【提升版】浙教版数学八上2.2 等腰三角形同步练习
一、选择题
1．（2024八上·越秀月考）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．（2024·金坛模拟）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形ABCD形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线AC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022八上·覃塘期末）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．对顶角的余角相等
B．三角形必有一个内角不小于60°
C．同旁内角必定互补
D．等边三角形必有三条对称轴
4．（2022·宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
5．（2024八下·渠县期中）已知一个等腰三角形的两边长度之比为1：4，且周长是18cm，那么第三边的长度为（ ）
A．2cm B．3cm C．3cm或8cm D．8cm
6．（2020九上·宁阳期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
7．（2024七下·镇平县月考）已知一个等腰三角形的两条边长分别为2和8，则此等腰三角形的周长为 ．
8．（2024·重庆市模拟）已知等腰三角形的两边满足，则等腰三角形的周长为 ．
9．（2023八上·桦甸期中）若等边三角形的周长为，则边长为 ．
10．（2023八上·武汉月考）如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则这个六边形的周长是 ．
三、作图题
11．（2024九下·长春月考）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹.
（1）在图①中以AB为边画一个面积为3的等腰三角形ABC；
（2）在图②中以AB为边画一个面积为3的钝角三角形ABD；
（3）在图③中在线段CD上找一点E，画一个面积为4的.
四、解答题
12．（2021七下·杨浦期末）如图，已知与都是等边三角形，点D在边上，说明的理由．
解：因为是等边三角形（已知），
所以，（等边三角形的意义）
因为是等边三角形（已知）
所以（等边三角形的意义）
所以（等式性质）
得 ▲
在与中；
所以（ ）
所以 ▲ （ ）
又因为，
所以 ▲ （等量代换）
所以（ ）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①当为等腰底边时，如图，线段AB的垂直平分线与网格的交点均不在格点上，则符合条件的C点有0个；
②当为等腰直角的腰时，如图，分别以AB为圆心，以AB的长为半径画弧，所交格点如图所示，符合条件的C点有8个；
故共有8个点．
故选：C．
【分析】分两种情况：为底边和为腰两种情况，据此分别画出图形，利用图形即得结论．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=3，BC=4，
∴AB=AC=3或CB=CA=4，
∵AD=CD=2，
当AB=AC=3时，2+2>3，能构成△ACD，
当CB=CA=4时，2+2=4，不能构成△ACD，
∴对角线AC的长是3.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的定义先分类讨论，再结合三角形三边关系进行判断求解.
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、设是对顶角，因为，所以，即对顶角的余角相等，此命题是真命题，选项不符合题意；
B、若三角形的三个内角都小于60°，则三角形的内角和小于180°，与三角形内角和是180°矛盾；所以“三角形必有一个内角不小于60°”是真命题，选项不符合题意；
C、只有当两直线平行时，同旁内角互补，故原说法错误，是假命题，选项符合题意；
D、因为等边三角形的三条边相等，三个角相等，所以角的平分线所在直线是对称轴，又因为等边三角形顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，所以等边三角形必有三条对称轴；此命题是真命题，选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的性质、三角形内角和定理、平行线的性质、轴对称图形的概念判断即可．
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm.
故答案为：D.
【分析】分腰长为3、腰长为5，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此不难求出周长.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 等腰三角形的两边长度之比为1：4，
∴腰长与底边长的比为4：1，
∵ 等腰三角形的周长是18cm，
∴第三边的长为：18×=8cm.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的两边长度之比为1：4， 结合三角形的三边关系可得腰长与底边长的比为4：1，由三角形的周长是18cm继而求解.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：C．
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
7．【答案】18
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰长为8时，等腰三角形三边长为：8，8，2，根据三角形三边关系，可以构成三角形，则周长为，
当腰长为2时，三边为：8，2，2，根据三角形三边关系：2+2=4＜8，故不能构成三角形．
等腰三角形的周长为，
故答案为：18．
【分析】根据等腰三角形的定义，本题根据腰长分两种情况讨论，当腰长为2或腰长为8两种情况，然后根据三角形三边关系：两边之和大于第三边判定是否构成三角形，三边构成三角形后再代入周长计算公式：三角形周长=三边相加，代入数据计算即可得到答案．
8．【答案】23
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：根据算术平方根和绝对值的非负性可得，，
①腰为，
，不符合三角形任意两边之和大于第三边，
该情况舍去；
②腰为，
此时满足三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
该情况成立，
等腰三角形周长为．
故答案为：．
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性得到a、b的值，分情况讨论，利用三角形三边关系和等腰三角形定义判断出三边长度后即可求解．
9．【答案】1
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边三角形的周长为，
∴等边三角形的边长为：3÷3=1（cm），
故答案为：1.
【分析】根据等边三角形的周长公式计算求解即可。
10．【答案】60
【知识点】等边三角形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设右下角的等边三角形的边长为x， 且中间的小等边三角形的边长是2，
∴其它等边三角形的边长分别为：x，x，x+2，x+2，x+4，x+4，x+6，
由图形得：x+6=2x，
解得：x=6，
∴ 这个六边形的周长是x+x+ x+2+x+2+x+4+x+4+x+6=60.
故答案为：60.
【分析】设右下角的等边三角形的边长为x，设右下角的等边三角形的边长为x， 则其它等边三角形的边长分别为x，x，x+2，x+2，x+4，x+4，x+6，根据图形中边长关系列出方程并解之即可.
11．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；尺规作图-作三角形；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可；
（2）画一个底为2，高为3的钝角三角形即可；
（3）利用分割法作出一个面积为4的△ABF，再平移AB，使点B和点F重合，平移的线段交CD于点E，根据“同底等高”可知△ABE即为所求；
12．【答案】解：因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形的性质）．
因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形的性质）．
所以（等式性质），
得．
在与中，，
所以．
所以（全等三角形的对应角相等）．
又因为，
所以（等量代换）．
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为，全等三角形的对应角相等；，内错角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得，，利用等式的性质可求出，根据SAS证明△AB的≌△CBE， 利用全等三角形的对应角相等可得∠A=∠BCE，由可得，根据内错角相等，两直线平行即证结论.
1 / 1【提升版】浙教版数学八上2.2 等腰三角形同步练习
一、选择题
1．（2024八上·越秀月考）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①当为等腰底边时，如图，线段AB的垂直平分线与网格的交点均不在格点上，则符合条件的C点有0个；
②当为等腰直角的腰时，如图，分别以AB为圆心，以AB的长为半径画弧，所交格点如图所示，符合条件的C点有8个；
故共有8个点．
故选：C．
【分析】分两种情况：为底边和为腰两种情况，据此分别画出图形，利用图形即得结论．
2．（2024·金坛模拟）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形ABCD形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线AC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=3，BC=4，
∴AB=AC=3或CB=CA=4，
∵AD=CD=2，
当AB=AC=3时，2+2>3，能构成△ACD，
当CB=CA=4时，2+2=4，不能构成△ACD，
∴对角线AC的长是3.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的定义先分类讨论，再结合三角形三边关系进行判断求解.
3．（2022八上·覃塘期末）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．对顶角的余角相等
B．三角形必有一个内角不小于60°
C．同旁内角必定互补
D．等边三角形必有三条对称轴
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、设是对顶角，因为，所以，即对顶角的余角相等，此命题是真命题，选项不符合题意；
B、若三角形的三个内角都小于60°，则三角形的内角和小于180°，与三角形内角和是180°矛盾；所以“三角形必有一个内角不小于60°”是真命题，选项不符合题意；
C、只有当两直线平行时，同旁内角互补，故原说法错误，是假命题，选项符合题意；
D、因为等边三角形的三条边相等，三个角相等，所以角的平分线所在直线是对称轴，又因为等边三角形顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，所以等边三角形必有三条对称轴；此命题是真命题，选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的性质、三角形内角和定理、平行线的性质、轴对称图形的概念判断即可．
4．（2022·宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm.
故答案为：D.
【分析】分腰长为3、腰长为5，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此不难求出周长.
5．（2024八下·渠县期中）已知一个等腰三角形的两边长度之比为1：4，且周长是18cm，那么第三边的长度为（ ）
A．2cm B．3cm C．3cm或8cm D．8cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 等腰三角形的两边长度之比为1：4，
∴腰长与底边长的比为4：1，
∵ 等腰三角形的周长是18cm，
∴第三边的长为：18×=8cm.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的两边长度之比为1：4， 结合三角形的三边关系可得腰长与底边长的比为4：1，由三角形的周长是18cm继而求解.
6．（2020九上·宁阳期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：C．
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
二、填空题
7．（2024七下·镇平县月考）已知一个等腰三角形的两条边长分别为2和8，则此等腰三角形的周长为 ．
【答案】18
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰长为8时，等腰三角形三边长为：8，8，2，根据三角形三边关系，可以构成三角形，则周长为，
当腰长为2时，三边为：8，2，2，根据三角形三边关系：2+2=4＜8，故不能构成三角形．
等腰三角形的周长为，
故答案为：18．
【分析】根据等腰三角形的定义，本题根据腰长分两种情况讨论，当腰长为2或腰长为8两种情况，然后根据三角形三边关系：两边之和大于第三边判定是否构成三角形，三边构成三角形后再代入周长计算公式：三角形周长=三边相加，代入数据计算即可得到答案．
8．（2024·重庆市模拟）已知等腰三角形的两边满足，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】23
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：根据算术平方根和绝对值的非负性可得，，
①腰为，
，不符合三角形任意两边之和大于第三边，
该情况舍去；
②腰为，
此时满足三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
该情况成立，
等腰三角形周长为．
故答案为：．
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性得到a、b的值，分情况讨论，利用三角形三边关系和等腰三角形定义判断出三边长度后即可求解．
9．（2023八上·桦甸期中）若等边三角形的周长为，则边长为 ．
【答案】1
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边三角形的周长为，
∴等边三角形的边长为：3÷3=1（cm），
故答案为：1.
【分析】根据等边三角形的周长公式计算求解即可。
10．（2023八上·武汉月考）如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则这个六边形的周长是 ．
【答案】60
【知识点】等边三角形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设右下角的等边三角形的边长为x， 且中间的小等边三角形的边长是2，
∴其它等边三角形的边长分别为：x，x，x+2，x+2，x+4，x+4，x+6，
由图形得：x+6=2x，
解得：x=6，
∴ 这个六边形的周长是x+x+ x+2+x+2+x+4+x+4+x+6=60.
故答案为：60.
【分析】设右下角的等边三角形的边长为x，设右下角的等边三角形的边长为x， 则其它等边三角形的边长分别为x，x，x+2，x+2，x+4，x+4，x+6，根据图形中边长关系列出方程并解之即可.
三、作图题
11．（2024九下·长春月考）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹.
（1）在图①中以AB为边画一个面积为3的等腰三角形ABC；
（2）在图②中以AB为边画一个面积为3的钝角三角形ABD；
（3）在图③中在线段CD上找一点E，画一个面积为4的.
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；尺规作图-作三角形；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可；
（2）画一个底为2，高为3的钝角三角形即可；
（3）利用分割法作出一个面积为4的△ABF，再平移AB，使点B和点F重合，平移的线段交CD于点E，根据“同底等高”可知△ABE即为所求；
四、解答题
12．（2021七下·杨浦期末）如图，已知与都是等边三角形，点D在边上，说明的理由．
解：因为是等边三角形（已知），
所以，（等边三角形的意义）
因为是等边三角形（已知）
所以（等边三角形的意义）
所以（等式性质）
得 ▲
在与中；
所以（ ）
所以 ▲ （ ）
又因为，
所以 ▲ （等量代换）
所以（ ）
【答案】解：因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形的性质）．
因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形的性质）．
所以（等式性质），
得．
在与中，，
所以．
所以（全等三角形的对应角相等）．
又因为，
所以（等量代换）．
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为，全等三角形的对应角相等；，内错角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得，，利用等式的性质可求出，根据SAS证明△AB的≌△CBE， 利用全等三角形的对应角相等可得∠A=∠BCE，由可得，根据内错角相等，两直线平行即证结论.
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