【基础版】浙教版数学八上2.7 探索勾股定理同步练习
一、选择题
1．（2024八上·禅城月考）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或15 D．15
2．（2022八上·双流月考）如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
3．（2019八上·惠山期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 （ ）
A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2
C．a：b：c＝2：3：4 D．a＝ ，b＝ ，c＝1
4．（2021八上·南海期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41
C．2，3，4 D．1，，
5．（2021八上·顺德期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·沙坪坝开学考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（ ）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
7．（2023八上·金堂月考）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．（2021八上·银川期末）如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
二、填空题
9．（2021八上·东阳月考）一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 ．
10．（2024八上·成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
11．（2019八上·海州期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米.
12．（2022八上·青田期中）如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为 .
三、解答题
13．（2019八上·南关期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．
14．（2017八上·德惠期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
15．（2023八上·邛崃月考）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，直角三角形的斜边长为.
故选：A.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，列式求出斜边长即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：正方形B的面积=169-25=144，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC为直角三角形；
B、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、不妨设a=2，b=3，c=4，此时a2+b2=13，而c2=16，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
D、由条件有a2+c2= ，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定方法：①有一个角是直角的三角形是直角三角形，②较小两边的平方和等于最大边长的平方的三角形是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A.0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项不符合题意；
B.9，40，41，是正整数，且满足，是勾股数，选项符合题意；
C.2、3、4，是正整数，但，所以不是勾股数，选项符合题意；
D.1、、，不是正整数，所以不是勾股数，选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
B、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
C、三边长分别为，由，故该三角形是直角三角形；
D、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断各选项。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+1）米，
根据勾股定理，得：x2+52=（x+1）2，
∴x=12
∴旗杆的高度为12米。
故答案为：C。
【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+1）米，根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求得x的值，即为旗杆的高度。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，
由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝ ＝ ＝10m，
故小鸟至少飞行10m.
故答案为：C.
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴该三角形是直角三角形，
∴这个三角形最长边上的中线为×13＝．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理逆定理知三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积=两直角边乘积的一半进行计算.
10．【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】连接AB，过点B作BC∥地面交12米高的树于点C，如图，
由题意可得BC=12米，AC=12-7=5米，
由勾股定理可得(米)，
故答案为：13.
【分析】连接AB，过点B作BC∥地面交12米高的树于点C，可得BC=12米，AC=12-7=5米，利用勾股定理即可求解.
11．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= =10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度，从而求出筷子露在杯子外面的长度的最小值.
12．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，
∴，，
又∵AB=13，BC=12，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
∴
∴
故答案为：24.
【分析】连接AC，首先利用勾股定理算出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，进而根据三角形的面积计算公式及S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求出答案.
13．【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
解得：x＝3.2
答：折断处离地面的高度是3.2尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程求解即可
14．【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB= =12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
∴AD= = = （米），
∴BD=AB﹣AD=12﹣ （米），
答：船向岸边移动了（12﹣ ）米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用AB=AD可得BD长．
15．【答案】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据题意，由勾股定理求出AC的长度，继而在三角形DAC中根据勾股定理逆定理求出三角形DAC为直角三角形，将两个三角形的面积求和即可得到答案。
1 / 1【基础版】浙教版数学八上2.7 探索勾股定理同步练习
一、选择题
1．（2024八上·禅城月考）若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．13 B． C．13或15 D．15
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，直角三角形的斜边长为.
故选：A.
【分析】根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，列式求出斜边长即可.
2．（2022八上·双流月考）如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：正方形B的面积=169-25=144，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式求解即可.
3．（2019八上·惠山期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 （ ）
A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2
C．a：b：c＝2：3：4 D．a＝ ，b＝ ，c＝1
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC为直角三角形；
B、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、不妨设a=2，b=3，c=4，此时a2+b2=13，而c2=16，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
D、由条件有a2+c2= ，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定方法：①有一个角是直角的三角形是直角三角形，②较小两边的平方和等于最大边长的平方的三角形是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
4．（2021八上·南海期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41
C．2，3，4 D．1，，
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A.0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项不符合题意；
B.9，40，41，是正整数，且满足，是勾股数，选项符合题意；
C.2、3、4，是正整数，但，所以不是勾股数，选项符合题意；
D.1、、，不是正整数，所以不是勾股数，选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可。
5．（2021八上·顺德期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
B、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
C、三边长分别为，由，故该三角形是直角三角形；
D、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断各选项。
6．（2021八上·沙坪坝开学考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（ ）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
7．（2023八上·金堂月考）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端拉开米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+1）米，
根据勾股定理，得：x2+52=（x+1）2，
∴x=12
∴旗杆的高度为12米。
故答案为：C。
【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+1）米，根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求得x的值，即为旗杆的高度。
8．（2021八上·银川期末）如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，
由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，
在Rt△AEC中，AC＝ ＝ ＝10m，
故小鸟至少飞行10m.
故答案为：C.
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
二、填空题
9．（2021八上·东阳月考）一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴该三角形是直角三角形，
∴这个三角形最长边上的中线为×13＝．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理逆定理知三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积=两直角边乘积的一半进行计算.
10．（2024八上·成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】连接AB，过点B作BC∥地面交12米高的树于点C，如图，
由题意可得BC=12米，AC=12-7=5米，
由勾股定理可得(米)，
故答案为：13.
【分析】连接AB，过点B作BC∥地面交12米高的树于点C，可得BC=12米，AC=12-7=5米，利用勾股定理即可求解.
11．（2019八上·海州期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米.
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= =10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2cm，
故答案为2.
【分析】利用勾股定理求出筷子在圆柱里面的最大长度，从而求出筷子露在杯子外面的长度的最小值.
12．（2022八上·青田期中）如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为 .
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，
∴，，
又∵AB=13，BC=12，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
∴
∴
故答案为：24.
【分析】连接AC，首先利用勾股定理算出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，进而根据三角形的面积计算公式及S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求出答案.
三、解答题
13．（2019八上·南关期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．
【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．
解得：x＝3.2
答：折断处离地面的高度是3.2尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程求解即可
14．（2017八上·德惠期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB= =12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
∴AD= = = （米），
∴BD=AB﹣AD=12﹣ （米），
答：船向岸边移动了（12﹣ ）米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用AB=AD可得BD长．
15．（2023八上·邛崃月考）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据题意，由勾股定理求出AC的长度，继而在三角形DAC中根据勾股定理逆定理求出三角形DAC为直角三角形，将两个三角形的面积求和即可得到答案。
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