【培优版】浙教版数学八上2.7 探索勾股定理同步练习
一、选择题
1．（2024八下·荷塘期末）第届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接若正方形与正方形的面积之比为：，且有，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设，，
∵，
∴，整理得，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为，
∵正方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为，
∴，
∴解得．
故答案为：B．
【分析】设BF=AE=a，EF=b，首先根据题意得到2a2+2ab=2b2，然后表示出正方形ABCD的面积，正方形EFGH的面积，最后利用正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n求解即可．
2．（2024八下·潜山期中） 如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：作于点H，作射线，则，
，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动，
作交的延长线于点L，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点L与点A关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：C．
【分析】如果点F在直线上运动的话，就可以明确是“直线上找一点到同侧两点距离和最小问题”，所以连接CF，过点E作AB的垂线EH，易证三角形ECF全等于三角形，故点F在直线CF上运动，且CF垂直于AC，所以利用对称性转化，做出点A关于CF的对称点L，连接LB也即AF+BF的最小值，利用勾股定理求LB即可。
3．在Rt中，.以为圆心，AM的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N.再分别以M，N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP，并延长AP交BC于点.过点作于点，垂足为，则DE的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：因为AD是∠BAC的平分线， ， 于点，
所以BD=DE.又AD为△ABD与△ADE的公共边，所以△ABD≌△ADE(HL).
所以AB=AE.因为AB=8，AC=10，所以CE=AC-AE=2.
在Rt△ABC中，AB=8，AC=10，所以BC=6，.
设DE=x，则CD=6-x，所以，解得x= .
故答案为：A.
【分析】先利用角平分线的性质说明BD=DE，设DE为x，利用勾股定理求得BC，用x表示出CD，再在Rt△CDE中用勾股定理，列出关于x方程求解.
4．（2021·阜南模拟）已知a、b为两正数，且 ，则代数式 最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，
根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，
所以：
，
∴当A，B，C三点共线时 有最小值，即BC，
在Rt△BDC中 ．
故答案为：B
【分析】如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，当A，B，C三点共线时 有最小值，即BC，根据勾股定理求出BC的长即可.
5．（2023八上·从江开学考）如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；
底面周长为：，分成三等份后每份为6，则AC=
最短路程=ACC+DC+BC=10×3=30
故答案为：B.
【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。
6．（2024八下·掇刀月考） 如图，中，，，，是的两条高，连接，分别取，的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接EM，DM，如图，
∵ ∠A=60°，BD是高，AB=4，
∴ ∠ABD=30°，
∴ AD=2，BD=，
∵ AC=6，
∴ CD=AC-AD=4，
∴ 在Rt△BCD中，BC=，
∵ M为BC的中点，
∴ DM=.
同理可得：EM=DM=.
∵ EM=BM，DM=CM，
∴ ∠EBM=∠BEM，∠DCM=∠CDM，
∵ ∠A=60°，
∴ ∠EBM+∠DCM=120°，
即∠BEM+∠CDM=120°，
∴ ∠DME=180°-∠EMB-∠CMD=180°-（180°-∠EBM-∠BEM）-（180°-∠DCM-∠CDM）=60°，
∴ △DEM为等边三角形，
∴ DE=EM=DM，
∵ N为DE的中点，
∴ DN==，MN⊥DE，
∴ MN=.
故答案为：C.
【分析】根据30° 的直角三角形的性质和勾股定理可求得AD，BD，再根据勾股定理求得BC，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得EM=DM=BM=CM=，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推出∠DME为60°，根据等边三角形的判定与性质可得DN，再利用勾股定理即可求得MN.
二、填空题
7．（2024八下·鄞州期末）如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为 ．
【答案】1或3
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当时，如图所示：
根据折叠可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
当时，如图所示：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或3．
故答案为：1或3．
【分析】分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，利用三角形的面积公式和勾股定理求出结果即可．
8．（2024八下·金州月考）如图，在中，，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过点C作，使，连接DE，点F是DE的中点，连接CF并延长，交AB边所在直线于点G，若，则AD的长为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接BE，GE，如图，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC，DC =EC，
∴，
∴∠A=∠CBE=45°，AD=BE，
∵∠ABC =45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∵CD=CE，F为DE的中点，
∴∠DCF=∠ECF，
∵CG=CG，
∴，
∴DG=EG，
设AD=x，
∵AB=8，BG =2，
∴DG=6-x，
∵，
∴，
∴，
∴；
同理可证，
∴∠A=∠CBE=45°，AD=BE，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∴∠EBG=90°，
设AD=x，则BD=8-x，
∴DG=BD+BG=10-x，
由可知，DG=GE，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或.
故答案为：或.
【分析】分情况讨论，当点G在点B左侧或右侧时，连接BE，GE，证明，根据全等三角形的性质得到∠A=∠CBE=45°，AD=BE，证明，得到DG=EG，设AD=x，则DG=6-x或DG=10-x，根据勾股定理得到，代入即可得到答案.
9．（2024八下·江汉期中） 如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分別为，若正方形的边长为，则 ．
【答案】18
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；完全平方式
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，
∴AE=EH=ET，AH=BE=ME，
在中，AE2+AH2=HE2，
∵四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵正方形EFGH的边长为，
∴HE2=6，
∴S1+S2+S3=3×6=18.
故答案为：18.
【分析】根据八个直角三角形全等得AE=EH=ET，AH=BE=ME，利用勾股定理得AE2+AH2=HE2，再利用四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形得S1，S2，S3的值，最后进行化简计算即可.
10．（2024八下·沙市区期末）探究函数的最小值.小聪同学运用“数形结合”的思想：如图，取AB=4，作AC⊥AB于A. BD⊥AB于B，且AC=1，BD=1，点E在AB上，设AE=x，则BE=4-x，于是，因此，可求得y=CE +DE 的最小值为 ，已知：则y的最大值是 .
【答案】2；
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，
由轴对称的性质得CE=C'E，AC=AC'=1，
∴CE+DE=C'E+DE=C'D，则CE+DE的最小值为C'D，
∵ AC⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥BD，∠B=90°，
又AC=BD=1，
∴四边形ABDC是矩形，
∴CD=AB=4，∠ACD=90°，
在Rt△C'CD中，C'D=，即y=CE +DE 的最小值为；
如图，取BD=5，在线段BD的同侧分别过点B、D作AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=3，DE=5，连接EA并延长交DB的延长线于点C，过点A作AF⊥DE于点F，
∴四边形ABDF是矩形，∴AF=BD=5，AB=DF=3，
设CB=x，则CD=5+x，
∴，，，当AE、AC在同一直线上时，最大为.
故答案为：； .
【分析】作C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，由轴对称性质得CE=C'E，AC=AC'=1，则CE+DE=C'E+DE=C'D，即CE+DE的最小值为C'D；判断出四边形ABDC是矩形，得CD=AB=4，∠ACD=90°， 在Rt△C'CD中，由勾股定理算出C'D即可得出答案；如图，取BD=5，在线段BD的同侧分别过点B、D作AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=3，DE=5，连接EA并延长交DB的延长线于点C，过点A作AF⊥DE于点F，判断出四边形ABDF是矩形，得AF=BD=5，AB=DF=3，设CB=x，则CD=5+x，用勾股定理分别表示出CE、AE、AC，当当AE、AC在同一直线上时y=CE-AC=AE最大，从而即可得出答案.
三、解答题
11．（2024八下·南昌期中） 如图，C为线段上的一个动点，分别过点B，D在两侧作，连接．已知，设．
（1）用含的代数式表示的长．
（2）当点C满足什么条件时，的值最小？
（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式的最小值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴；
（2）解：∵两点之间，线段最短，
∴当C在上时，值最小；
（3）解：构图如下，其中，设，
∴
同理得，
由两点之间，线段最短可知，当C在上时，值最小，即最小，最小值为的长，
过点E作交延长线于F，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为13．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC=，CD为8-x，再根据勾股定理可得CE=，即可求得；
（2）根据两点之间线段最短，即可求得；
（3）根据代数式构图，再根据两点之间线段最短和勾股定理即可求得.
12．（2024八下·谷城月考） 如图，在等边中，P是等边内一点，且，，，，求的度数．
【答案】解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据手拉手模型得出三角形全等，进而将边长进行转移，再利用勾股定理的逆定理的出直角三角形，再加上等边三角形的内角即可求出答案.
13．（2024八下·綦江期中）已知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE.
（1）如图1，点D在线段BC上，连接CE，若AB＝6，且CE＝2，求线段AD的长；
图1
（2）如图2，点D是BC延长线上一点，过点E作EF⊥AC于点F，求证：CF＝AF＋CD；
图2
（3）如图3，若AB＝8，点D在射线BC上运动，取AC中点G，连接EG，请直接写出EG的最小值．
图3
【答案】（1）∵△ABC，△ADE都是等边三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC
∴∠BAD＝∠CAE
在△BAD与△CAE中：
∴△BAD≌△CAE
∴BD＝CE＝2
过D作DM⊥AB于M
∴
∴
（2）如图，延长过FA到点N，使得AN＝DC，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
AD＝DE＝ED，∠ADE＝∠DEA＝∠EAD＝60°．
∴∠BAD＝60°－∠DAC＝∠CAE，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∠BDA＝∠CEA，
∴60°＋∠BDA＝60°＋∠CEA，
∴∠ADE＋∠BDA＝∠ACE＋∠CEA，
∴∠CDE＝∠NAE，
∵，
∴△NAE≌△CDE（SAS），
∴EN＝EC，
∵EF⊥AC，
∴FN＝CF，
∴CF＝AF＋AN＝AF＋CD．
（3）根据（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠ACB＝∠QCE＝60°．
∴CE是∠ACQ的角平分线，
当GE⊥CE时，EG最短，
∵AB＝8，AC中点G，
∴，
∴，，
故EG的最小值为．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1） 过D作DM⊥AB于M，交BC的延长线于点，根据SAS证明，结合30°直角三角形的性质，运用勾股定理计算MD，继而得到AD；
（2）延长过FA到点N，使得AN=Dc，先根据SAS证明，得到∠ABD=∠ACE=60°，∠BDA=∠CEA，再根据SAS证明，利用等腰三角形的性质证明即可；
（3）根据，得到∠ACE=∠QCE=60°．得到CE是∠ACQ的角平分线，利用垂线段最短即可求解．
14．（2023八下·南海期末）在等边中，，点D是射线上一点，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时，在线段上取一点E，使得 ，求证：；
（2）如图2，当点D在延长线上时，将线段绕点A逆时针旋转角度得到线段，连接，．
①当位于内部，且恰好被平分时，若，求的长度；
②如图3，当时，记线段与线段的交点为G，猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：①过点作于点，如图2，
在和中，，
∴，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
延长到点，使等于，连接，如图3，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
即：，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】 （1）根据是等边三角形，可得，，再结合，利用SAS证明，即可证得；
（2）①过点F作于点H，先利用SAS证，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，即可求得；
②延长AC到点M，使CM等于BD，连接FM，先利用SAS证，再利用AAS证，从而证得点G是AM的中点，即可证得．
四、实践探究题
15．（2024八下·顺德期末）学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．
（1）如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为．
如图，点、在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点不写画法，保留画图痕迹；
如图，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺找出的平分线交于点，并写出画图的步骤或依据；
（2）如图，在中，，，，以为边在的左侧作等腰直角，连接，求的长．
【答案】（1）解：①如图，点O即为所求；
②如图，在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求；
理由：根据作法得：，四边形是矩形，
∴，，
∴平分；
（2）解：，，，
，
，
有三种情形：
当，时，；
当，时，；
当，．
综上所述，的长为或或．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①取格点M，N，连接交于点O，即可求解；
②在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到∠CAB的度数，进而即可得到三种情形：当，时，当，时，当，从而根据勾股定理即可求解。
16．（2024八下·信宜月考）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
【解决问题】
（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD，请直接写出AE、BD之间的数量关系．
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求的面积．
（3）【拓展延伸】
如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将沿CD方向平移acm得到．连接AB'，B'C，当恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，请你求出a的值及AB'长度．
【答案】（1）解：
（2）解：如图2中，过点B作交AC的延长线于H．
，
，
，
，
在中，，
．
（3）解：如图3中，
由题意，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵△ACD与△BCE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
【分析】（1）由等边三角形性质得AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB，由等式性质得∠ACE=∠DCB，从而由SAS判断出△ACE≌△DCB，根据全等三角形的对应边相等可得AE=BD；
（2）过点B作BH⊥AC交AC的延长线于H，由等边三角形性质及平角定义可得∠BCH=60°，由三角形内角和定理推出∠CBH=30°，根据含30°角直角三角形的性质推出CH=BC=1cm，在△CBH中，用勾股定理算出BH的长，进而根据三角形面积计算公式可算出△ABC的面积；
（3）由题意易得∠E'CB'=30°，∠E'B'C=90°，∠C'B'C=30°，由等角对等边得CC'=B'C'=2cm，从而得出a的值；在Rt△CB'E'中，用勾股定理算出CB'的长，最后在Rt△ACB'中，再利用勾股定理可算出AB'的长.
17．（2023八下·齐齐哈尔期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌，依据是 ．
A.；；；
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
（2）【初步运用】
如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】
如图，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）A，；1＜AD＜7
（2）解：如图，延长至，使，连接，
是的中线，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：线段、、之间的等量关系为：，理由如下：
延长到点，使，连接，，如图所示：
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：【问题情境】 ∵CD=BD，DE=AD，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，8-6＜AE＜8+6，即2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：A，1＜AD＜7，
【分析】【问题情境】根据SAS证明△ADC≌△BDE，可得BE=AC=6，利用三角形三边关系可得8-6＜AE＜8+6，即得2＜2AD＜14，从而求解；
（1）【初步运用】 延长至，使，连接，根据SAS证明△ADC≌△MDB，可得BM=AC，∠CAD=∠M，由AE=EF，，可得，利用等腰三角形的性质可得BM=BF=AC=AE+CE，继而得解；
（2）【灵活运用】，理由：延长到点，使，连接，， 根据SAS证明△BDE≌△DCG，可得BE=CG，，从而求出∠GCF=90°，利用勾股定理可得，继而得解.
1 / 1【培优版】浙教版数学八上2.7 探索勾股定理同步练习
一、选择题
1．（2024八下·荷塘期末）第届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接若正方形与正方形的面积之比为：，且有，则的值为( )
A． B． C． D．
2．（2024八下·潜山期中） 如图，已知等边的边长为4，点D，E分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
3．在Rt中，.以为圆心，AM的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N.再分别以M，N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP，并延长AP交BC于点.过点作于点，垂足为，则DE的长度为（ ）
A． B． C．2 D．1
4．（2021·阜南模拟）已知a、b为两正数，且 ，则代数式 最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．（2023八上·从江开学考）如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·掇刀月考） 如图，中，，，，是的两条高，连接，分别取，的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024八下·鄞州期末）如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为 ．
8．（2024八下·金州月考）如图，在中，，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过点C作，使，连接DE，点F是DE的中点，连接CF并延长，交AB边所在直线于点G，若，则AD的长为 ．
9．（2024八下·江汉期中） 如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分別为，若正方形的边长为，则 ．
10．（2024八下·沙市区期末）探究函数的最小值.小聪同学运用“数形结合”的思想：如图，取AB=4，作AC⊥AB于A. BD⊥AB于B，且AC=1，BD=1，点E在AB上，设AE=x，则BE=4-x，于是，因此，可求得y=CE +DE 的最小值为 ，已知：则y的最大值是 .
三、解答题
11．（2024八下·南昌期中） 如图，C为线段上的一个动点，分别过点B，D在两侧作，连接．已知，设．
（1）用含的代数式表示的长．
（2）当点C满足什么条件时，的值最小？
（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式的最小值．
12．（2024八下·谷城月考） 如图，在等边中，P是等边内一点，且，，，，求的度数．
13．（2024八下·綦江期中）已知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE.
（1）如图1，点D在线段BC上，连接CE，若AB＝6，且CE＝2，求线段AD的长；
图1
（2）如图2，点D是BC延长线上一点，过点E作EF⊥AC于点F，求证：CF＝AF＋CD；
图2
（3）如图3，若AB＝8，点D在射线BC上运动，取AC中点G，连接EG，请直接写出EG的最小值．
图3
14．（2023八下·南海期末）在等边中，，点D是射线上一点，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时，在线段上取一点E，使得 ，求证：；
（2）如图2，当点D在延长线上时，将线段绕点A逆时针旋转角度得到线段，连接，．
①当位于内部，且恰好被平分时，若，求的长度；
②如图3，当时，记线段与线段的交点为G，猜想与的数量关系，并说明理由．
四、实践探究题
15．（2024八下·顺德期末）学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．
（1）如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为．
如图，点、在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点不写画法，保留画图痕迹；
如图，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺找出的平分线交于点，并写出画图的步骤或依据；
（2）如图，在中，，，，以为边在的左侧作等腰直角，连接，求的长．
16．（2024八下·信宜月考）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
【解决问题】
（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD，请直接写出AE、BD之间的数量关系．
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求的面积．
（3）【拓展延伸】
如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将沿CD方向平移acm得到．连接AB'，B'C，当恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，请你求出a的值及AB'长度．
17．（2023八下·齐齐哈尔期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌，依据是 ．
A.；；；
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
（2）【初步运用】
如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】
如图，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设，，
∵，
∴，整理得，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为，
∵正方形的面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为，
∴，
∴解得．
故答案为：B．
【分析】设BF=AE=a，EF=b，首先根据题意得到2a2+2ab=2b2，然后表示出正方形ABCD的面积，正方形EFGH的面积，最后利用正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n求解即可．
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：作于点H，作射线，则，
，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动，
作交的延长线于点L，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点L与点A关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：C．
【分析】如果点F在直线上运动的话，就可以明确是“直线上找一点到同侧两点距离和最小问题”，所以连接CF，过点E作AB的垂线EH，易证三角形ECF全等于三角形，故点F在直线CF上运动，且CF垂直于AC，所以利用对称性转化，做出点A关于CF的对称点L，连接LB也即AF+BF的最小值，利用勾股定理求LB即可。
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：因为AD是∠BAC的平分线， ， 于点，
所以BD=DE.又AD为△ABD与△ADE的公共边，所以△ABD≌△ADE(HL).
所以AB=AE.因为AB=8，AC=10，所以CE=AC-AE=2.
在Rt△ABC中，AB=8，AC=10，所以BC=6，.
设DE=x，则CD=6-x，所以，解得x= .
故答案为：A.
【分析】先利用角平分线的性质说明BD=DE，设DE为x，利用勾股定理求得BC，用x表示出CD，再在Rt△CDE中用勾股定理，列出关于x方程求解.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，
根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，
所以：
，
∴当A，B，C三点共线时 有最小值，即BC，
在Rt△BDC中 ．
故答案为：B
【分析】如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，当A，B，C三点共线时 有最小值，即BC，根据勾股定理求出BC的长即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；
底面周长为：，分成三等份后每份为6，则AC=
最短路程=ACC+DC+BC=10×3=30
故答案为：B.
【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接EM，DM，如图，
∵ ∠A=60°，BD是高，AB=4，
∴ ∠ABD=30°，
∴ AD=2，BD=，
∵ AC=6，
∴ CD=AC-AD=4，
∴ 在Rt△BCD中，BC=，
∵ M为BC的中点，
∴ DM=.
同理可得：EM=DM=.
∵ EM=BM，DM=CM，
∴ ∠EBM=∠BEM，∠DCM=∠CDM，
∵ ∠A=60°，
∴ ∠EBM+∠DCM=120°，
即∠BEM+∠CDM=120°，
∴ ∠DME=180°-∠EMB-∠CMD=180°-（180°-∠EBM-∠BEM）-（180°-∠DCM-∠CDM）=60°，
∴ △DEM为等边三角形，
∴ DE=EM=DM，
∵ N为DE的中点，
∴ DN==，MN⊥DE，
∴ MN=.
故答案为：C.
【分析】根据30° 的直角三角形的性质和勾股定理可求得AD，BD，再根据勾股定理求得BC，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得EM=DM=BM=CM=，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推出∠DME为60°，根据等边三角形的判定与性质可得DN，再利用勾股定理即可求得MN.
7．【答案】1或3
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：当时，如图所示：
根据折叠可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
当时，如图所示：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或3．
故答案为：1或3．
【分析】分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，利用三角形的面积公式和勾股定理求出结果即可．
8．【答案】或
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接BE，GE，如图，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC，DC =EC，
∴，
∴∠A=∠CBE=45°，AD=BE，
∵∠ABC =45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∵CD=CE，F为DE的中点，
∴∠DCF=∠ECF，
∵CG=CG，
∴，
∴DG=EG，
设AD=x，
∵AB=8，BG =2，
∴DG=6-x，
∵，
∴，
∴，
∴；
同理可证，
∴∠A=∠CBE=45°，AD=BE，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∴∠EBG=90°，
设AD=x，则BD=8-x，
∴DG=BD+BG=10-x，
由可知，DG=GE，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或.
故答案为：或.
【分析】分情况讨论，当点G在点B左侧或右侧时，连接BE，GE，证明，根据全等三角形的性质得到∠A=∠CBE=45°，AD=BE，证明，得到DG=EG，设AD=x，则DG=6-x或DG=10-x，根据勾股定理得到，代入即可得到答案.
9．【答案】18
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；完全平方式
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，
∴AE=EH=ET，AH=BE=ME，
在中，AE2+AH2=HE2，
∵四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵正方形EFGH的边长为，
∴HE2=6，
∴S1+S2+S3=3×6=18.
故答案为：18.
【分析】根据八个直角三角形全等得AE=EH=ET，AH=BE=ME，利用勾股定理得AE2+AH2=HE2，再利用四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形得S1，S2，S3的值，最后进行化简计算即可.
10．【答案】2；
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，
由轴对称的性质得CE=C'E，AC=AC'=1，
∴CE+DE=C'E+DE=C'D，则CE+DE的最小值为C'D，
∵ AC⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥BD，∠B=90°，
又AC=BD=1，
∴四边形ABDC是矩形，
∴CD=AB=4，∠ACD=90°，
在Rt△C'CD中，C'D=，即y=CE +DE 的最小值为；
如图，取BD=5，在线段BD的同侧分别过点B、D作AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=3，DE=5，连接EA并延长交DB的延长线于点C，过点A作AF⊥DE于点F，
∴四边形ABDF是矩形，∴AF=BD=5，AB=DF=3，
设CB=x，则CD=5+x，
∴，，，当AE、AC在同一直线上时，最大为.
故答案为：； .
【分析】作C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，由轴对称性质得CE=C'E，AC=AC'=1，则CE+DE=C'E+DE=C'D，即CE+DE的最小值为C'D；判断出四边形ABDC是矩形，得CD=AB=4，∠ACD=90°， 在Rt△C'CD中，由勾股定理算出C'D即可得出答案；如图，取BD=5，在线段BD的同侧分别过点B、D作AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=3，DE=5，连接EA并延长交DB的延长线于点C，过点A作AF⊥DE于点F，判断出四边形ABDF是矩形，得AF=BD=5，AB=DF=3，设CB=x，则CD=5+x，用勾股定理分别表示出CE、AE、AC，当当AE、AC在同一直线上时y=CE-AC=AE最大，从而即可得出答案.
11．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴；
（2）解：∵两点之间，线段最短，
∴当C在上时，值最小；
（3）解：构图如下，其中，设，
∴
同理得，
由两点之间，线段最短可知，当C在上时，值最小，即最小，最小值为的长，
过点E作交延长线于F，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为13．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC=，CD为8-x，再根据勾股定理可得CE=，即可求得；
（2）根据两点之间线段最短，即可求得；
（3）根据代数式构图，再根据两点之间线段最短和勾股定理即可求得.
12．【答案】解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据手拉手模型得出三角形全等，进而将边长进行转移，再利用勾股定理的逆定理的出直角三角形，再加上等边三角形的内角即可求出答案.
13．【答案】（1）∵△ABC，△ADE都是等边三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC
∴∠BAD＝∠CAE
在△BAD与△CAE中：
∴△BAD≌△CAE
∴BD＝CE＝2
过D作DM⊥AB于M
∴
∴
（2）如图，延长过FA到点N，使得AN＝DC，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
AD＝DE＝ED，∠ADE＝∠DEA＝∠EAD＝60°．
∴∠BAD＝60°－∠DAC＝∠CAE，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∠BDA＝∠CEA，
∴60°＋∠BDA＝60°＋∠CEA，
∴∠ADE＋∠BDA＝∠ACE＋∠CEA，
∴∠CDE＝∠NAE，
∵，
∴△NAE≌△CDE（SAS），
∴EN＝EC，
∵EF⊥AC，
∴FN＝CF，
∴CF＝AF＋AN＝AF＋CD．
（3）根据（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠ACB＝∠QCE＝60°．
∴CE是∠ACQ的角平分线，
当GE⊥CE时，EG最短，
∵AB＝8，AC中点G，
∴，
∴，，
故EG的最小值为．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1） 过D作DM⊥AB于M，交BC的延长线于点，根据SAS证明，结合30°直角三角形的性质，运用勾股定理计算MD，继而得到AD；
（2）延长过FA到点N，使得AN=Dc，先根据SAS证明，得到∠ABD=∠ACE=60°，∠BDA=∠CEA，再根据SAS证明，利用等腰三角形的性质证明即可；
（3）根据，得到∠ACE=∠QCE=60°．得到CE是∠ACQ的角平分线，利用垂线段最短即可求解．
14．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：①过点作于点，如图2，
在和中，，
∴，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
延长到点，使等于，连接，如图3，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
即：，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】 （1）根据是等边三角形，可得，，再结合，利用SAS证明，即可证得；
（2）①过点F作于点H，先利用SAS证，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，即可求得；
②延长AC到点M，使CM等于BD，连接FM，先利用SAS证，再利用AAS证，从而证得点G是AM的中点，即可证得．
15．【答案】（1）解：①如图，点O即为所求；
②如图，在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求；
理由：根据作法得：，四边形是矩形，
∴，，
∴平分；
（2）解：，，，
，
，
有三种情形：
当，时，；
当，时，；
当，．
综上所述，的长为或或．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①取格点M，N，连接交于点O，即可求解；
②在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到∠CAB的度数，进而即可得到三种情形：当，时，当，时，当，从而根据勾股定理即可求解。
16．【答案】（1）解：
（2）解：如图2中，过点B作交AC的延长线于H．
，
，
，
，
在中，，
．
（3）解：如图3中，
由题意，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵△ACD与△BCE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB，
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
【分析】（1）由等边三角形性质得AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB，由等式性质得∠ACE=∠DCB，从而由SAS判断出△ACE≌△DCB，根据全等三角形的对应边相等可得AE=BD；
（2）过点B作BH⊥AC交AC的延长线于H，由等边三角形性质及平角定义可得∠BCH=60°，由三角形内角和定理推出∠CBH=30°，根据含30°角直角三角形的性质推出CH=BC=1cm，在△CBH中，用勾股定理算出BH的长，进而根据三角形面积计算公式可算出△ABC的面积；
（3）由题意易得∠E'CB'=30°，∠E'B'C=90°，∠C'B'C=30°，由等角对等边得CC'=B'C'=2cm，从而得出a的值；在Rt△CB'E'中，用勾股定理算出CB'的长，最后在Rt△ACB'中，再利用勾股定理可算出AB'的长.
17．【答案】（1）A，；1＜AD＜7
（2）解：如图，延长至，使，连接，
是的中线，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：线段、、之间的等量关系为：，理由如下：
延长到点，使，连接，，如图所示：
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：【问题情境】 ∵CD=BD，DE=AD，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，8-6＜AE＜8+6，即2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：A，1＜AD＜7，
【分析】【问题情境】根据SAS证明△ADC≌△BDE，可得BE=AC=6，利用三角形三边关系可得8-6＜AE＜8+6，即得2＜2AD＜14，从而求解；
（1）【初步运用】 延长至，使，连接，根据SAS证明△ADC≌△MDB，可得BM=AC，∠CAD=∠M，由AE=EF，，可得，利用等腰三角形的性质可得BM=BF=AC=AE+CE，继而得解；
（2）【灵活运用】，理由：延长到点，使，连接，， 根据SAS证明△BDE≌△DCG，可得BE=CG，，从而求出∠GCF=90°，利用勾股定理可得，继而得解.
1 / 1
