，根据AAS判定△ABF≌△ECH推出AB=EC，即可证明；
（2） 在上取，连接，作平分，交于，交于， 根据角平分线的定义和垂直的定义可得，推出△ABF为等腰三角形，作AG⊥BC，可得AG=BH，根据30°的直角三角形的性质可得2AG=AC推出AC=BE，得到BE=DE，即可求得∠CDB.
15．（2023八上·苍溪期中）在中，，，BD是的角平分线，于E．
（1）如图1，连接CE，求证：是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连接BM，作等边，连接EN，求证：；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连接BP，作，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵，，∴，
∵BD是的角平分线，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，，∴（SAS），
∴，∴，∴；
（3）解：；理由如下：
延长BD至F，使，连接PF，如图所示：
∵，∴为等边三角形，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，
∵，∴，∴．
【知识点】全等三角形的应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ABC=60°，根据角平分线的定义得出∠A=∠DBA，证出AD=BD，根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得证；
（2）根据等边三角形的性质得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，证出∠CBM=∠EBN，利用SAS证明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得证；
（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，证出△PDF为等边三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠F=∠PDQ=60°，证出∠Q=∠PBF，由AAS证明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，证出AD=BD，即可得证。
四、实践探究题
16．（2022八上·安吉期末）数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题：
在中，，，点D，E分别在边AC，AB上，且，试探究线段AE和线段AD的数量关系.
（1）初步尝试
如图①，若，请探究AE和AD的数量关系，并说明理由.
（2）类比探究
如图②，若，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构造直角三角形，通过证明两次三角形全等，得到AE和AD的数量关系仍然成立，请你写出推理过程；
（3）延伸拓展
如图③，将第（2）中的“点E在边AB上”改为“点E在边BA的延长线上”，其它条件不变，请探究AE和AD的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由.
【答案】（1）解：
∵，
又∵，，
∴，
∴.
（2）解：如图（1）中，过点C作交BA的延长线于M，过点N作交CA的延长线于N.
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴.
（3）解：如图（2）中，结论：.
理由：在上取一点，使得，则.
过点C作于T.
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意可得∠BAD=∠CAE=90°，AB=AC，CE=BD，利用HL证明△ABD≌△ACE，据此可得结论；
（2）过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N，易证△CAM≌△BAN，得到CM=BN，AM=AN，进而证明△CME≌△BND，得到EM=DN，然后结合AM=AN可得结论；
（3）在AB上取一点E′，使得BD=CE′，则AD=AE′，过点C作CT⊥AE于T，易得CE=CE′，ET=TE′，AT=AC=m，然后根据AE-AD=AE-AE′=2AT进行解答.
1 / 1【培优版】浙教版数学八上2.6 直角三角形同步练习
一、选择题
1．（2021八上·洛阳开学考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2021八上·罗庄期中）如图，在 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2023八上·如东期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+b D．a
4．（2017八上·盂县期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BD交AC于D，DE⊥AB于点C，若DE=3cm，则AC=（ ）
A．9cm B．6cm C．12cm D．3cm
5．（2019八上·朝阳期中）已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12，若点P在线段AD上运动，当 AP+BP的值最小时，AP的长为（ ）.
A．4 B．8 C．10 D．12
6．（2021八上·如皋期末）如图，在 中， ， ，D为 的中点，P为 上一点，E为 延长线上一点，且 有下列结论：① ；② 为等边三角形；③ ；④ 其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
二、填空题
7．（2018八上·北京月考）如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为
8．（2024八上·顺德期末）如图，在中，，是高，若，则的度数是 ．
9．（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中， BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为 .
10．（2023八上·福州月考）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，BD与点，连CD分别交AE、AB于点F、G，过点作交BD于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是： .
三、解答题
11．（2024八上·浏阳期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
12．（2023八上·昭阳期中）在等腰中，，，，分别为的中线．
（1）如图1，求证：；
（2）求证：与的面积相等；
（3）如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：．
13．（2019八上·双台子期末）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动.在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN.
（1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件，使得△ABC为等边三角形；
①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；
②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明.
14．（2023八上·宁波月考）
（1）如图所示，在中，，，，求证．
（2）如图所示，在中，，，延长至使，求．
15．（2023八上·苍溪期中）在中，，，BD是的角平分线，于E．
（1）如图1，连接CE，求证：是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连接BM，作等边，连接EN，求证：；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连接BP，作，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
四、实践探究题
16．（2022八上·安吉期末）数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题：
在中，，，点D，E分别在边AC，AB上，且，试探究线段AE和线段AD的数量关系.
（1）初步尝试
如图①，若，请探究AE和AD的数量关系，并说明理由.
（2）类比探究
如图②，若，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构造直角三角形，通过证明两次三角形全等，得到AE和AD的数量关系仍然成立，请你写出推理过程；
（3）延伸拓展
如图③，将第（2）中的“点E在边AB上”改为“点E在边BA的延长线上”，其它条件不变，请探究AE和AD的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝30°，
∵AD＝1，
∴AE＝2，
∵BC＝6，
∴AC＝BC＝6，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣2＝4，
故答案为：B．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出AE长，再根据等边三角形的性质求出AC长，然后根据线段的和差关系求出CE长即可.
2．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算可得∠BCD=∠A=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=8，，最后利用线段的和差计算可得。
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，从而用SAS判断出△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，进而根据等边三角形的三线合一得∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，故点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，判断出△ACM是等边三角形，得AM＝AC，进而即可得出FM＝BF＝b，从而即可解决问题.
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=3cm；
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°﹣30°=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBE=∠CBD=60°÷2=30°，
∴BD=2DC=2×3=6（cm），
又∵∠A=30°，
∴∠A=∠DBE，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD=BD=6（cm），
∴AC=AD+DC=6+3=9（cm）．
故选：A．
【分析】首先根据角平分线的性质，可得DC=DE=3cm；然后判断出△ABD是等腰三角形，求出AD的长度，进而求出AC的长度是多少即可．
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，如下图所示
∵等边△ABC中AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ABF=∠CBF= ∠BAC=30°，
∴PD= AP
∴ AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值
∵在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
∴BF即为PD＋BP的最小值
∴BF与AD的交点即为P点，如下图所示
∵∠CAD=∠ABF=∠CBF =30°
∴AP= BP，PD= BP= AP
∵AD=12
∴AP＋PD=12
∴AP＋ AP=12
解得：AP=8
故答案为：B.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，根据等边三角形的性质可得：∠CAD=∠ABF=∠CBF= ∠BAC=30°，从而可得：PD= AP，故 AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值，根据垂线段最短的性质即可判断BF即为PD＋BP的最小值，再根据30°所对的直角边是斜边的一半求AP即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，
∴CD是AB的中垂线，
∴AP＝BP，而AP＝PE，
∴AP＝PB＝PE
∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，
∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB，
∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
故①正确；
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°，
∴∠PAE+∠PEA＝
而
∴△PAE是等边三角形，
故②正确；
如图，延长 至 ，使 则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，
∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD，
∵△PAE是等边三角形，
∴AE＝AP，
∴AE＝AP′，
∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°，
∴2∠CAP+2∠PAD＝60°，
∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC，
∴∠P′AC＝∠EAC，
∵AC＝AC，
∴△P′AC≌△∠EAC（SAS），
∴CP′＝CE，
∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD，
∴ .
故③错误；
过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，
∵CG＝CP，∠BCD＝60°，
∴△CPG是等边三角形，
∴∠CGP＝∠PCG＝60°，
∴∠ECP＝∠PGB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE，
∴△PCE≌△PGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP，
∵∠ABC＝30°，AF⊥BE，
∴AF＝ AB＝AD，
∵S△ACB＝ CB×AF＝ （EC+CP）×AF＝ EC×AF+ CP×AD＝S四边形AECP，
∴S四边形AECP＝S△ABC.故④正确.
所以其中正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【分析】连接BP，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°，进而推出AP＝BP＝PE，由等腰三角形的性质可得∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE，然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA＝120°，∠APE=60°，据此判断
②；延长PD至P′，使PD=P′D，则点P关于AB的对称点为P′，连接P′A，由等边三角形的性质可得AE＝AP，则AE＝AP′，推出∠P′AC＝∠EAC，证明△P′AC≌△∠EAC，得到CP′＝CE=CP+2PD，据此判断③；过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP，则△CPG是等边三角形，则∠CGP＝∠PCG＝60°，证明△PCE≌△PGB，得到CE＝GB，推出AC＝BC＝EC+CP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AF＝AB＝AD，据此不难判断④.
7．【答案】65°
【知识点】直角三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF=AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠ABC=40°
∴∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
8．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠B=58°，
∴∠ACD=58°，
故答案为：58°.
【分析】根据题意可得∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等可得∠ACD=∠B，即可求解.
9．【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC=8，
∴BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，
∵△CEP为等边三角形，
∴CE=CP，∠PCE=60°，
∴∠PCE=∠ACB，
∴∠BCE=∠ACP，
∴在△BCE和△ACP中，
∴△BCE≌△ACP（SAS），
∴∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，
∴当DP⊥AP时，DP值最小，
此时∠APD=90°，∠CAP=30°，DA=4，
∴DP=2.
故答案为：2.
【分析】连接AP，由等边三角形的性质可得BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，CE=CP，∠PCE=60°，证明△BCE≌△ACP，得到∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，推出当DP⊥AP时，DP值最小，据此求解.
10．【答案】①③④⑤
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴、 、，
∴是等腰三角形，且顶角，
∴，故①正确；
∵， 即，
∴，
∴，，
∴，由知，故②错误；
记与的交点为，
由且，
，
则，
在和中，
∴，
∴，故③④正确；
∵，，，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
正确的为①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断； ②求出和度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断； ③根据证明即可判断③④正确； 由， ， 则即可判断⑤．
11．【答案】（1）证明：为等边三角形，
，
，，，
，
，，，
，
，，，
，
是等边三角形；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据三个角都相等的三角形是等边三角形即可证明结论；
（2）首先可证明 ， 从而得出 ，， 进而得出 ， 再根据 ， 可得PB=4cm，即CM=4cm.
12．【答案】（1）证明：如图，
，，
，
是边上的中线
是的高，
，
，
是边上的中线，
，
．
（2）证明：如图，过点作交的延长线于点．
则为边上的高线．
，
为中点
与的面积相等．
（3）证明：由（2）知．
，，
垂直平分
，
又
，
在和中，
，
∴
∴，而
∴
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）已知条件有30°特殊角，提示我们在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边一半，而E恰好是AC的中点；
（2）根据三角形面积公式，等底等高的两三角形面积相等，作出底边AC的高，即可证明两三角形面积相等；
（3） 根据等腰三角形三线合一定理，可知BF=CF，问题可以转化为求证BE=CF，考虑已知，三线合一可知，至此可尝试证明两等角和BE、CF所在的三角形全等；30°角所对的直角边等于斜边一半，而D恰好是BC的中点，可证得BP=CD，还有一组直角相等，整理判定全等的条件，符合AAS定理，整理思路即可求证。
13．【答案】（1）30
（2）解：∵在△ABC中，∠B=60°
∴当AB=AC时，可得可得△ABC为等边三角形；
故答案为：AB＝AC；
①如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC=BC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中， ，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN；
∴AC=BC=BM+CM=CM+CN
即CN+CM＝AC；
②CN-CM=AC，
理由：如图2中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中， ，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN
∴AC=BC=BM-CM=CN-CM
即CN-CM=AC
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案为：30
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；（2）利用含一个60°角的等腰三角形是等边三角形的判定解答；①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解；②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解.
14．【答案】（1）解：作交于，过点作交的延长线于，过点作，如图，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
．
（2）解：在上取，连接，作平分，交于，交于，如图，
平分，，
，，
，
，
即是等腰三角形，
作，则等腰三角形两腰上的高相等，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） 作交于，过点作交的延长线于，过点作， 根据等腰三角形的判定与性质可得CH=BH，根据AAS判定△ABF≌△ECH推出AB=EC，即可证明；
（2） 在上取，连接，作平分，交于，交于， 根据角平分线的定义和垂直的定义可得，推出△ABF为等腰三角形，作AG⊥BC，可得AG=BH，根据30°的直角三角形的性质可得2AG=AC推出AC=BE，得到BE=DE，即可求得∠CDB.
15．【答案】（1）证明：∵，，∴，
∵BD是的角平分线，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，，∴（SAS），
∴，∴，∴；
（3）解：；理由如下：
延长BD至F，使，连接PF，如图所示：
∵，∴为等边三角形，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，
∵，∴，∴．
【知识点】全等三角形的应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ABC=60°，根据角平分线的定义得出∠A=∠DBA，证出AD=BD，根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得证；
（2）根据等边三角形的性质得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，证出∠CBM=∠EBN，利用SAS证明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得证；
（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，证出△PDF为等边三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠F=∠PDQ=60°，证出∠Q=∠PBF，由AAS证明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，证出AD=BD，即可得证。
16．【答案】（1）解：
∵，
又∵，，
∴，
∴.
（2）解：如图（1）中，过点C作交BA的延长线于M，过点N作交CA的延长线于N.
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴.
（3）解：如图（2）中，结论：.
理由：在上取一点，使得，则.
过点C作于T.
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意可得∠BAD=∠CAE=90°，AB=AC，CE=BD，利用HL证明△ABD≌△ACE，据此可得结论；
（2）过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N，易证△CAM≌△BAN，得到CM=BN，AM=AN，进而证明△CME≌△BND，得到EM=DN，然后结合AM=AN可得结论；
（3）在AB上取一点E′，使得BD=CE′，则AD=AE′，过点C作CT⊥AE于T，易得CE=CE′，ET=TE′，AT=AC=m，然后根据AE-AD=AE-AE′=2AT进行解答.
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