浙教版数学八上第2章 特殊三角形 一阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021八上·盂县期中）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八上·永登期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
3．（2020八上·嘉兴期末） 中， ，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．（2020八上·本溪期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
5．（2018八上·宝安月考）如图，已知 AB⊥CD，△ABD，△BCE 都是等腰直角三角形， 如果 CD=8，BE=3，则 AC 等于（ ）
A．8 B．5 C．3 D．
6．（2021八上·龙湾期中）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2023八上·义乌期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1＝2，S2＝8，S4＝3，则S3的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2021八上·沈阳期中）已知 ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则 ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
9．（2023八上·龙岗期中）如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（ ）
A． B． C．4 D．
10．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则∠ABC与∠C的关系为（ ）
A．∠ABC=2∠C B．∠ABC= ∠C
C． ∠ABC=∠C D．∠ABC=3∠C
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2016八上·嵊州期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
12．（2024八下·桂平期末）在中，是斜边的中点，若，则的长是 ．
13．（2024八下·章贡期末）写出一组勾股数 ．
14．（2023九上·北京市开学考） 如图，网格中每个小正方形的边长均为，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为 ．
15．（2024八下·娄星期末）如图，已知P是∠AOB平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则△OPC的面积等于 ．
16．（2019八上·徐州月考）如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为 度.
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题7分，第21题10分，第22题12分，第23题7分，第24题12分，共66分）
17．（2024八下·天河期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 和 . 求这个直角三角形的斜边长和面积.
18．（2023八下·澄海期末）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
19．（2024七下·南明月考）如图所示，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P.
（1）试说明：BF=CE；
（2）求∠BPC的度数.
20．（2024八下·港南期末）综合与实践
某实践探究小组在放风筝时想测量风箏离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在中，，，．求线段的长．
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
21．（2024七下·南昌期末）如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形．
（1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形．
（2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数．
（3）利用图1探究：
①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系．
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由．
22．（2022八下·綦江期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
23．（2023八下·珠海期中）如图，在中，，D为的中点，于点E，于点F，且，连接，点G在的延长线上，且．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
24．（2016八上·江东期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故答案为：C．
【分析】 轴对称图形是指一条轴线的两边完全对称的图形，形状都完全对称。 根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
3．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠C=90°
∴ ∠A+∠B=90°
又∵ ∠B-∠A=30°
∴ ∠B-30°+∠B=90°
∴ ∠B=60°
故答案为： B.
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠A和∠B互余，代入∠B-∠A=30°，即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴ （米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故答案为：C．
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】因为CB=BE=3，所以 BD=BA=8-3=5，所以AC= .
故答案为：D
【分析】等腰三角形的性质，两腰相等。再在△ABC中，利用勾股定理即可求出AC。
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC于D，
由网格特征和勾股定理可得，，
S△ABC＝BC AD，
，
∴AD＝，
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥BC于D，由勾股定理可得BC的值，根据面积间的和差关系可得S△ABC=SMECF-S△ABM-S△BEC-S△ACF，结合三角形、矩形的面积公式可得S△ABC，然后利用三角形的面积公式可得AD的值.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC2=BC2+AB2=CD2+AD2，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S3=2+8-3=7，
故答案为：B.
【分析】连接AC，根据正方形的面积和勾股定理得出AC2=BC2+AB2=CD2+AD2，从而得出S1+S2=S3+S4，求出S3的值，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，
∴a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：A．
【分析】根据（a-b）（c2-a2-b2）=0，得出a=b或a2+b2=c2，求出a、b、c之间的数量关系进行判断。
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DG：GE=1：3，GE=GF，
∴DE=4DG，GF=3DG，
∵∠D=90°，
∴DF=DG，
∴EF=DG=，
∴DG=，
∴DF=4，
∵S△EGF=EG·DF=EG·QM+FG·QN=EG（QM+QN），
∴QM+QN=DF=4.
故答案为：C.
【分析】先求出DF的长，再利用三角形的面积得出S△EGF=EG·DF=EG（QM+QN），从而得出QM+QN=DF，即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】证明：延长BM，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，
∴∠BAM=∠EAM，∠AMB=∠AME
又∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM，
∴BM=ME，AE=AB，∠AEB=∠ABE，
∴BE=BM+ME=4，AE=AB=5，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∴CE=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC=∠C，
又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC.
∴∠ABE=2∠C，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C.
故答案为：D.
【分析】延长BM到E，证明△ABF≌△AEM，利用线段长度推出△BCE是等腰三角形，再根据角度转换求出即可.
11．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
12．【答案】6.5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，是斜边的中点，且，
∴CD=AB=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此解答即可.
13．【答案】3，4，5(答案不唯一)
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：∵32+42=52，且3，4，5均为正整数，
∴3，4，5是 一组勾股数 .
故答案为：3，4，5(答案不唯一).
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此解答即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】连接AD，如图所示：
∵以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，
∴AD=AB=3，
在Rt△AED中，由勾股定理可得：AE2+ED2=AD2，
∴，
故答案为：.
【分析】先求出AD=AB=3，再利用勾股定理求出ED的长即可.
15．【答案】9
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，
∵∠AOP=15°，OP平分∠AOB，
∴∠BOP=∠AOP=15°，
∵PC∥OB，
∴∠BOP=∠OPC=15°=∠AOP，
∴∠PCE=∠OPC+∠COP=30°，OC=PC=6，
∵PE⊥OA，
∴∠PEC=90°，
∴PE=PC=3，
∴S△OPC=OC·PE=×6×3=9.
故答案为：9.
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，由角平分线定义和平行线的性质可得∠BOP=∠AOP=∠OPC，由等角对等边可得OC=PC，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠PCE=∠OPC+∠COP=30°，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得PE=PC，再根据三角形的面积公式S△OPC=OC·PE计算即可求解.
16．【答案】108
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：108.
【分析】连接OB、OC，由角平分线的定义得∠BAO=∠BAC可求得∠BAO的度数，由等边对等角和三角形内角和定理得∠ABC=（180°-∠BAC）可求得∠ABC的度数，结合已知用边角边可证△AOB≌△AOC，由全等三角形的性质得OB=OC，由线段的垂直平分线的判定可得点O在BC的垂直平分线上，结合已知可得点O是△ABC的外心，则∠OCB=∠OBC，由折叠的性质可得OE=CE，由等边对等角可得∠COE=∠OCB，在△OCE中，用三角形内角和定理可求解.
17．【答案】解：由题意得斜边为，
面积为；
∴这个直角三角形的斜边长为，面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出这个直角三角形的斜边长，进而根据三角形的面积结合题意即可求解。
18．【答案】∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理可得AC的值，结合勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，且∠CAD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
19．【答案】（1）解：因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠EBC，AB=BC.
在△ABF和△BCE中，因为AF=BE，∠A=∠EBC，AB=BC，
所以△ABF≌△BCE(SAS).所以BF=CE.
（2）解：因为△ABF≌△BCE，所以∠ABF=∠BCE.
因为∠ABF+∠FBC=60°，所以∠BCE+∠FBC=60°.
所以∠BPC=180°-(∠BCE+∠FBC)=180°-60°=120°.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠EBC，AB=BC，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABF≌△BCE(SAS)得到BF=CE；
（2）先根据三角形全等的性质得到∠ABF=∠BCE，进而等量代换得到∠BCE+∠FBC=60°，再根据三角形内角和定理进行角的运算即可求解。
20．【答案】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，则；
（2）解：风箏沿方向再上升12米后，风筝的高度为20米，
则此时风筝线的长为：（米），（米），
答：他应该再放出8米线．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC，进而求出AD；
（2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案.
21．【答案】（1）等边三角形，画图见解析；
（2），，；
（3）①，，；②均不存在
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：（1）等边三角形，如图2所示，理由如下：
由题意得：
同理可知，
∴
∴是等边三角形；
（2）如图3所示，
∵∠A=50°
∴
∴，
∵
∴，
即
解得∠ADF=65°
∴，
∴，同理，
∴，，；
（3）如图1①在和中，由三角形内角和定理，得：
，
∵
∴
解得
∴
∴，
同理可证，；
②在直角三角形中，当时，要使，则
∴在直角三角形中，不存在反射三角形
在钝角三角形中，当时，要使，则
∴在钝角三角形中，不存在反射三角形．
【分析】 （1）根据等边三角形的反射三角形的关系，可求出反射三角形各内角的度数，即可推出 反射三角形的形状 ；
（2）先利用三角形内角和为180°，得到，根据三角形内角和为180°可列出关于∠ADF的等式，并求出∠ADF=65°，在根据平角度数我180°，即可 求出各个角的度数 ；
（3）①根据三角形内角和定理，分别表示出和，然后根据三角形内角和定理可得=，即可求证；
②根据反射三角形对角的关系及①中结论，在结合三角形内角和为180°，即可判断 在直角三角形和钝角三角形中，不存在反射三角形 ．
22．【答案】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴×300×400＝×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），
∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）.
答：台风影响该海港持续的时间为小时.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，则AC2+BC2＝AB2，结合勾股定理逆定理解答即可；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据△ABC的面积公式可得CD的值，然后与260进行比较即可判断；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，根据等腰三角形的性质可得EF=2ED，由勾股定理求出ED，据此得到EF，然后除以速度可得时间.
23．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：由（1）知， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先证出，可得，利用等角对等边可得，再结合，可得，即可证出 是等边三角形；
（2）连接 ，则 ，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再求出即可。
24．【答案】（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= = =2 （cm）
（2）解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8﹣t，
解得：t= ；
即出发时间为 秒时，△PQB是等腰三角形
（3）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= = =4.8（cm）
∴CE= =3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
1 / 1浙教版数学八上第2章 特殊三角形 一阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021八上·盂县期中）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故答案为：C．
【分析】 轴对称图形是指一条轴线的两边完全对称的图形，形状都完全对称。 根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2019八上·永登期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
3．（2020八上·嘉兴期末） 中， ，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠C=90°
∴ ∠A+∠B=90°
又∵ ∠B-∠A=30°
∴ ∠B-30°+∠B=90°
∴ ∠B=60°
故答案为： B.
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠A和∠B互余，代入∠B-∠A=30°，即可得到答案.
4．（2020八上·本溪期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴ （米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故答案为：C．
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
5．（2018八上·宝安月考）如图，已知 AB⊥CD，△ABD，△BCE 都是等腰直角三角形， 如果 CD=8，BE=3，则 AC 等于（ ）
A．8 B．5 C．3 D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】因为CB=BE=3，所以 BD=BA=8-3=5，所以AC= .
故答案为：D
【分析】等腰三角形的性质，两腰相等。再在△ABC中，利用勾股定理即可求出AC。
6．（2021八上·龙湾期中）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC于D，
由网格特征和勾股定理可得，，
S△ABC＝BC AD，
，
∴AD＝，
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥BC于D，由勾股定理可得BC的值，根据面积间的和差关系可得S△ABC=SMECF-S△ABM-S△BEC-S△ACF，结合三角形、矩形的面积公式可得S△ABC，然后利用三角形的面积公式可得AD的值.
7．（2023八上·义乌期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1＝2，S2＝8，S4＝3，则S3的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC2=BC2+AB2=CD2+AD2，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S3=2+8-3=7，
故答案为：B.
【分析】连接AC，根据正方形的面积和勾股定理得出AC2=BC2+AB2=CD2+AD2，从而得出S1+S2=S3+S4，求出S3的值，即可得出答案.
8．（2021八上·沈阳期中）已知 ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则 ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，
∴a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：A．
【分析】根据（a-b）（c2-a2-b2）=0，得出a=b或a2+b2=c2，求出a、b、c之间的数量关系进行判断。
9．（2023八上·龙岗期中）如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DG：GE=1：3，GE=GF，
∴DE=4DG，GF=3DG，
∵∠D=90°，
∴DF=DG，
∴EF=DG=，
∴DG=，
∴DF=4，
∵S△EGF=EG·DF=EG·QM+FG·QN=EG（QM+QN），
∴QM+QN=DF=4.
故答案为：C.
【分析】先求出DF的长，再利用三角形的面积得出S△EGF=EG·DF=EG（QM+QN），从而得出QM+QN=DF，即可得出答案.
10．（2020八上·濉溪期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则∠ABC与∠C的关系为（ ）
A．∠ABC=2∠C B．∠ABC= ∠C
C． ∠ABC=∠C D．∠ABC=3∠C
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】证明：延长BM，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，
∴∠BAM=∠EAM，∠AMB=∠AME
又∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM，
∴BM=ME，AE=AB，∠AEB=∠ABE，
∴BE=BM+ME=4，AE=AB=5，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∴CE=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC=∠C，
又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC.
∴∠ABE=2∠C，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C.
故答案为：D.
【分析】延长BM到E，证明△ABF≌△AEM，利用线段长度推出△BCE是等腰三角形，再根据角度转换求出即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2016八上·嵊州期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
12．（2024八下·桂平期末）在中，是斜边的中点，若，则的长是 ．
【答案】6.5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，是斜边的中点，且，
∴CD=AB=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此解答即可.
13．（2024八下·章贡期末）写出一组勾股数 ．
【答案】3，4，5(答案不唯一)
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：∵32+42=52，且3，4，5均为正整数，
∴3，4，5是 一组勾股数 .
故答案为：3，4，5(答案不唯一).
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此解答即可.
14．（2023九上·北京市开学考） 如图，网格中每个小正方形的边长均为，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】连接AD，如图所示：
∵以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，
∴AD=AB=3，
在Rt△AED中，由勾股定理可得：AE2+ED2=AD2，
∴，
故答案为：.
【分析】先求出AD=AB=3，再利用勾股定理求出ED的长即可.
15．（2024八下·娄星期末）如图，已知P是∠AOB平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则△OPC的面积等于 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，
∵∠AOP=15°，OP平分∠AOB，
∴∠BOP=∠AOP=15°，
∵PC∥OB，
∴∠BOP=∠OPC=15°=∠AOP，
∴∠PCE=∠OPC+∠COP=30°，OC=PC=6，
∵PE⊥OA，
∴∠PEC=90°，
∴PE=PC=3，
∴S△OPC=OC·PE=×6×3=9.
故答案为：9.
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，由角平分线定义和平行线的性质可得∠BOP=∠AOP=∠OPC，由等角对等边可得OC=PC，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠PCE=∠OPC+∠COP=30°，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得PE=PC，再根据三角形的面积公式S△OPC=OC·PE计算即可求解.
16．（2019八上·徐州月考）如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为 度.
【答案】108
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：108.
【分析】连接OB、OC，由角平分线的定义得∠BAO=∠BAC可求得∠BAO的度数，由等边对等角和三角形内角和定理得∠ABC=（180°-∠BAC）可求得∠ABC的度数，结合已知用边角边可证△AOB≌△AOC，由全等三角形的性质得OB=OC，由线段的垂直平分线的判定可得点O在BC的垂直平分线上，结合已知可得点O是△ABC的外心，则∠OCB=∠OBC，由折叠的性质可得OE=CE，由等边对等角可得∠COE=∠OCB，在△OCE中，用三角形内角和定理可求解.
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题7分，第21题10分，第22题12分，第23题7分，第24题12分，共66分）
17．（2024八下·天河期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 和 . 求这个直角三角形的斜边长和面积.
【答案】解：由题意得斜边为，
面积为；
∴这个直角三角形的斜边长为，面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出这个直角三角形的斜边长，进而根据三角形的面积结合题意即可求解。
18．（2023八下·澄海期末）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理可得AC的值，结合勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，且∠CAD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
19．（2024七下·南明月考）如图所示，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P.
（1）试说明：BF=CE；
（2）求∠BPC的度数.
【答案】（1）解：因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠EBC，AB=BC.
在△ABF和△BCE中，因为AF=BE，∠A=∠EBC，AB=BC，
所以△ABF≌△BCE(SAS).所以BF=CE.
（2）解：因为△ABF≌△BCE，所以∠ABF=∠BCE.
因为∠ABF+∠FBC=60°，所以∠BCE+∠FBC=60°.
所以∠BPC=180°-(∠BCE+∠FBC)=180°-60°=120°.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠EBC，AB=BC，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABF≌△BCE(SAS)得到BF=CE；
（2）先根据三角形全等的性质得到∠ABF=∠BCE，进而等量代换得到∠BCE+∠FBC=60°，再根据三角形内角和定理进行角的运算即可求解。
20．（2024八下·港南期末）综合与实践
某实践探究小组在放风筝时想测量风箏离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在中，，，．求线段的长．
（2）如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，则；
（2）解：风箏沿方向再上升12米后，风筝的高度为20米，
则此时风筝线的长为：（米），（米），
答：他应该再放出8米线．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC，进而求出AD；
（2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案.
21．（2024七下·南昌期末）如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形．
（1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形．
（2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数．
（3）利用图1探究：
①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系．
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）等边三角形，画图见解析；
（2），，；
（3）①，，；②均不存在
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：（1）等边三角形，如图2所示，理由如下：
由题意得：
同理可知，
∴
∴是等边三角形；
（2）如图3所示，
∵∠A=50°
∴
∴，
∵
∴，
即
解得∠ADF=65°
∴，
∴，同理，
∴，，；
（3）如图1①在和中，由三角形内角和定理，得：
，
∵
∴
解得
∴
∴，
同理可证，；
②在直角三角形中，当时，要使，则
∴在直角三角形中，不存在反射三角形
在钝角三角形中，当时，要使，则
∴在钝角三角形中，不存在反射三角形．
【分析】 （1）根据等边三角形的反射三角形的关系，可求出反射三角形各内角的度数，即可推出 反射三角形的形状 ；
（2）先利用三角形内角和为180°，得到，根据三角形内角和为180°可列出关于∠ADF的等式，并求出∠ADF=65°，在根据平角度数我180°，即可 求出各个角的度数 ；
（3）①根据三角形内角和定理，分别表示出和，然后根据三角形内角和定理可得=，即可求证；
②根据反射三角形对角的关系及①中结论，在结合三角形内角和为180°，即可判断 在直角三角形和钝角三角形中，不存在反射三角形 ．
22．（2022八下·綦江期末）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴×300×400＝×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），
∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）.
答：台风影响该海港持续的时间为小时.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，则AC2+BC2＝AB2，结合勾股定理逆定理解答即可；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据△ABC的面积公式可得CD的值，然后与260进行比较即可判断；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，根据等腰三角形的性质可得EF=2ED，由勾股定理求出ED，据此得到EF，然后除以速度可得时间.
23．（2023八下·珠海期中）如图，在中，，D为的中点，于点E，于点F，且，连接，点G在的延长线上，且．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：由（1）知， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先证出，可得，利用等角对等边可得，再结合，可得，即可证出 是等边三角形；
（2）连接 ，则 ，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再求出即可。
24．（2016八上·江东期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= = =2 （cm）
（2）解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8﹣t，
解得：t= ；
即出发时间为 秒时，△PQB是等腰三角形
（3）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= = =4.8（cm）
∴CE= =3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
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