【提升版】浙教版数学八上2.8 直角三角形的判定同步练习
一、选择题
1．（2024八下·道县月考）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是（ ）
A．7 B．2 C．3 D．5
2．（2024八下·织金期末）如图，于点，于点，且，如果添上一个条件后，可以直接利用“”来证明≌，则这个条件应该是( )
A． B． C． D．
3．（2024·深圳）在如图的三个图形中， 根据尺规作图的痕迹， 能判断射线 平分 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
4．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D.若的面积为8，则的面积是( )
A．8 B．16 C．12 D．24
5．（2024八下·合浦期中）如图，中，，DE为AB的垂直平分线，，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
6．（2024·霍邱模拟） 如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·哈尔滨开学考）如图所示，在△ABC中，，，，AD平分∠BAC交BC于D，，则线段EB的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定
8．（2024七下·乌鲁木齐期中） 如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180° ．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
9．（2024八下·桂林期中） 如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 .
10．（2024八下·榕江月考）如图所示，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为 cm.
11．（2024·长沙模拟）如图，中，D是的中点，，，交于F，，，则 ．
12．（2024八下·丰都县期中） 如图，在中，，，，是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则点到的距离为 ．
三、解答题
13．（2024八下·南城期中） 如图，，E是上的一点，且，，问：与全等吗？请说明理由．
14．（2024八下·防城月考） 如图，已知BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=90°.
（1）求证：AB平分∠EAC；
（2）若AD=1，CD=3，求BD.
15．（2024八下·深圳期中）如图，在中，为边上的垂直平分线，与的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，作于点G.
（1）求证：.
（2）若，，求的长.
四、综合题
16．（2019八上·潮阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．
17．（2020八下·成都期中）如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N.
（1）求证：BM=CN；
（2）若AB=8，AC=4，求BM的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴
∴
又∵，，
∴，，
∴．
故答案为D
【分析】证明，根据全等三角形的性质可得，进而得出答案．
2．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵BC=EF为直角边，故对应的斜边为：AB=DE.
故答案为：B.
【分析】根据“HL”的判定方法，由一组直角边和一组斜边对应相等的两个直角三角形全等，据此可确定另外一组边.
3．【答案】B
【知识点】角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：观察发现①中，以A为圆心作弧交两边于B、C，以B、C为圆心分别作弧交于点D，故射线AD为∠BAC的平分线；
②作的，以B、C为圆心分别作弧，交于两点，两点连线即为线段BC的垂直平分线；
③中AD，以A为圆心作两段弧，交角两边于四点，连接异侧的点交于点D，由对称性可知，OD也是∠BAC的角平分线，
故①③中AD为角平分线，
故选：B.
【分析】根据作图痕迹，判断痕迹的作法，直接判断即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴DC⊥AC，∠CAB=90°-30°=60°，
由作图可知AD平分∠CAB，
∴DC=DE，∠DAE=∠CAB=30°，
∴∠DAE=∠B，
∴AD=BD，AE=BE，
∴DE是△ADB的中线，
∴S△ADB=2S△ADE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴S△ACD=S△AED=8，
∴S△ADB=2×8=16.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质可证得DE=DC，同时可求出∠DAE的度数，可证得∠DAE=∠B，利用等角对等边可证得AD=BD，利用等腰三角形三线合一的性质可证得DE是△ADB的中线，可推出S△ADB=2S△ADE，利用HL可证得Rt△ACD≌Rt△AED，利用全等三角形的面积相等，可求出△AED的面积，即可求出△ABD的面积.
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵为边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，且，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】先根据垂直平分线的性质证出AD=BD，再根据角平分线的判定得到是的角平分线，进而得到，最后利用勾股定理求出AC，得到AB即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
平分，
，
又，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：C
【分析】过点作于点，进而根据角平分线的定义得到，再结合题意运用勾股定理求出AE，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，设，则，再结合题意运用勾股定理即可求解。
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴CD=DE，
∵AD=AD，
∴，
∴AC=AE=4cm，
∴BE=AB-AE=3cm.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DE，根据全等三角形的判定HL即可证明，进而求出AE的长，最后根据BE=AB-AE即可求解。
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【分析】由平行的性质和角平分线可得①正确，同时可得AC||BG，②正确；与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，故③错误；结合角平分线和平行线的性质可得 ∠BDF=180° .
9．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
∴添加AB=CD.
故答案为：AB=CD.
【分析】观察图形可知隐含条件为BC=CB，利用HL证明只需添加两个三角形的斜边相等即可.
10．【答案】12
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵DE⊥BC，
∴∠A=∠BDE=90°，
在Rt△DBE和Rt△ABE中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），
∴AE=ED，
∵AE=12cm，
∴DE=12cm，
故答案为：12.
【分析】先利用“HL”证出Rt△DBE≌Rt△ABE，再利用全等三角形的性质可得DE=AE=12cm，从而得解.
11．【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：连结，，过点E作于点G，
∵D是的中点，，
垂直平分，
，
，，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
，
故答案为：10．
【分析】连结，，过点E作于点G，利用HL证明，得到，设，用x表示出AF，BG的值，建立关于x的方程解方程即可求解.
12．【答案】
【知识点】点到直线的距离；直角三角形全等的判定-HL；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，延长线于点，过作于点，如图所示：
在中，，，，则由勾股定理可得，
，则，
，
，
，
是边上的中线，
，
由翻折可知，，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，解得，即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】连接AE，过点B作BF⊥AC于点F，BG⊥CE延长线于点G，首先证明BD垂直平分线段AE，是直角三角形，证明CE∥BD，可得，，得到相关线段长度，然后在利用等面积法列式求解即可．
13．【答案】解：全等，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据等角对等边得到DE=CE，再根据全等三角形判定定理（HL）即可得证.
14．【答案】（1）证明∵∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠ABE，
∴ ∠ CBD= ∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD (SAS)，
∴ ∠ EAB= ∠BAC
∴ AB平 分 ∠EAC；
（2）解：∵AD=1，CD=3，
∴AC=4.
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
过点B作BF⊥AC于点F，如图：
∴AF=BF=CF=2
∴DF=CD-CF=1，
在Rt△BFD中，由勾股定理得：
BD==
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合角的运算可得到：然后利用"SAS"证明，则，进而即可求证；
（2）证明△ABC为等腰直角三角形，过点B作BF⊥AC于点F，进而求出BF和DF的长度，最后根据勾股定理即可求解.
15．【答案】（1）证明：如图，连接、，
∵平分，，，
∴，.
∵垂直平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴.
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴的长为.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接、，根据角平分线的性质得EF=EG，由垂直平分线的性质得BE=CE，从而用HL可证，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）用HL证明，可得AF=AG，结合（1）的结论可得，即可求得CG长.
16．【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
（2）解：∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意，根据直角三角形全等的判定定理，求出三角形全等即可。
（2）根据DE⊥AB可得出∠DEB是直角，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，据此求得BD的值。
17．【答案】（1）证明：连接BD、CD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN；
（2）解：由(1)得：BM=CN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴AM=AN，
∵AM=AB-BM，AN=AC+CN，
∴AB-BM=AC+CN，
∴2BM=AB-AC=8-4=4，
∴BM=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】 （1）连接BD、CD，利用线段垂直平分线的性质得出BD=CD，利用角平分线的性质得出DM=DN，进而利用HL定理证明△BMD≌△CDN全等即可；
（2）利用（1）的结论，用HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出AM=AN，然后根据线段之间的和差关系推出 2BM=AB-AC，从而求出BM的长．
1 / 1【提升版】浙教版数学八上2.8 直角三角形的判定同步练习
一、选择题
1．（2024八下·道县月考）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是（ ）
A．7 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴
∴
又∵，，
∴，，
∴．
故答案为D
【分析】证明，根据全等三角形的性质可得，进而得出答案．
2．（2024八下·织金期末）如图，于点，于点，且，如果添上一个条件后，可以直接利用“”来证明≌，则这个条件应该是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵BC=EF为直角边，故对应的斜边为：AB=DE.
故答案为：B.
【分析】根据“HL”的判定方法，由一组直角边和一组斜边对应相等的两个直角三角形全等，据此可确定另外一组边.
3．（2024·深圳）在如图的三个图形中， 根据尺规作图的痕迹， 能判断射线 平分 的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【知识点】角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：观察发现①中，以A为圆心作弧交两边于B、C，以B、C为圆心分别作弧交于点D，故射线AD为∠BAC的平分线；
②作的，以B、C为圆心分别作弧，交于两点，两点连线即为线段BC的垂直平分线；
③中AD，以A为圆心作两段弧，交角两边于四点，连接异侧的点交于点D，由对称性可知，OD也是∠BAC的角平分线，
故①③中AD为角平分线，
故选：B.
【分析】根据作图痕迹，判断痕迹的作法，直接判断即可.
4．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D.若的面积为8，则的面积是( )
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴DC⊥AC，∠CAB=90°-30°=60°，
由作图可知AD平分∠CAB，
∴DC=DE，∠DAE=∠CAB=30°，
∴∠DAE=∠B，
∴AD=BD，AE=BE，
∴DE是△ADB的中线，
∴S△ADB=2S△ADE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴S△ACD=S△AED=8，
∴S△ADB=2×8=16.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质可证得DE=DC，同时可求出∠DAE的度数，可证得∠DAE=∠B，利用等角对等边可证得AD=BD，利用等腰三角形三线合一的性质可证得DE是△ADB的中线，可推出S△ADB=2S△ADE，利用HL可证得Rt△ACD≌Rt△AED，利用全等三角形的面积相等，可求出△AED的面积，即可求出△ABD的面积.
5．（2024八下·合浦期中）如图，中，，DE为AB的垂直平分线，，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵为边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，且，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】先根据垂直平分线的性质证出AD=BD，再根据角平分线的判定得到是的角平分线，进而得到，最后利用勾股定理求出AC，得到AB即可.
6．（2024·霍邱模拟） 如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
平分，
，
又，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：C
【分析】过点作于点，进而根据角平分线的定义得到，再结合题意运用勾股定理求出AE，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，设，则，再结合题意运用勾股定理即可求解。
7．（2024八下·哈尔滨开学考）如图所示，在△ABC中，，，，AD平分∠BAC交BC于D，，则线段EB的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴CD=DE，
∵AD=AD，
∴，
∴AC=AE=4cm，
∴BE=AB-AE=3cm.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DE，根据全等三角形的判定HL即可证明，进而求出AE的长，最后根据BE=AB-AE即可求解。
8．（2024七下·乌鲁木齐期中） 如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180° ．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【分析】由平行的性质和角平分线可得①正确，同时可得AC||BG，②正确；与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，故③错误；结合角平分线和平行线的性质可得 ∠BDF=180° .
二、填空题
9．（2024八下·桂林期中） 如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
∴添加AB=CD.
故答案为：AB=CD.
【分析】观察图形可知隐含条件为BC=CB，利用HL证明只需添加两个三角形的斜边相等即可.
10．（2024八下·榕江月考）如图所示，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为 cm.
【答案】12
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵DE⊥BC，
∴∠A=∠BDE=90°，
在Rt△DBE和Rt△ABE中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），
∴AE=ED，
∵AE=12cm，
∴DE=12cm，
故答案为：12.
【分析】先利用“HL”证出Rt△DBE≌Rt△ABE，再利用全等三角形的性质可得DE=AE=12cm，从而得解.
11．（2024·长沙模拟）如图，中，D是的中点，，，交于F，，，则 ．
【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：连结，，过点E作于点G，
∵D是的中点，，
垂直平分，
，
，，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
，
故答案为：10．
【分析】连结，，过点E作于点G，利用HL证明，得到，设，用x表示出AF，BG的值，建立关于x的方程解方程即可求解.
12．（2024八下·丰都县期中） 如图，在中，，，，是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则点到的距离为 ．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；直角三角形全等的判定-HL；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，延长线于点，过作于点，如图所示：
在中，，，，则由勾股定理可得，
，则，
，
，
，
是边上的中线，
，
由翻折可知，，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，解得，即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】连接AE，过点B作BF⊥AC于点F，BG⊥CE延长线于点G，首先证明BD垂直平分线段AE，是直角三角形，证明CE∥BD，可得，，得到相关线段长度，然后在利用等面积法列式求解即可．
三、解答题
13．（2024八下·南城期中） 如图，，E是上的一点，且，，问：与全等吗？请说明理由．
【答案】解：全等，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据等角对等边得到DE=CE，再根据全等三角形判定定理（HL）即可得证.
14．（2024八下·防城月考） 如图，已知BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=90°.
（1）求证：AB平分∠EAC；
（2）若AD=1，CD=3，求BD.
【答案】（1）证明∵∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠ABE，
∴ ∠ CBD= ∠ABE，
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD (SAS)，
∴ ∠ EAB= ∠BAC
∴ AB平 分 ∠EAC；
（2）解：∵AD=1，CD=3，
∴AC=4.
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
过点B作BF⊥AC于点F，如图：
∴AF=BF=CF=2
∴DF=CD-CF=1，
在Rt△BFD中，由勾股定理得：
BD==
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合角的运算可得到：然后利用"SAS"证明，则，进而即可求证；
（2）证明△ABC为等腰直角三角形，过点B作BF⊥AC于点F，进而求出BF和DF的长度，最后根据勾股定理即可求解.
15．（2024八下·深圳期中）如图，在中，为边上的垂直平分线，与的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，作于点G.
（1）求证：.
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：如图，连接、，
∵平分，，，
∴，.
∵垂直平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴.
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴的长为.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接、，根据角平分线的性质得EF=EG，由垂直平分线的性质得BE=CE，从而用HL可证，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）用HL证明，可得AF=AG，结合（1）的结论可得，即可求得CG长.
四、综合题
16．（2019八上·潮阳期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
（2）解：∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意，根据直角三角形全等的判定定理，求出三角形全等即可。
（2）根据DE⊥AB可得出∠DEB是直角，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，据此求得BD的值。
17．（2020八下·成都期中）如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N.
（1）求证：BM=CN；
（2）若AB=8，AC=4，求BM的长.
【答案】（1）证明：连接BD、CD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN；
（2）解：由(1)得：BM=CN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴AM=AN，
∵AM=AB-BM，AN=AC+CN，
∴AB-BM=AC+CN，
∴2BM=AB-AC=8-4=4，
∴BM=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】 （1）连接BD、CD，利用线段垂直平分线的性质得出BD=CD，利用角平分线的性质得出DM=DN，进而利用HL定理证明△BMD≌△CDN全等即可；
（2）利用（1）的结论，用HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出AM=AN，然后根据线段之间的和差关系推出 2BM=AB-AC，从而求出BM的长．
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