浙教版数学八上第2章 特殊三角形 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020八下·北京期中）下列长度的三条线段，能成为一个直角三角形的三边的一组是（ ）
A． B．1，2， C．2，4， D．9，16，25
2．（2022八下·庐江期中）若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．5或7 D．5或
3．（2023·云南）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
4．（2016八下·东莞期中）有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（ ）
A．2，4，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12
5．（2023八下·阳泉期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，连接BE，分别以B、E为圆心，以大于BE的长为半径作弧，两弧交于点M、N，若直线MN恰好过点C，则AB的长度为（ ）
A． B． C． D．2
7．（2024八下·来宾期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·雨花期末）如图，每个小正方形的边长都相等，是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·宁明模拟）如图，在等边中，，D，E分别是边，上的动点，且，连接，交于点F，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·三水期中）如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·博罗期末）一个直角三角形的两条边长分别为4和5，则第三边长为 .
12．（2023七下·揭东期末）等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是 ．
13．（2024八下·花溪月考）如图，一块形如“Z”字形的铁皮，每个角都是直角，且AB＝BC＝EF＝GF＝1，CD＝DE＝GH＝AH＝3，则AF＝ .
14．（2024八下·柳州期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.若，AB=5，则的周长是 .
15．（2024·昌吉模拟）如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，则的最小值为 ．
16．（2024八下·宝安期中）如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024八下·博罗期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2.
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
18．（2024八下·博罗期末）如图，在4x3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
（1）分别求出线段AB、CD的长度；
（2）在图中画出线段EF、使得EF的长为，以AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.
19．（2024八下·隆回期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度如图，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
20．（2024七下·克孜勒苏柯尔克孜月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺EFG（，）”为主题开展数学活动．
（1）如图（1），若三角尺的角的顶点G放在CD上，若，求的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明与间的数量关系．
21．（2024八下·慈溪期中）阅读与思考
如图 1 所示的是一座钢铁桥梁， 为了计算其中一个三角形钢架的面积， 小明想办法测量出三边的长度 米， 米， 米， 如何求三角形 钢架的面积 下面是甲， 乙两位同学的解题思路， 分别根据甲、乙两位同学的解题思路求 的面积.
（1）甲同学： 我们知道， 已知 的三边长 ， 设 ， 即 为 周长的一半， 那么利用海伦公式 就可求出 的面积.
（2）乙同学： 如图 2 ， 过点 作 于点 ， 设BD=x米， 然后用含 的代数式表示出 ，根据勾股定理， 利用 作为“桥梁”建立方程， 利用勾股定理求出 的长， 再计算 的面积.
22．（2020八上·长清期中）如图，一个梯子 长25米，顶端 靠在墙 上（墙与地面垂直），这时梯子下端 与墙角 距离为7米．
（1）求梯子顶端 与地面的距离 的长；
（2）若梯子的顶端 下滑到 ，使 ，求梯子的下端 滑动的距离 的长．
23．已知 为平面内一点， 于点 ．
（1） 如图 1 所示， 直接写出 和 之间的数量关系．
（2） 如图 2 所示， 过点 作 于点 ， 求证： ．
（3） 如图 3 所示， 在 (2) 问的条件下， 点 在 上， 连结 平分 平分 ， 若 ， 求 的度数．
24．（2024八上·斗门期末）在中，，，为边延长线上一点，连接．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；、
（3）如图3，当时，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵（ ）2+（ ）2≠（ ）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵12+（ ）2=22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵22+（ ）2≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判定即可。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
当4为直角边时，
∴a==5，
当4为斜边时，
∴a==，不是整数，舍去，
故答案为：B．
【分析】分类讨论，再利用勾股定理求解即可。
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对成图形的定义，"我"、"爱"、"国"都不是轴对称图形，"中"是轴对称图形。
故答案为：C。
【分析】根据轴对成图形的定义进行选择即可。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由勾股定理的逆定理分析得，只有C中有62+82=102，故选C．
【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
B、由图形可得：，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
C、由图形可得：，
∴该选项不能证明勾股定理；
D、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用勾股定理证明求解即可。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接EC
∵FC垂直平分BE，即∠BFC=∠EFC=90°，EF=BF，
又∵FC=FC，
在△BFC与△CEF中 ，
∴△BFC≌△CEF（SAS），
∴BC=EC
又∵AD=BC，AE=1
故EC=2
利用勾股定理可得AB=CD=．
故选B．
【分析】如图，连接EC由FC垂直平分BE，得到∠BFC=∠EFC=90°，EF=BF，由于FC=FC，推出△BFC≌△CEF（SAS），于是得到BC=EC利用勾股定理可得AB=CD=．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，，，
∴，．
∴，
∴B符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和即可得到，，，进而即可得到，根据勾股定理求出BD和CD，从而即可得到BC，再对比选项即可求解.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
设小正方形的边长为1，则，，
，
即，
为等腰直角三角形，，
．
故答案为：B．
【分析】连接，先根据勾股定理求出BC、AC、AB，再根据勾股定理逆定理证出是等腰直角三角形即可.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AB=3，
∴AB=AC=3，
∵BD=CE，
∴BD+AE=EC+AE=AC，
当AD⊥BC时，则BE⊥AC，此时点F到BC和点F到AC的距离和最短，此时两距离相等，
∴两阴影部分的面积相等，
当AD⊥BC时，∠BAD=30°，
∴BD=AB=，FD=，
∴ 图中阴影部分的面积的最小值为2×××=.
故答案为：B.
【分析】当AD⊥BC时，则BE⊥AC，此时点F到BC和点F到AC的距离和最短，利用三角形的面积公式求解即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
由旋转的性质得∠OBO'=60°，OB=O'B，
∴∠ABC=∠OBO'，
∴∠ABO'=∠OBC，
在和中，
，
，
．
可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确；
如图1，连接，根据旋转的性质可知是等边三角形，
点与的距离为8，故②错误；
在中，，，，
是直角三角形，．
面积，
又等边面积，
四边形的面积为，故④错误；
，故③正确；
如图2，过作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，故⑤正确，
综上，正确的有①③⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】先用SAS证明，根据旋转的性质可得①正确；根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为8，故②错误；根据四边形的面积等边面积面积，进行计算即可得出④错误；由可得③正确；过作交的延长线于，求出，然后根据计算，可得⑤正确．
11．【答案】或3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当直角边为3或4时，则斜边为第三边，第三边=；
当斜边为5，则第三边=；
故第三边为或3.
故答案为：或3.
【分析】第三边为斜边或直角边，根据勾股定理分别求值即可.
12．【答案】55°或70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底角为70°时；
当顶角为70°时，它的底角为（180°-70°）÷2=55°，
故答案为：55°或70°.
【分析】分情况讨论：当底角为70°时；当顶角为70°时，利用三角形的内角和定理求出底角的度数.
13．【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：分别延长AB与FG，它们的延长线相交于点M，连接AF，
∵每个角都是直角，
∴AB//HG，AH//G//BC，即AM//HG，AH//MG//BC，
∴四边形AMGH是平行四边形，∠AMG=90°.
∴AM=GH=3，MF=MG+GF=AH+GF=3+1=4，
∴在Rt△AMF中：AF=
故答案为：5.
【分析】分别延长AB与FG，它们的延长线相交于点M，得平行四边形AMGH，∠AMG=90°.连接AF，构建成直角三角形AMF，然后根据勾股定理即可得出答案。
14．【答案】14
【知识点】勾股定理；完全平方式
【解析】【解答】由勾股定理知AC2+BC2=AB2，而S半1+S半2==S半ACB，于是S1+S2=S△ABC，即S△ABC=14，设BC=a，AC=b，即有a2+b2=15，，得ab=28即，故a+b=9，△ABC的周长为9+5=14.
答案：14.
【分析】由勾股定理知S1+S2与△ABC的面积相等，再根据完全平方与平方和之间的联系即可得两直角边的和，即可得△ABC的周长.
15．【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接CE，交AD于点F'，连接BF'，
∵AB=AC=4，点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，即AD为线段BC的垂直平分线，
∴点B、C关于AD对称，BF'=CF'，
此时，FE+FB的值最小，
∵AE=3，∠BAC=90°，
∴在Rt△AEC中，CE===5，
∴F'E+F'B=F'E+F'C=CE=5，
即FE+FB的最小值为5．
故答案为：5．
【分析】连接CE，交AD于点F'，连接BF'，首先证明AD为线段BC的垂直平分线，即有点B、C关于AD对称，BF'=CF'，此时，FE+FB的值最小，再利用勾股定理解得CE==5，由F'E+F'B=F'E+F'C=CE，即可确定FE+FB的最小值.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点F作GH∥AB，交BC于G点，交AC于H，过A点作AN⊥GH于N点
∵等边的边长为6，D是的中点，
，，．
，
，．
是等边三角形．
，
．
是等边三角形，
，
，
．
又，，
∴，
，．
，
．
又中，，，
，
，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【分析】过点F作GH∥AB，交BC于G点，交AC于H，过A点作AN⊥GH于N点，证△HGC为等边三角形，进而由AAS证明△HFE≌△CED，得进而求出HE=DC=3，利用AH=AC-CE-EH，求出AH=1，由含30°角直角三角形的性质，求出，由勾股定理得，进而求出，然后利用勾股定理进行求解即可．
17．【答案】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，
∵CD2＝22＝4，AC2＝22＝4，
∴AC2＋CD2＝4＋4＝8.
∵AD2＝(2)2＝8，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×1×＋×2×2＝＋2.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据30°的直角三角形的性质可得AC=2BC，根据勾股定理可得AB的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据三角形的面积公式求得S△ABC和S△ACD，再求两个三角形面积的和即可.
18．【答案】（1）解：AB==；
CD==2；
（2）解：能构成直角三角形，理由：
如图，
EF==，
∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=）2=13，
∴CD2+EF2=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线可以组成直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理可画出EF，根据勾股定理的逆定理即可说明理由.
19．【答案】（1）解：根据题意得：，，，，，，∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴风筝的垂直高度为米；
（2）如图，在上取点，使，连接，
∴，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）在CD上取点M，使CM=9，根据勾股定理求出DM，再计算BC -BM即可；
20．【答案】（1）解：
（等量代换）
（2）解：
即
又
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据，，即可求出；
（2）由平行线的性质可得，再根据直角三角形锐角互余，即可得到．
21．【答案】（1）解：
米)
（2）解：根据题意 米
则可得方程： (6 分)
解得
）
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据海伦公式，先计算出P值，代入公式计算即可
（2）两次利用勾股定理，AD2=AB2-BD2=AC2-CD2列出方程即可，求出AD的值，再利用三角形面积公式计算面积即可.
22．【答案】（1）解：在 中， 米， 米，
故 米，
（2）解：在 中， 米， 米，
故 米，
故 米．
答：梯子的下端 滑动的距离 的长为8米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长；
（2）利用勾股定理得出DC的长进而得出答案。
23．【答案】（1）解：∠A+C=90°；
（2）证明：过点B作BH∥DM，则BH∥DM∥CN
∴∠CBH=∠C，
∵BD⊥AM，BH∥DM，
∴DB⊥BH，
∴∠ABD+∠ABH=90°，
∵BA⊥BC，
∴∠CBH+∠ABH=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴∠ABD=∠C；
（3）解：过点B作BH∥DM，则BH∥DM∥CN，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知：∠ABD=∠CBH，
∴∠ABF=∠HBF，
设∠DBE=∠ABE=x，∠ABF=∠HBF=y，
则∠ABD=∠CBH=2x，∠BFC=3∠DBE=3x，
∴∠AFC=3x+y，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3x+y，
∵∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，
∴2x+y+3x+3x+y=180°①，
∵AB⊥BC，
∴y+y+2x=90°②，
联立①②解得x=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15+90°=105°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵AM∥CN，
∴∠AOB=∠C，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+C=90°；
【分析】（1）由平行线的性质及直角三角形的性质解答即可；
（2）过点B作BH∥DM，则BH∥DM∥CN，根据平行线的性质及余角的性质证明即可；
（3）过点B作BH∥DM，则BH∥DM∥CN，由角平分线的定义可得∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，结合（2）结论可得∠ABF=∠HBF，设∠DBE=∠ABE=x，∠ABF=∠HBF=y，易求∠FCB=∠AFC=3x+y，利用三角形内角和定理可得2x+y+3x+3x+y=180°①，由垂直可得y+y+2x=90°②，联立①②解得x值，再利用交的和差即可求解.
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，在上截取一点E使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）证明：如图所示，在射线上取一点H，使得，连接，
∴
由（1）同理可证明，
又∵，
∴，
∴点H和点D重合，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和判定得到三条边相等，进而证明结论；
（2）从结论出发看出需要通过截长补短来进行证明，添加辅助线之后，利用全等和等腰三角形，证明结论；
（3）借助第一轮的结论，利用同一法来证明D，H重合.
1 / 1浙教版数学八上第2章 特殊三角形 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020八下·北京期中）下列长度的三条线段，能成为一个直角三角形的三边的一组是（ ）
A． B．1，2， C．2，4， D．9，16，25
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵（ ）2+（ ）2≠（ ）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵12+（ ）2=22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵22+（ ）2≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判定即可。
2．（2022八下·庐江期中）若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A． B．5 C．5或7 D．5或
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
当4为直角边时，
∴a==5，
当4为斜边时，
∴a==，不是整数，舍去，
故答案为：B．
【分析】分类讨论，再利用勾股定理求解即可。
3．（2023·云南）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对成图形的定义，"我"、"爱"、"国"都不是轴对称图形，"中"是轴对称图形。
故答案为：C。
【分析】根据轴对成图形的定义进行选择即可。
4．（2016八下·东莞期中）有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（ ）
A．2，4，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由勾股定理的逆定理分析得，只有C中有62+82=102，故选C．
【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
5．（2023八下·阳泉期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
B、由图形可得：，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
C、由图形可得：，
∴该选项不能证明勾股定理；
D、由图形可得：，
∴，
∴，
∴该选项能证明勾股定理；
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用勾股定理证明求解即可。
6．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，连接BE，分别以B、E为圆心，以大于BE的长为半径作弧，两弧交于点M、N，若直线MN恰好过点C，则AB的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接EC
∵FC垂直平分BE，即∠BFC=∠EFC=90°，EF=BF，
又∵FC=FC，
在△BFC与△CEF中 ，
∴△BFC≌△CEF（SAS），
∴BC=EC
又∵AD=BC，AE=1
故EC=2
利用勾股定理可得AB=CD=．
故选B．
【分析】如图，连接EC由FC垂直平分BE，得到∠BFC=∠EFC=90°，EF=BF，由于FC=FC，推出△BFC≌△CEF（SAS），于是得到BC=EC利用勾股定理可得AB=CD=．
7．（2024八下·来宾期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，，，
∴，．
∴，
∴B符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和即可得到，，，进而即可得到，根据勾股定理求出BD和CD，从而即可得到BC，再对比选项即可求解.
8．（2024八下·雨花期末）如图，每个小正方形的边长都相等，是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
设小正方形的边长为1，则，，
，
即，
为等腰直角三角形，，
．
故答案为：B．
【分析】连接，先根据勾股定理求出BC、AC、AB，再根据勾股定理逆定理证出是等腰直角三角形即可.
9．（2024·宁明模拟）如图，在等边中，，D，E分别是边，上的动点，且，连接，交于点F，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AB=3，
∴AB=AC=3，
∵BD=CE，
∴BD+AE=EC+AE=AC，
当AD⊥BC时，则BE⊥AC，此时点F到BC和点F到AC的距离和最短，此时两距离相等，
∴两阴影部分的面积相等，
当AD⊥BC时，∠BAD=30°，
∴BD=AB=，FD=，
∴ 图中阴影部分的面积的最小值为2×××=.
故答案为：B.
【分析】当AD⊥BC时，则BE⊥AC，此时点F到BC和点F到AC的距离和最短，利用三角形的面积公式求解即可.
10．（2024八下·三水期中）如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
由旋转的性质得∠OBO'=60°，OB=O'B，
∴∠ABC=∠OBO'，
∴∠ABO'=∠OBC，
在和中，
，
，
．
可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确；
如图1，连接，根据旋转的性质可知是等边三角形，
点与的距离为8，故②错误；
在中，，，，
是直角三角形，．
面积，
又等边面积，
四边形的面积为，故④错误；
，故③正确；
如图2，过作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，故⑤正确，
综上，正确的有①③⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】先用SAS证明，根据旋转的性质可得①正确；根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为8，故②错误；根据四边形的面积等边面积面积，进行计算即可得出④错误；由可得③正确；过作交的延长线于，求出，然后根据计算，可得⑤正确．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·博罗期末）一个直角三角形的两条边长分别为4和5，则第三边长为 .
【答案】或3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当直角边为3或4时，则斜边为第三边，第三边=；
当斜边为5，则第三边=；
故第三边为或3.
故答案为：或3.
【分析】第三边为斜边或直角边，根据勾股定理分别求值即可.
12．（2023七下·揭东期末）等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是 ．
【答案】55°或70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底角为70°时；
当顶角为70°时，它的底角为（180°-70°）÷2=55°，
故答案为：55°或70°.
【分析】分情况讨论：当底角为70°时；当顶角为70°时，利用三角形的内角和定理求出底角的度数.
13．（2024八下·花溪月考）如图，一块形如“Z”字形的铁皮，每个角都是直角，且AB＝BC＝EF＝GF＝1，CD＝DE＝GH＝AH＝3，则AF＝ .
【答案】5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：分别延长AB与FG，它们的延长线相交于点M，连接AF，
∵每个角都是直角，
∴AB//HG，AH//G//BC，即AM//HG，AH//MG//BC，
∴四边形AMGH是平行四边形，∠AMG=90°.
∴AM=GH=3，MF=MG+GF=AH+GF=3+1=4，
∴在Rt△AMF中：AF=
故答案为：5.
【分析】分别延长AB与FG，它们的延长线相交于点M，得平行四边形AMGH，∠AMG=90°.连接AF，构建成直角三角形AMF，然后根据勾股定理即可得出答案。
14．（2024八下·柳州期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.若，AB=5，则的周长是 .
【答案】14
【知识点】勾股定理；完全平方式
【解析】【解答】由勾股定理知AC2+BC2=AB2，而S半1+S半2==S半ACB，于是S1+S2=S△ABC，即S△ABC=14，设BC=a，AC=b，即有a2+b2=15，，得ab=28即，故a+b=9，△ABC的周长为9+5=14.
答案：14.
【分析】由勾股定理知S1+S2与△ABC的面积相等，再根据完全平方与平方和之间的联系即可得两直角边的和，即可得△ABC的周长.
15．（2024·昌吉模拟）如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接CE，交AD于点F'，连接BF'，
∵AB=AC=4，点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，即AD为线段BC的垂直平分线，
∴点B、C关于AD对称，BF'=CF'，
此时，FE+FB的值最小，
∵AE=3，∠BAC=90°，
∴在Rt△AEC中，CE===5，
∴F'E+F'B=F'E+F'C=CE=5，
即FE+FB的最小值为5．
故答案为：5．
【分析】连接CE，交AD于点F'，连接BF'，首先证明AD为线段BC的垂直平分线，即有点B、C关于AD对称，BF'=CF'，此时，FE+FB的值最小，再利用勾股定理解得CE==5，由F'E+F'B=F'E+F'C=CE，即可确定FE+FB的最小值.
16．（2024八下·宝安期中）如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点F作GH∥AB，交BC于G点，交AC于H，过A点作AN⊥GH于N点
∵等边的边长为6，D是的中点，
，，．
，
，．
是等边三角形．
，
．
是等边三角形，
，
，
．
又，，
∴，
，．
，
．
又中，，，
，
，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【分析】过点F作GH∥AB，交BC于G点，交AC于H，过A点作AN⊥GH于N点，证△HGC为等边三角形，进而由AAS证明△HFE≌△CED，得进而求出HE=DC=3，利用AH=AC-CE-EH，求出AH=1，由含30°角直角三角形的性质，求出，由勾股定理得，进而求出，然后利用勾股定理进行求解即可．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024八下·博罗期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2.
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，
∵CD2＝22＝4，AC2＝22＝4，
∴AC2＋CD2＝4＋4＝8.
∵AD2＝(2)2＝8，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×1×＋×2×2＝＋2.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据30°的直角三角形的性质可得AC=2BC，根据勾股定理可得AB的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据三角形的面积公式求得S△ABC和S△ACD，再求两个三角形面积的和即可.
18．（2024八下·博罗期末）如图，在4x3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
（1）分别求出线段AB、CD的长度；
（2）在图中画出线段EF、使得EF的长为，以AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.
【答案】（1）解：AB==；
CD==2；
（2）解：能构成直角三角形，理由：
如图，
EF==，
∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=）2=13，
∴CD2+EF2=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线可以组成直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理可画出EF，根据勾股定理的逆定理即可说明理由.
19．（2024八下·隆回期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度如图，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：根据题意得：，，，，，，∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴风筝的垂直高度为米；
（2）如图，在上取点，使，连接，
∴，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）在CD上取点M，使CM=9，根据勾股定理求出DM，再计算BC -BM即可；
20．（2024七下·克孜勒苏柯尔克孜月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺EFG（，）”为主题开展数学活动．
（1）如图（1），若三角尺的角的顶点G放在CD上，若，求的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明与间的数量关系．
【答案】（1）解：
（等量代换）
（2）解：
即
又
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据，，即可求出；
（2）由平行线的性质可得，再根据直角三角形锐角互余，即可得到．
21．（2024八下·慈溪期中）阅读与思考
如图 1 所示的是一座钢铁桥梁， 为了计算其中一个三角形钢架的面积， 小明想办法测量出三边的长度 米， 米， 米， 如何求三角形 钢架的面积 下面是甲， 乙两位同学的解题思路， 分别根据甲、乙两位同学的解题思路求 的面积.
（1）甲同学： 我们知道， 已知 的三边长 ， 设 ， 即 为 周长的一半， 那么利用海伦公式 就可求出 的面积.
（2）乙同学： 如图 2 ， 过点 作 于点 ， 设BD=x米， 然后用含 的代数式表示出 ，根据勾股定理， 利用 作为“桥梁”建立方程， 利用勾股定理求出 的长， 再计算 的面积.
【答案】（1）解：
米)
（2）解：根据题意 米
则可得方程： (6 分)
解得
）
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据海伦公式，先计算出P值，代入公式计算即可
（2）两次利用勾股定理，AD2=AB2-BD2=AC2-CD2列出方程即可，求出AD的值，再利用三角形面积公式计算面积即可.
22．（2020八上·长清期中）如图，一个梯子 长25米，顶端 靠在墙 上（墙与地面垂直），这时梯子下端 与墙角 距离为7米．
（1）求梯子顶端 与地面的距离 的长；
（2）若梯子的顶端 下滑到 ，使 ，求梯子的下端 滑动的距离 的长．
【答案】（1）解：在 中， 米， 米，
故 米，
（2）解：在 中， 米， 米，
故 米，
故 米．
答：梯子的下端 滑动的距离 的长为8米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长；
（2）利用勾股定理得出DC的长进而得出答案。
23．已知 为平面内一点， 于点 ．
（1） 如图 1 所示， 直接写出 和 之间的数量关系．
（2） 如图 2 所示， 过点 作 于点 ， 求证： ．
（3） 如图 3 所示， 在 (2) 问的条件下， 点 在 上， 连结 平分 平分 ， 若 ， 求 的度数．
【答案】（1）解：∠A+C=90°；
（2）证明：过点B作BH∥DM，则BH∥DM∥CN
∴∠CBH=∠C，
∵BD⊥AM，BH∥DM，
∴DB⊥BH，
∴∠ABD+∠ABH=90°，
∵BA⊥BC，
∴∠CBH+∠ABH=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴∠ABD=∠C；
（3）解：过点B作BH∥DM，则BH∥DM∥CN，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知：∠ABD=∠CBH，
∴∠ABF=∠HBF，
设∠DBE=∠ABE=x，∠ABF=∠HBF=y，
则∠ABD=∠CBH=2x，∠BFC=3∠DBE=3x，
∴∠AFC=3x+y，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3x+y，
∵∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，
∴2x+y+3x+3x+y=180°①，
∵AB⊥BC，
∴y+y+2x=90°②，
联立①②解得x=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15+90°=105°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵AM∥CN，
∴∠AOB=∠C，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+C=90°；
【分析】（1）由平行线的性质及直角三角形的性质解答即可；
（2）过点B作BH∥DM，则BH∥DM∥CN，根据平行线的性质及余角的性质证明即可；
（3）过点B作BH∥DM，则BH∥DM∥CN，由角平分线的定义可得∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，结合（2）结论可得∠ABF=∠HBF，设∠DBE=∠ABE=x，∠ABF=∠HBF=y，易求∠FCB=∠AFC=3x+y，利用三角形内角和定理可得2x+y+3x+3x+y=180°①，由垂直可得y+y+2x=90°②，联立①②解得x值，再利用交的和差即可求解.
24．（2024八上·斗门期末）在中，，，为边延长线上一点，连接．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；、
（3）如图3，当时，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，在上截取一点E使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）证明：如图所示，在射线上取一点H，使得，连接，
∴
由（1）同理可证明，
又∵，
∴，
∴点H和点D重合，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和判定得到三条边相等，进而证明结论；
（2）从结论出发看出需要通过截长补短来进行证明，添加辅助线之后，利用全等和等腰三角形，证明结论；
（3）借助第一轮的结论，利用同一法来证明D，H重合.
1 / 1
