【基础版】浙教版数学八上2.8 直角三角形的判定同步练习
一、选择题
1．（2024八下·顺德月考）如图，若要用“”证明≌，则还需补充条件( )
A． B．或
C． D．以上都不正确
2．（2024八下·黎川期中） 如图，，，以下能作为与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018-2019学年数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定（4） 同步练习）如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
4．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023八上·台州期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F，交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
6．（2023八上·河东期中）下列说法中正确的个数是（ ）
到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点
在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等；
等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一．
A． B． C． D．
7．（2022八上·永善期中）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC=AD或BC=BD B．AC=AD且BC=BD
C．∠BAC=∠BAD D．以上都不对
8．（2022八上·杭州期中）如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线OP就是的平分线.”小明的做法，其理论依据是 .
10．（2023八上·墨玉期中） 和一条 分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“ ”．
11．（2024八下·榆阳期中）如图，在中，于点D，要使≌，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是 ．
12．（2024八下·资阳期末）如图，在中，于点D，F为中点，连接并延长交于E，若，，则 ．
三、解答题
13．（2024八下·娄星期末）如图，在中，，点位于上，于点，且．
（1）求证：≌；
（2）如果，，求的长．
14．（2024八下·织金期末）已知：如图，，，垂足分别为，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
15．（2024八下·来宾期末） 如图，在中，，为延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，AB=AB，
∴当AC=AD或BC=BD时，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）.
故答案为：B.
【分析】由于两个直角三角形中已经有一条公共边对应相等，故要用HL判定两个三角形全等，只需要有一条直角边对应相等即可.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴在和中，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC是公共边，根据HL即可证得．
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵点P到AB，AC的距离相等，
∴∠PFA=∠PEA=90°，PF=PE，
在Rt△PEA与Rt△PFA中，
∵PE=PF，AP=AP，
∴Rt△PEA≌Rt△PFA（HL）
故答案为：A
【分析】根据题意可得：PE=PF，AP=AP，∠AFP=∠AEP=90°，则我们可以根据HL定理得出三角形全等。
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：延长BF交AC于点E.
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2
∵BFAD于点F
∴∠AFB=∠AFE=90°
∵AF=AF
∴ABFAEF（ASA）
∴AE=AB=4
∵FGAB
∵∠1=∠3
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴AG=FG
∵∠2+∠5=∠3+∠4
∴∠4=∠5
∴在△GFE中，FG=GE
∴FG=AE=×4=2
故答案为：B.
【分析】做本题时，首先，延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得出∠1=∠2，其次，按照全等三角形的性质得出：AE=AB=4，再次，根据平行线的性质得出：∠1=∠3，推算出：∠2=∠3，AG=FG，从而推算出∠4=∠5，最后推导出：FG=AE=2
6．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性；全等三角形的应用；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）三角形具有稳定性，说法正确；
（2）到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，说法正确；
（3）在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确；
（4）有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，说法正确；
（5）等腰三角形的顶角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一，说法错误；
故说法正确的有4个，
故答案为： C .
【分析】根据三角形的稳定性、垂直平分线的性质、角平分线的判定，全等三角形的判定，三线合一逐一判断即可解题．
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：A.
【分析】根据“HL”得出添加AC=AD或BC=BD，再结合隐含的条件AB=AB，证出Rt△ABC≌Rt△ABD，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为
所以
∴，均为直角三角形，
根据已知条件知道已经有一条直角边，
则还需要补充斜边相等即可，
即需要：，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案.
9．【答案】角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平分线.
故答案为：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【分析】根据角平分线的判断定理即可证明.
10．【答案】一条直角边；斜边；HL
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】一条直角边和一条斜边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL”，
故答案为：一条直角边； 斜边；HL.
【分析】利用“斜边、直角边”证明三角形全等的定义求解即可.
11．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又∵
∴若根据“HL”判定≌，则需要添加的条件是：，
故答案为：.
【分析】根据"HL"证明三角形全等所需的条件“一条直角边与斜边对应相等的两个直角三角形全等”，即可求解.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
又∵BF=AC，DC=DF，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，
∴AD=BD，
又∵DF=DC=1，F为AD的中点，
∴BD=AD=2DF=2，
在Rt△BDF中，
，
又∵BC=BD+CD=3，
，
∴，
故填：
【分析】根据题意读题标量，结合全等判定易判定Rt△BDF≌Rt△ADC，结合勾股定理计算斜边BF/AC，最后利用等积法算出BE的长即可.
13．【答案】（1）证明：，
，
，
在 和中，
，
≌
（2）解：，，，
，
又≌
，
，
，，
在中，，
，
，
解得 ，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证△ACE≌△AFE；
（2）在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB的值，根据（1）中的全等三角形可得AC=AF，由线段的构成BF=AB-AF、BE=BC-CE求得BF、BE的值，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于EF的方程，解方程求出EF的值，则CE的值可求解.
14．【答案】（1）证明：于点，于点，与相交于点，
，
在和中，
，
≌，
．
（2）解：，，，
，
，
，
的长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）证明∠OMP=∠ONP=90°，再利用“HL”证明△OMP≌△ONP，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质求得OA长，再利用勾股定理求出ON，即可得到OM长.
15．【答案】（1）证明：为延长线上一点
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
由（1）知：，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据垂直结合题意得到，进而根据直角三角形全等的判定即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意得到∠BAE的度数，再根据三角形全等的性质得到，从而根据即可求解.
1 / 1【基础版】浙教版数学八上2.8 直角三角形的判定同步练习
一、选择题
1．（2024八下·顺德月考）如图，若要用“”证明≌，则还需补充条件( )
A． B．或
C． D．以上都不正确
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，AB=AB，
∴当AC=AD或BC=BD时，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）.
故答案为：B.
【分析】由于两个直角三角形中已经有一条公共边对应相等，故要用HL判定两个三角形全等，只需要有一条直角边对应相等即可.
2．（2024八下·黎川期中） 如图，，，以下能作为与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴在和中，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC是公共边，根据HL即可证得．
3．（2018-2019学年数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定（4） 同步练习）如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵点P到AB，AC的距离相等，
∴∠PFA=∠PEA=90°，PF=PE，
在Rt△PEA与Rt△PFA中，
∵PE=PF，AP=AP，
∴Rt△PEA≌Rt△PFA（HL）
故答案为：A
【分析】根据题意可得：PE=PF，AP=AP，∠AFP=∠AEP=90°，则我们可以根据HL定理得出三角形全等。
4．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
5．（2023八上·台州期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F，交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：延长BF交AC于点E.
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2
∵BFAD于点F
∴∠AFB=∠AFE=90°
∵AF=AF
∴ABFAEF（ASA）
∴AE=AB=4
∵FGAB
∵∠1=∠3
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴AG=FG
∵∠2+∠5=∠3+∠4
∴∠4=∠5
∴在△GFE中，FG=GE
∴FG=AE=×4=2
故答案为：B.
【分析】做本题时，首先，延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得出∠1=∠2，其次，按照全等三角形的性质得出：AE=AB=4，再次，根据平行线的性质得出：∠1=∠3，推算出：∠2=∠3，AG=FG，从而推算出∠4=∠5，最后推导出：FG=AE=2
6．（2023八上·河东期中）下列说法中正确的个数是（ ）
到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点
在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等；
等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性；全等三角形的应用；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）三角形具有稳定性，说法正确；
（2）到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，说法正确；
（3）在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确；
（4）有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，说法正确；
（5）等腰三角形的顶角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一，说法错误；
故说法正确的有4个，
故答案为： C .
【分析】根据三角形的稳定性、垂直平分线的性质、角平分线的判定，全等三角形的判定，三线合一逐一判断即可解题．
7．（2022八上·永善期中）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC=AD或BC=BD B．AC=AD且BC=BD
C．∠BAC=∠BAD D．以上都不对
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：A.
【分析】根据“HL”得出添加AC=AD或BC=BD，再结合隐含的条件AB=AB，证出Rt△ABC≌Rt△ABD，即可得出答案.
8．（2022八上·杭州期中）如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为
所以
∴，均为直角三角形，
根据已知条件知道已经有一条直角边，
则还需要补充斜边相等即可，
即需要：，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案.
二、填空题
9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线OP就是的平分线.”小明的做法，其理论依据是 .
【答案】角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平分线.
故答案为：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【分析】根据角平分线的判断定理即可证明.
10．（2023八上·墨玉期中） 和一条 分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“ ”．
【答案】一条直角边；斜边；HL
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】一条直角边和一条斜边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL”，
故答案为：一条直角边； 斜边；HL.
【分析】利用“斜边、直角边”证明三角形全等的定义求解即可.
11．（2024八下·榆阳期中）如图，在中，于点D，要使≌，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又∵
∴若根据“HL”判定≌，则需要添加的条件是：，
故答案为：.
【分析】根据"HL"证明三角形全等所需的条件“一条直角边与斜边对应相等的两个直角三角形全等”，即可求解.
12．（2024八下·资阳期末）如图，在中，于点D，F为中点，连接并延长交于E，若，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
又∵BF=AC，DC=DF，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，
∴AD=BD，
又∵DF=DC=1，F为AD的中点，
∴BD=AD=2DF=2，
在Rt△BDF中，
，
又∵BC=BD+CD=3，
，
∴，
故填：
【分析】根据题意读题标量，结合全等判定易判定Rt△BDF≌Rt△ADC，结合勾股定理计算斜边BF/AC，最后利用等积法算出BE的长即可.
三、解答题
13．（2024八下·娄星期末）如图，在中，，点位于上，于点，且．
（1）求证：≌；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
在 和中，
，
≌
（2）解：，，，
，
又≌
，
，
，，
在中，，
，
，
解得 ，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证△ACE≌△AFE；
（2）在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB的值，根据（1）中的全等三角形可得AC=AF，由线段的构成BF=AB-AF、BE=BC-CE求得BF、BE的值，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于EF的方程，解方程求出EF的值，则CE的值可求解.
14．（2024八下·织金期末）已知：如图，，，垂足分别为，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：于点，于点，与相交于点，
，
在和中，
，
≌，
．
（2）解：，，，
，
，
，
的长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）证明∠OMP=∠ONP=90°，再利用“HL”证明△OMP≌△ONP，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质求得OA长，再利用勾股定理求出ON，即可得到OM长.
15．（2024八下·来宾期末） 如图，在中，，为延长线上一点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：为延长线上一点
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
由（1）知：，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据垂直结合题意得到，进而根据直角三角形全等的判定即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意得到∠BAE的度数，再根据三角形全等的性质得到，从而根据即可求解.
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