【提升版】浙教版数学八上2.7 探索勾股定理同步练习
一、选择题
1．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A．26 B．18 C．20 D．21
2．（2019八上·福田期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1， ， B．7，24，25
C．4，5，6 D． ， ，1
3．（2023八上·鹿城开学考）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（2024八上·峡江期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部落在距根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．12米
5．（2020八上·普宁期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（ ）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
6．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
8．（2023八上·余姚期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则下列结论：①；②；③；④，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.1《探索勾股定理》同步训练）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
10．（2021八上·叶县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地 米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生 正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（ 米），感应门自动打开，则 米.
11．（2021八上·兰溪期中）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
12．（2024八上·罗湖期末）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .
三、解答题
13．（2021八上·太仓期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.求AE的长.
14．（2023八上·滕州开学考） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
15．（2018八上·惠来月考）如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状 并说明理由.
16．（2021八上·秦都月考）如图，射线 于点A、点C、B在 、 上，D为线段 的中点，且 于点E.
（1）若 ，直接写出 的值；
（2）若 ， 的周长为24，求 的面积；
（3）若 ，C点在射线 上移动，问此过程中， 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围.
17．（2021八上·沈河月考）如图，在 ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2﹣GE2＝EA2；
（3）若BC＝2 ，求 BDH的面积．
四、实践探究题
18．（2023八上·温州期中）为了测量学校旗杆的高度，八(1)班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题．
测量旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得旗杆顶端A的仰角，即∠ACB=45°． 如图1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长度FP为2米．如图2，绳子斜拉直后至末端点P位置，测量点P到地面的距离PD为1米，以及点P到旗杆AB的距离PE为9米．
（1）任务一：判断分析
第一小组要测旗杆AB的高度，只需要测量 的长度为线段并说明理由．
（2）任务二：推理计算
利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度AB．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理， ，故选C．
【分析】运用勾股定理进行计算．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+（ ）2＝（ ）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（ ）2+（ ）2＝12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可：三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AB，AD，AC，BC，BD，CD，
根据题意可知
∵，∴△ABC是直角三角形，
∵，∴△ACD是直角三角形。
∵，∴△ABD是直角三角形；
即可构成的直角三角形有3个，即：△ABC，△ADC，△ABD.
故答案为：A.
【分析】考查各三角形三边长，根据勾股定理逆定理进行判断即可。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形且∠BAC=90°，
∴BC=，
∴这棵树的高度=AB+BC=3+5=8，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出这棵树的高度即可.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，
在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．
∵AB＝A′B′，
∴A′O2＋OB′2＝169，
∴OB′＝ = ，
∴BB′＝OB OB′＝12 ＜1．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
①∵∠ABE=∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠ACB=∠D=90°，AB=BE，
∴△ACB≌△EDB，
∴S=S4，故①正确；
②∵∠FAB=∠ACB=90°，
∴∠FAL=∠ABR，
∵∠F=∠RAB=90°，AF=AB，
∴△FAL≌△ABR，
∴S△FAL=S△ABR，
∴S△FAL-S△ACR=S△ABR-S△ACR，
∴S2=S，故②正确；
③BC2=S3+S4+S6，AC2=S1+S5，AB2=S2+S+S6+S5，S=S4，
∵BC2+AC2=AB2，
∴S3+S+S6+S1+S5=S2+S+S6+S5，
∴S1+S3=S2，故③正确；
④∵S2=S4=S，S1+S3=S2，
∴S1+S2+S3+S4=3S，故④不正确，
∴正确的结论是①②③.
故答案为：A.
【分析】①证出△ACB≌△EDB，得出S=S4，即可判断①正确；
②证出△FAL≌△ABR，得出S△FAL=S△ABR，从而得出S△FAL-S△ACR=S△ABR-S△ACR，即S2=S，即可判断②正确；
③利用正方形的面积得出BC2=S3+S4+S6，AC2=S1+S5，AB2=S2+S+S6+S5，再根据勾股定理得出BC2+AC2=AB2，从而得出S1+S3=S2，即可判断③正确；
④根据S2=S4=S，S1+S3=S2，从而得出S1+S2+S3+S4=3S，故即可判断④不正确.
9．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
10．【答案】1.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
依题意知，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，AB＝2.5米，
则AE＝AB BE＝2.5 1.6＝0.9（米）.
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝ ＝1.5（米）
故答案是：1.5.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可.
11．【答案】76
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76.
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.
12．【答案】64
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，
∴阴影部分的面积之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，
故答案为：64．
【分析】先根据勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，从而可求得阴影部分的面积的和即可解答．
13．【答案】解：连接BE，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴AC2＋BC2＝AB2.
即82＋BC2＝102，
解得：BC＝6.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
设AE＝BE＝x，则EC＝8 x，
∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，
∴（8 x）2＋62＝x2，
解得：x＝ ，
∴AE＝ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，在 Rt△BCE中由勾股定理可得方程，求解后即可得出答案.
14．【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，，
所以，米，
所以，米，
答：风筝的高度为米
（2）解：如下图所示：
由题意得，米，
米，
，即米，
米，
他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论。
15．【答案】（1）解：△ABC的面积 ；
（2）解： ， ， ，
，
∴△ABC是一个直角三角形.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据三角形在正方形方格中的位置，可得出三角形的面积。
（2）根据三角形的三边满足勾股定理，可得出三角形为直角三角形。
16．【答案】（1）100
（2）解：因为 ，所以 是直角三角形.
因为 ， 的周长为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（3）解：在 中， ，在 中， ，
所以 .
因为D为线段 的中点，所以 ，所以 .
在 中， ，
所以 （定值），
故在点C移动的过程中， 的值是定值，其值是 .
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：（1） .
【分析】(1)直接利用勾股定理计算即可；
(2)由题意得AB=16-BC，然后根据勾股定理构建关于BC的方程求解，则可得出AB和BC的长，然后根据三角形的面积公式计算即可；
(3)在Rt△BDE和Rt△DEC中，分别根据勾股定理列式，推出BE2-EC2=BD2-DC2，
17．【答案】（1）解：BH＝AC，理由如下：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠ABC
∴DB＝DC，
∵∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠HBD＝90°，
∴∠HBD＝∠ACD，
在△DBH和△DCA中
，
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH＝AC．
（2）证明：连接CG，
由（1）知，DB＝CD，
∵F为BC的中点，
∴DF垂直平分BC，
∴BG＝CG，
∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，
∴EC＝EA，
∴CB＝AB，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2＝CE2，
∵CE＝AE，BG＝CG，
∴BG2﹣GE2＝EA2．
（3）解：∵∠CDB＝90°，∠ABC＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵BC＝2 ，
∴CD＝BD＝2，
∴AD＝AB﹣BD＝2 2，
∵△DBH≌△DCA，
∴DH＝AD＝2 2，
∴△BDH的面积为 BD DH 2×（2 2）＝2 2．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证明△DBH≌△DCA即可得到结论；
（2）根据DB=DC和F为BC的中点，得出DF垂直平分线BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，再Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案；
（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=BD=2，根据全等三角形的性质得到DH=AD=，再根据三角形面积公式即可求解。
18．【答案】（1）解：BC
理由如下，
∵AB⊥BC，∠ACB=45° ，∴△ABC是等腰直角三角形，故只需测试BC的长就是旗杆AB的长.
（2）解：设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为(x+2)米
在Rt△AEC中，AE=(x-1)米，CE=6米，AC=(x+2)米．．
∴(x-1)2+92=(x+2)2
解得x=13
∴旗杆的高度为13米
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据测得旗杆顶端A的仰角为45° ，结合AB与BC垂直，可知三角形ABC为等腰直角三角形，从而只需测试BC就可知旗杆高度AB的长；（2）设旗杆的长度为x米， 可以x表示出绳子的长，利用勾股定理求出x即可.
1 / 1【提升版】浙教版数学八上2.7 探索勾股定理同步练习
一、选择题
1．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A．26 B．18 C．20 D．21
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理， ，故选C．
【分析】运用勾股定理进行计算．
2．（2019八上·福田期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1， ， B．7，24，25
C．4，5，6 D． ， ，1
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+（ ）2＝（ ）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（ ）2+（ ）2＝12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可：三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形
3．（2023八上·鹿城开学考）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AB，AD，AC，BC，BD，CD，
根据题意可知
∵，∴△ABC是直角三角形，
∵，∴△ACD是直角三角形。
∵，∴△ABD是直角三角形；
即可构成的直角三角形有3个，即：△ABC，△ADC，△ABD.
故答案为：A.
【分析】考查各三角形三边长，根据勾股定理逆定理进行判断即可。
4．（2024八上·峡江期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部落在距根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．12米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形且∠BAC=90°，
∴BC=，
∴这棵树的高度=AB+BC=3+5=8，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出这棵树的高度即可.
5．（2020八上·普宁期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（ ）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，
在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．
∵AB＝A′B′，
∴A′O2＋OB′2＝169，
∴OB′＝ = ，
∴BB′＝OB OB′＝12 ＜1．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．
6．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
7．图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示：
根据题意得：∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=
故选：C．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
8．（2023八上·余姚期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则下列结论：①；②；③；④，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
①∵∠ABE=∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠ACB=∠D=90°，AB=BE，
∴△ACB≌△EDB，
∴S=S4，故①正确；
②∵∠FAB=∠ACB=90°，
∴∠FAL=∠ABR，
∵∠F=∠RAB=90°，AF=AB，
∴△FAL≌△ABR，
∴S△FAL=S△ABR，
∴S△FAL-S△ACR=S△ABR-S△ACR，
∴S2=S，故②正确；
③BC2=S3+S4+S6，AC2=S1+S5，AB2=S2+S+S6+S5，S=S4，
∵BC2+AC2=AB2，
∴S3+S+S6+S1+S5=S2+S+S6+S5，
∴S1+S3=S2，故③正确；
④∵S2=S4=S，S1+S3=S2，
∴S1+S2+S3+S4=3S，故④不正确，
∴正确的结论是①②③.
故答案为：A.
【分析】①证出△ACB≌△EDB，得出S=S4，即可判断①正确；
②证出△FAL≌△ABR，得出S△FAL=S△ABR，从而得出S△FAL-S△ACR=S△ABR-S△ACR，即S2=S，即可判断②正确；
③利用正方形的面积得出BC2=S3+S4+S6，AC2=S1+S5，AB2=S2+S+S6+S5，再根据勾股定理得出BC2+AC2=AB2，从而得出S1+S3=S2，即可判断③正确；
④根据S2=S4=S，S1+S3=S2，从而得出S1+S2+S3+S4=3S，故即可判断④不正确.
二、填空题
9．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.1《探索勾股定理》同步训练）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
10．（2021八上·叶县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地 米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生 正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（ 米），感应门自动打开，则 米.
【答案】1.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
依题意知，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，AB＝2.5米，
则AE＝AB BE＝2.5 1.6＝0.9（米）.
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝ ＝1.5（米）
故答案是：1.5.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可.
11．（2021八上·兰溪期中）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．
【答案】76
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76.
【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后结合周长的定义进行计算.
12．（2024八上·罗湖期末）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .
【答案】64
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，
∴阴影部分的面积之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，
故答案为：64．
【分析】先根据勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，从而可求得阴影部分的面积的和即可解答．
三、解答题
13．（2021八上·太仓期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.求AE的长.
【答案】解：连接BE，
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴AC2＋BC2＝AB2.
即82＋BC2＝102，
解得：BC＝6.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
设AE＝BE＝x，则EC＝8 x，
∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，
∴（8 x）2＋62＝x2，
解得：x＝ ，
∴AE＝ .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，在 Rt△BCE中由勾股定理可得方程，求解后即可得出答案.
14．（2023八上·滕州开学考） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，，
所以，米，
所以，米，
答：风筝的高度为米
（2）解：如下图所示：
由题意得，米，
米，
，即米，
米，
他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论。
15．（2018八上·惠来月考）如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状 并说明理由.
【答案】（1）解：△ABC的面积 ；
（2）解： ， ， ，
，
∴△ABC是一个直角三角形.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据三角形在正方形方格中的位置，可得出三角形的面积。
（2）根据三角形的三边满足勾股定理，可得出三角形为直角三角形。
16．（2021八上·秦都月考）如图，射线 于点A、点C、B在 、 上，D为线段 的中点，且 于点E.
（1）若 ，直接写出 的值；
（2）若 ， 的周长为24，求 的面积；
（3）若 ，C点在射线 上移动，问此过程中， 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围.
【答案】（1）100
（2）解：因为 ，所以 是直角三角形.
因为 ， 的周长为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（3）解：在 中， ，在 中， ，
所以 .
因为D为线段 的中点，所以 ，所以 .
在 中， ，
所以 （定值），
故在点C移动的过程中， 的值是定值，其值是 .
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：（1） .
【分析】(1)直接利用勾股定理计算即可；
(2)由题意得AB=16-BC，然后根据勾股定理构建关于BC的方程求解，则可得出AB和BC的长，然后根据三角形的面积公式计算即可；
(3)在Rt△BDE和Rt△DEC中，分别根据勾股定理列式，推出BE2-EC2=BD2-DC2，
17．（2021八上·沈河月考）如图，在 ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2﹣GE2＝EA2；
（3）若BC＝2 ，求 BDH的面积．
【答案】（1）解：BH＝AC，理由如下：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠ABC
∴DB＝DC，
∵∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠HBD＝90°，
∴∠HBD＝∠ACD，
在△DBH和△DCA中
，
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH＝AC．
（2）证明：连接CG，
由（1）知，DB＝CD，
∵F为BC的中点，
∴DF垂直平分BC，
∴BG＝CG，
∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，
∴EC＝EA，
∴CB＝AB，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2＝CE2，
∵CE＝AE，BG＝CG，
∴BG2﹣GE2＝EA2．
（3）解：∵∠CDB＝90°，∠ABC＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵BC＝2 ，
∴CD＝BD＝2，
∴AD＝AB﹣BD＝2 2，
∵△DBH≌△DCA，
∴DH＝AD＝2 2，
∴△BDH的面积为 BD DH 2×（2 2）＝2 2．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证明△DBH≌△DCA即可得到结论；
（2）根据DB=DC和F为BC的中点，得出DF垂直平分线BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，再Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案；
（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=BD=2，根据全等三角形的性质得到DH=AD=，再根据三角形面积公式即可求解。
四、实践探究题
18．（2023八上·温州期中）为了测量学校旗杆的高度，八(1)班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题．
测量旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得旗杆顶端A的仰角，即∠ACB=45°． 如图1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长度FP为2米．如图2，绳子斜拉直后至末端点P位置，测量点P到地面的距离PD为1米，以及点P到旗杆AB的距离PE为9米．
（1）任务一：判断分析
第一小组要测旗杆AB的高度，只需要测量 的长度为线段并说明理由．
（2）任务二：推理计算
利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度AB．
【答案】（1）解：BC
理由如下，
∵AB⊥BC，∠ACB=45° ，∴△ABC是等腰直角三角形，故只需测试BC的长就是旗杆AB的长.
（2）解：设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为(x+2)米
在Rt△AEC中，AE=(x-1)米，CE=6米，AC=(x+2)米．．
∴(x-1)2+92=(x+2)2
解得x=13
∴旗杆的高度为13米
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据测得旗杆顶端A的仰角为45° ，结合AB与BC垂直，可知三角形ABC为等腰直角三角形，从而只需测试BC就可知旗杆高度AB的长；（2）设旗杆的长度为x米， 可以x表示出绳子的长，利用勾股定理求出x即可.
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