浙教版数学八上第2章 特殊三角形 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·廉江期末）如图，长方形的顶点，在数轴上，点表示，，若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为( )
A． B． C． D．
2．（2024八下·花都期末）如图， 在 Rt 中， 。若 ， 则正方形 和正方形 的面积和为 ( )
A．80 B．100 C．200 D．无法确定
3．（2024八下·娄星期末）如图有两棵树，一棵高，一棵矮，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米？
A． B． C． D．
4．（2024八下·荆州期末）的三边分别为，，，下列条件：
；；：：：：．
其中能判断是直角三角形的条件个数有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2024八下·普宁期末）如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线两点，连接，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
6．（2021八上·河西期末）如图，在中，，AD，CE是的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．AC B．BC C．AD D．CE
7．（2024九下·游仙月考）如图，在四边形中，，，交的延长线于点M，交的延长线于点N．若，，则常数k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019七下·山亭期末）如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数是（ ）
① 是 的平分线；② ；③ ；④
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在中，已知，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点，使是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
10．如图，BD平分∠_ABC，且∠BEC=∠BCE，D为BE延长线上的一点，BD= BA，过D作DG⊥AB，垂足为G．下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠BCE+∠BCD= 180°；③AD= AE= DG；④BA+BC=2BG．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·罗湖期中）如图，在边长为4的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为 .
12．（2024八下·宝安期中）如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为 ．
13． 如图， 是射线 上一点， 连结 ， 将三角形 沿着 翻折得到三角形 ， 点 的对应点为点 ， 若 ， 则
14．（2024八下·西安月考）如图，等腰的底边，面积为48，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．
15．如图，在中，，，点分别在边上，连结，已知点和点关于直线对称．设，若，则 (结果用含的代数式表示)．
16．（2024八上·滨江期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题11分，第21题8分，第22题8分，第23题7分，第24题10分，共66分）
17．（2024八下·麒麟期中） 如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）判断是直角三角形吗？请说明理由．
（2）连接，求的面积．
18．（2024·沙坪坝模拟）已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．
图1 图2 图3
（1）如图1，延长交于点，若，，求的长；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
（3）如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
19．（2024八下·自贡月考） 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间秒．
（1）出发2秒后，求周长；
（2）求当为何值时，为等腰三角形．
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
20．（2024八下·景德镇期中） 实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：
（1）如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由；
（2）在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论；
（3）如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系；
（4）如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长．
21．（2024八下·黎川期中） 某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
（1）探究一：
如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为
（2）探究二：
如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，求“等补四边形”的面积．
（3）探究三：
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”，连接，若，，，试求出“等补四边形”的面积（用含，的代数式表示）．
22．（2023七下·钢城期末）在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
（1）如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
（2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
（3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
23．（2023七下·开江期末）在中，，是直线上一动点（不与点，重合）．
（1）如图1，若，点在边上，交于点，交于点．若，求的度数．
（2）如图2，若，点在边上，，交直线于点，交直线于点．
①线段，，三者之间的数量关系是 ▲ ；
②若点在的延长线①中的结论是否成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请画出图形，并直接写出，，三者之间的数量关系．
③若点在边上，且，请判断，，三者之间的数量关系，并说明理由．
24．（2023七下·张店期末）已知线段垂直直线于点，点在直线上，分别以，为边作等边三角形（点在边的右侧）和等边三角形，直线交直线于点．
（1）当点在线段上时，如图1，求证：；
（2）①当点在线段的延长线上时（如图2），请直接写出线段，，之间的数量关系；
②当点在线段的延长线上时（如图3），请直接写出线段，，之间的数量关系；
③在①和②中，选择其中一个进行证明；
（3）当，且时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中：AB=3，BC=AD=1，
∴AC=，
∴AM=AC=，
又∵ 点表示，
∴AO=1，
∴OM=AM-AO=-1.
即点M表示的数是-1.
故答案为：A。
【分析】首先根据勾股定理可求得AC=，再根据点A对应的数，求得AO=1，进而得出OM=-1，即可得出 点所表示的数 。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形和正方形的面积和为，
故答案为：B
【分析】根据正方形的面积结合勾股定理即可求解。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
两树的高度差为：AC=14-2=12，
间距：AB=DE=5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
小鸟至少飞行的距离BC=.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可求解.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠B-∠C，
∴∠A+∠C=∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴①正确；
②a2=（b+c）（b-c），
∴a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△BAC是直角三角形，∴②正确；
③∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∵a2+b2=25k2，c2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，∴③正确；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知求出最大角∠B的度数，即可判断①；
根据已知得出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断②；
设a=3k，b=4k，c=5k求出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断③。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图知：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=65°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-65°-65°=50°，
∵，
∴∠1=∠CAB=50°.
故答案为：B.
【分析】由作图知AB=AC，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=65°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB=50°，根据平行线的性质即可求解.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：D．
【分析】接PC，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即得AD垂直平分BC，可得PB=PC，即得PB+PE=PC+PE，由三角形三边关系可知P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长至点E，连接，使得，延长交于点F，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可证：，，
∴，
∵，
∴设，
设，
则，
∵，，，
∴，
∴，
即： ，
解得： ，
∴．
故答案为：B．
【分析】延长AD至点E，连接CE，使得∠E=60°，延长EC和AB，相交于点F，证明出，，，利用全等三角形的性质，找出线段之间的关系，最后列方程组求解即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】①证明：连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵ ，
∴△ANP≌△AMP，
则∠CAD=∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故此选项符合题意；
②证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90° ∠2=60°，∠ADC=60°，故此选项符合题意；
③证明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，故此选项符合题意；
④证明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，
∴CD= AD，
∴BC=BD+CD=AD+ AD= AD， = AC CD= AC AD，
∴ = AC BC= AC AD= AC AD，
∴ =1：3，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，
根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD= AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①△ABC中，∠BAC=90°，AB≠AC，
∴∠C≠45°，且∠C＜90°，
由作图痕迹可得，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=45°，
∴∠C≠∠CAD，
也没有条件能证明∠C=∠CDA，或∠CDA=∠CAD=45°，
∴△ACD不可能是等腰三角形，故①不符合题意；
②由作图痕迹可得CA=CD，
∴△ACD是等腰三角形，故②符合题意；
③由作图痕迹得作的是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ACD是等腰三角形，故③符合题意.
综上，符合题意的有②与③.
故答案为：A.
【分析】由作图痕迹可得，图①作的是AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义得∠CAD=∠BAC=45°，从而可得∠C≠∠CAD，也没有条件能证明∠C=∠CDA，或∠CDA=∠CAD=45°，据此可判断①；图②作的是CA=CD，根据等腰三角形定义可判断②；图③作的是AC的垂直平分线，可得CD=AD，从而根据等腰三角形定义可判断③.
10．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①平分，
，
，
，
，
，①正确；
②，
，
，，
，②正确；
③，
，③错误；
④ 如图，作，
，，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，④正确.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义可得，再通过SAS判定，故①正确；利用全等三角形的性质得到，再通过等量代换证得∠BCE+∠BCD= 180° ，故②正确；由垂线段最短可判定AD>DG，故③错误；作，由角平分线的性质可得DG=DH，再通过HL判定，，利用全等三角形的性质证得AG=CH，然后通过线段的和差证得BA+BC=2BG，故④正确.
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：连接AG、AE、AF．作点F关于点E的对称点F'，连接AF'，GF'.则AF'=AF，如图：
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，AB=4，
∴AD=CD=2，∠ABC=30°，
即BD垂直平分AC，
∴AG=CG，AF=CF，
∴AF'=CF，
∴CF+CG=AF'+AG，
当G、A、F'三点在同一直线上时，AF'+AG的最小值为GF'．
∵AB=4，AD=2，
∴，
∵将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，
∴，FF'=2EF=2AD=AC=4，
∴，
即AF'+AG的最小值为；
故答案为：.
【分析】连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点F'，连接AF'，GF'；根据等边三角形性质可得AD=CD=2，∠ABC=30°，根据垂直平分线上的点到两边的距离相等可得AG=CG，AF=CF，推得CF+CG=AF'+AG，即G、A、F'三点在同一直线上时，AF'+AG的最小值为GF'，根据勾股定理求得BD的值，结合平移的性质和勾股定理求得GF'的值，即可求解.
12．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，作于点，
，
在中，，
，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【分析】连接OC，作OF⊥BC于点F，根据含30°的直角三角形的性质求出，，从而由线段的和差算出CF的长，由线段垂直平分线的性质及已知可推出OB=OC，从而由等腰三角形的三者求出BC的长，最后根据BE=BC-CE可算出答案．
13．【答案】78°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图连接AE，△AEF由△AEC沿AE翻折得到，设∠CAE的度数为x.
∵AB∥CD，且∠C=60°，
∴∠C+∠CAB=180°，即∠CAB=180°-60°=120°.
∵△AEF由△AEC沿AE翻折得到，
∴∠CAE=∠EAF=x.
∵∠EAF=∠FAB，
∴∠FAB=.
∴∠CAB=120°=∠CAE+∠EAF＋∠FAB=，
解得x=42°=∠CAE.
∴∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-60°-42°=78°.
故答案为：78°.
【分析】利用平行线的性质算出∠CAB，以及翻折对称性得出∠CAE=∠EAF. 再通过设∠CAE，结合条件∠EAF=∠FAB，得出关于∠CAE的一元一次方程式，解出∠CAE后，再通过三角形内角和为180°，计算出∠AEC.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，连接AD，如图，
∵是腰的垂直平分线，
∴
∴
∴当A、D、F三点共线时，的值最小，最小值为AF的长度，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴的最小值为：，
∴周长的最小值为：，
故答案为：.
【分析】作AH⊥BC于H，连接AD，根据垂直平分线的性质得到：即可推出则当A、D、F三点共线时，的值最小，最小值为AF的长度，然后根据"的面积为48"，据此求出AH的长度，再结合题意并利用勾股定理即可求出AF的长度，进而即可求解.
15．【答案】
【知识点】轴对称的性质；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，连结，
点和点关于直线对称，．
．
设，则，设，则，
由勾股定理得，，
故答案为：.
【分析】由轴对称的性质可得，即可证得，设，则，设，则，由勾股定理可得，进而解得，故可得，即可计算出的值.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BG=x，则FG=EG=BG=x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴AF=AB-BF=2-2x，
∴EF=AF=2-2x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
∵AB⊥CD，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=AC=，
∴DF=AD-AF=，
∴DG=GF-DF=，
在直角三角形EFD中，；
在直角三角形EGD中，；
∴，
∴，
∴x=，
∴AF=2-2x=；
故答案为：.
【分析】先利用直角三角形中30°锐角所对的直角边是斜边的一半得到AD、AB长；设BG=x，再根据折叠性质得到EG=BG=x，进而得到GF=x，从而AF长可以用含x的式子表示出来，可以把EF、DF、DG都用含x的式子表示出来；再根据勾股定理得到，，等量代换得到，把含x的式子代入解出x，再根据AF=2-2x即可求出AF长.
17．【答案】（1）解：是直角三角形．
理由：∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：如图，过点D作交延长线于点M．
由（1）可知，
所以．
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的面积，熟知勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的面积计算公式是解题关键.
（1）由∠ACD=90°和勾股定理可知：在Rt△ACD中， 4，再由3，1，由勾股定理逆定理可知：△ABC为直角三角形，即可得出答案；
（2）过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M，由∠ACD=90°，∠ABC=90°和三角形内角和为180°可知：∠ACD+∠DCM=90°，∠ACB+∠CAB=90°，由同角的余角相等可知：∠CAB=∠DAM，由AC=CD，∠ABC=∠CMD=90°，由全等三角形的判定方法AAS可证得△ABC≌△CMD，再由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知：DM=BC=1，最后代入三角形面积计算公式：×BC×DM=，即可得出答案.
18．【答案】（1）解 ：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，
【分析】(1)作FP⊥BC，利用特殊角45°和60°求出CF的长；
(2)延长到I，使，作，证明，，可得结论；
(3)先转化线段，作DF⊥BC，得BD=2BF由BD=2CH得，再得得DE=DK，BE=AD，BD=AK，当DE取最小值时，△ADk的周长取最小值，得CG=AK=BD=4； 求出此时△CKQ的面积即可.
19．【答案】（1）解：，，，
根据勾股定理可得，
动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
出发2秒后，，则，
，
根据勾股定理可得，
周长为.
（2）解：①若在边上时，，
此时用的时间为，为等腰三角形，
②若在边上时，有三种情况：
若使，此时，运动的路程为，所以用的时间为，
故时为等腰三角形；
若， 过作斜边的高， 根据面积法求得高为，
根据勾股定理求得，
所以运动的路程为，
的时间为，为等腰三角形，
若时，则，
，
，
，
，
的路程为， 所以时间为时， 为等腰三角形，
或或或时为等腰三角形；
（3）解：由题意可得周长为，且24÷8=3，
∴ t≤3s，
即点P一定在AC上，
两点同时出发，均按的路径运动，速度为每秒，速度为每秒，
①当在上，在上时，直线把的周长分成相等的两部分，此时，t≤2.25s，
可得，解得；
②当在AC上，在上时，直线把的周长分成相等的两部分，此时，2.25s ≤t＜3s，
可得，解得（舍去），
综上，当是，直线把的周长分成相等的两部分.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，再根据题意可知CP，AP，根据勾股定理求得PB，即可求得△ABP的周长；
（2）①若在边上时，；
②若在边上时，有三种情况：若，此时；
若， 过作斜边的高，根据等面积法和勾股定理可得BP；
若时，根据等腰三角形的性质和等角的余角相等可得∠ACP=∠CAP，再根据等角对等边可得PA；
（3）先判断t的取值范围，即可判断出P在AC上，再分两种情况：①当在上，在上时；②
当在AC上，在上时；分别根据周长的一半建立关系，即可求得.
20．【答案】（1）解：同意，
理由如下：
∵在等边三角形中，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，即
（2）解：（1）的结论成立，
证明：线段朝外作等边三角形，连接，如图，
在等边，等边中，，，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）解：如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，，，
在等腰直角，等腰直角中，，，，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即
（4）解：
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（4）解：过点A作，交延长线于点D，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，再根据三角形的外角求出∠PAB，进而得到∠PAC，最后根据勾股定理证出即可.
（2）线段朝外作等边三角形，连接，先根据等边三角形的性质和全等三角形的判定SAS证出，进而得到，再证出，最后根据勾股定理即可得到结论.
（3）先根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定SAS证出，进而得到，证出，最后根据勾股定理证出即可.
（4）过点A作，交延长线于点D，得是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定SAS证出进而得到，进而求出PA即可.
21．【答案】（1）9
（2）解：如图，过点作交于点，
根据题意可得：，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积为：．
（3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，
作于点，
∴，，，，
在等补四边形中，，
∴，
∴点，，在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积等于的面积：．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）“等补四边形”的面积为，
故答案为：．
【分析】（1）根据旋转的性质，四边形的面积等于直角梯形面积的一半，结合题意，求出直角梯形的面积即可；
（2）根据旋转的性质，四边形的面积等于等边三角形的面积的三分之一，根据等边三角形的性质求出∠FCE=30°，根据30°直角三角形的性质求出EF的长，根据勾股定理求出三角形的高，即可求出等边三角形的面积；
（3）作AH⊥BC于点H，根据等补四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，得出，当点，B，C在同一直线上，则，据此求出
，再根据30°直角三角形的性质和勾股定理求出，根据“等补四边形”ABCD的面积等于的面积．
22．【答案】（1）解：①与全等
证明：，
，即．
在与中，
，
②，
，
，
，
，
，
，
（2）
（3）解：当点运动到中点时，的周长最小．
，
，
为等边三角形
，
的周长
；
当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2），
，即．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据SAS即可证明 与全等 ；②由①知 与全等 ，可以得出对应角 ， 再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=90°，即可得出，从而得出∠BCE；
（2）由（1）知，再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=60°，即可得出，从而得出∠BCE；
（3）首先可得出 △ ADE是等边三角形，可得出DE=AD，然后可求出 △ DCE的周长=BC+DE=BC+AD，其中BC为定值，所以当AD最小时， △ DCE的周长最小，故而可得出当AD⊥BC，即点D是BC中点时， △ DCE的周长最小。
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①
②不成立．如图2，．
如图，当在延长线上时，，
理由是：即，，
，，
，
，
，
在和中，
（），
，
．
③
理由：∵，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，，，
∴，
∴，．
∵，
∴，即．
又∵．
∴是的垂直平分线．
∴．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（2）①
∵ ， ，
∴
∵ ∠EBD=∠ADC
∴∠ABF=∠ACD
∵ AB=AC
∴
∴ AF=AD
∵ AB=AD+BD
∴ AB=AF+BD
【分析】本题考查等腰三角形的性质、垂直的性质、三条线段的数量关系、垂直平分线的判定应用。（1）根据 ，可得邻补角 ；依据两个垂直，可得三个直角，则可得 ；依据 ，可得，则，
得；（2）①求线段之间的数量关系，则需要转化成的证明上，找出其中线段的替换线段即可。 ② 判断①结论不成立，证明 当在延长线上时， 。根据 和 可知 ，根据AB=AC，可证（），则， 可得 ；
③ 如图所示：
证明 即可得到 ，，根据 ，可得 ，即．结合 ，可知是的垂直平分线．可得．
24．【答案】（1）证明：设交于，如图：
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）解：①结论：．②结论：；
③证明①：如图2中，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
证明②：如图3中，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）的长为或
当点在线段上时，过点作于点于点，如图1：
∵，，设，
则，，
∵，
故，
解得：，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
故，
即；
当点在线段的延长线上时，如图2：
∵，即，故该情况不符合题意；
当点在线段的延长线上时，过点作于点于点，如图3：
∵，，设，
则， ，
∵，
故，
解得：，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
故，
即；
综上，当，且时，的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】（2）②结论DF=CE+CF。证明：如图3所示，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠DAB=∠EAC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，又∵AB⊥l，∴∠ABD=∠ABF=90°，又∠ABC=60°，∴∠FBC=30°，又∠ACE=∠ABD，∴∠ACE=90°，∴∠BFC+∠BAC=360°-（90°+90°）=180°，∴∠BFC=180°-60°=120°，∴∠FCB=30°，∴CF=BF，∵DF=BD+BF，∴DF=CE+CF；
【分析】（1）先根据SAS证明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分别计算∠FBC=30°，∠OFD=60°，根据三角形外角的性质，求得∠FCB=30°，根据等角对等边得出CF=BF，然后等量代换，即可得出结论；
（2）①DF=CF-CE，先根据SAS证明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分别计算∠FBC=30°，∠DFE=120°，根据三角形内角和定理求得∠FCB=30°，根据等角对等边得出CF=BF，然后等量代换，即可得出结论；
②DF=CE+CF，先根据SAS证明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分别计算∠FBC=30°，∠BFC=120°，根据三角形内角和定理求得∠FCB=30°，根据等角对等边得出CF=BF，然后等量代换，即可得出结论；
（3）根据点F的位置，可以分成三种情况分别计算AB的长度。①点F在线段BD上时，过点F作FH⊥BC于点H，设BF=CF=x，根据（2）的结论，可求得x的值，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出BH的长，再根据等腰三角形的性质，求出BC的长，根据等边三角形三边相等可知AB的长；②点F在线段BD的延长线上时， BD＜BF， 不符合BD=3BF，故该情况不符合题意；③点F在线段DB的延长线上时，过点F作FH⊥BC于点H，设BF=CF=x，根据（2）的结论，可求得x的值，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出BH的长，再根据等腰三角形的性质，求出BC的长，根据等边三角形三边相等可知AB的长；即可得出线段AB的两个值。
1 / 1浙教版数学八上第2章 特殊三角形 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·廉江期末）如图，长方形的顶点，在数轴上，点表示，，若以点为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中：AB=3，BC=AD=1，
∴AC=，
∴AM=AC=，
又∵ 点表示，
∴AO=1，
∴OM=AM-AO=-1.
即点M表示的数是-1.
故答案为：A。
【分析】首先根据勾股定理可求得AC=，再根据点A对应的数，求得AO=1，进而得出OM=-1，即可得出 点所表示的数 。
2．（2024八下·花都期末）如图， 在 Rt 中， 。若 ， 则正方形 和正方形 的面积和为 ( )
A．80 B．100 C．200 D．无法确定
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形和正方形的面积和为，
故答案为：B
【分析】根据正方形的面积结合勾股定理即可求解。
3．（2024八下·娄星期末）如图有两棵树，一棵高，一棵矮，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米？
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
两树的高度差为：AC=14-2=12，
间距：AB=DE=5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
小鸟至少飞行的距离BC=.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可求解.
4．（2024八下·荆州期末）的三边分别为，，，下列条件：
；；：：：：．
其中能判断是直角三角形的条件个数有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】直角三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠B-∠C，
∴∠A+∠C=∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴①正确；
②a2=（b+c）（b-c），
∴a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△BAC是直角三角形，∴②正确；
③∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∵a2+b2=25k2，c2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，∴③正确；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知求出最大角∠B的度数，即可判断①；
根据已知得出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断②；
设a=3k，b=4k，c=5k求出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断③。
5．（2024八下·普宁期末）如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线两点，连接，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图知：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=65°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-65°-65°=50°，
∵，
∴∠1=∠CAB=50°.
故答案为：B.
【分析】由作图知AB=AC，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=65°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB=50°，根据平行线的性质即可求解.
6．（2021八上·河西期末）如图，在中，，AD，CE是的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A．AC B．BC C．AD D．CE
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：D．
【分析】接PC，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即得AD垂直平分BC，可得PB=PC，即得PB+PE=PC+PE，由三角形三边关系可知P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.
7．（2024九下·游仙月考）如图，在四边形中，，，交的延长线于点M，交的延长线于点N．若，，则常数k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长至点E，连接，使得，延长交于点F，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可证：，，
∴，
∵，
∴设，
设，
则，
∵，，，
∴，
∴，
即： ，
解得： ，
∴．
故答案为：B．
【分析】延长AD至点E，连接CE，使得∠E=60°，延长EC和AB，相交于点F，证明出，，，利用全等三角形的性质，找出线段之间的关系，最后列方程组求解即可．
8．（2019七下·山亭期末）如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数是（ ）
① 是 的平分线；② ；③ ；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】①证明：连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵ ，
∴△ANP≌△AMP，
则∠CAD=∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故此选项符合题意；
②证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90° ∠2=60°，∠ADC=60°，故此选项符合题意；
③证明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，故此选项符合题意；
④证明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，
∴CD= AD，
∴BC=BD+CD=AD+ AD= AD， = AC CD= AC AD，
∴ = AC BC= AC AD= AC AD，
∴ =1：3，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，
根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD= AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
9．在中，已知，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点，使是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①△ABC中，∠BAC=90°，AB≠AC，
∴∠C≠45°，且∠C＜90°，
由作图痕迹可得，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=45°，
∴∠C≠∠CAD，
也没有条件能证明∠C=∠CDA，或∠CDA=∠CAD=45°，
∴△ACD不可能是等腰三角形，故①不符合题意；
②由作图痕迹可得CA=CD，
∴△ACD是等腰三角形，故②符合题意；
③由作图痕迹得作的是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ACD是等腰三角形，故③符合题意.
综上，符合题意的有②与③.
故答案为：A.
【分析】由作图痕迹可得，图①作的是AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义得∠CAD=∠BAC=45°，从而可得∠C≠∠CAD，也没有条件能证明∠C=∠CDA，或∠CDA=∠CAD=45°，据此可判断①；图②作的是CA=CD，根据等腰三角形定义可判断②；图③作的是AC的垂直平分线，可得CD=AD，从而根据等腰三角形定义可判断③.
10．如图，BD平分∠_ABC，且∠BEC=∠BCE，D为BE延长线上的一点，BD= BA，过D作DG⊥AB，垂足为G．下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠BCE+∠BCD= 180°；③AD= AE= DG；④BA+BC=2BG．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①平分，
，
，
，
，
，①正确；
②，
，
，，
，②正确；
③，
，③错误；
④ 如图，作，
，，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，④正确.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义可得，再通过SAS判定，故①正确；利用全等三角形的性质得到，再通过等量代换证得∠BCE+∠BCD= 180° ，故②正确；由垂线段最短可判定AD>DG，故③错误；作，由角平分线的性质可得DG=DH，再通过HL判定，，利用全等三角形的性质证得AG=CH，然后通过线段的和差证得BA+BC=2BG，故④正确.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·罗湖期中）如图，在边长为4的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：连接AG、AE、AF．作点F关于点E的对称点F'，连接AF'，GF'.则AF'=AF，如图：
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，AB=4，
∴AD=CD=2，∠ABC=30°，
即BD垂直平分AC，
∴AG=CG，AF=CF，
∴AF'=CF，
∴CF+CG=AF'+AG，
当G、A、F'三点在同一直线上时，AF'+AG的最小值为GF'．
∵AB=4，AD=2，
∴，
∵将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，
∴，FF'=2EF=2AD=AC=4，
∴，
即AF'+AG的最小值为；
故答案为：.
【分析】连接AG、AE、AF，作点F关于点E的对称点F'，连接AF'，GF'；根据等边三角形性质可得AD=CD=2，∠ABC=30°，根据垂直平分线上的点到两边的距离相等可得AG=CG，AF=CF，推得CF+CG=AF'+AG，即G、A、F'三点在同一直线上时，AF'+AG的最小值为GF'，根据勾股定理求得BD的值，结合平移的性质和勾股定理求得GF'的值，即可求解.
12．（2024八下·宝安期中）如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，作于点，
，
在中，，
，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【分析】连接OC，作OF⊥BC于点F，根据含30°的直角三角形的性质求出，，从而由线段的和差算出CF的长，由线段垂直平分线的性质及已知可推出OB=OC，从而由等腰三角形的三者求出BC的长，最后根据BE=BC-CE可算出答案．
13． 如图， 是射线 上一点， 连结 ， 将三角形 沿着 翻折得到三角形 ， 点 的对应点为点 ， 若 ， 则
【答案】78°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图连接AE，△AEF由△AEC沿AE翻折得到，设∠CAE的度数为x.
∵AB∥CD，且∠C=60°，
∴∠C+∠CAB=180°，即∠CAB=180°-60°=120°.
∵△AEF由△AEC沿AE翻折得到，
∴∠CAE=∠EAF=x.
∵∠EAF=∠FAB，
∴∠FAB=.
∴∠CAB=120°=∠CAE+∠EAF＋∠FAB=，
解得x=42°=∠CAE.
∴∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-60°-42°=78°.
故答案为：78°.
【分析】利用平行线的性质算出∠CAB，以及翻折对称性得出∠CAE=∠EAF. 再通过设∠CAE，结合条件∠EAF=∠FAB，得出关于∠CAE的一元一次方程式，解出∠CAE后，再通过三角形内角和为180°，计算出∠AEC.
14．（2024八下·西安月考）如图，等腰的底边，面积为48，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，连接AD，如图，
∵是腰的垂直平分线，
∴
∴
∴当A、D、F三点共线时，的值最小，最小值为AF的长度，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴的最小值为：，
∴周长的最小值为：，
故答案为：.
【分析】作AH⊥BC于H，连接AD，根据垂直平分线的性质得到：即可推出则当A、D、F三点共线时，的值最小，最小值为AF的长度，然后根据"的面积为48"，据此求出AH的长度，再结合题意并利用勾股定理即可求出AF的长度，进而即可求解.
15．如图，在中，，，点分别在边上，连结，已知点和点关于直线对称．设，若，则 (结果用含的代数式表示)．
【答案】
【知识点】轴对称的性质；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，连结，
点和点关于直线对称，．
．
设，则，设，则，
由勾股定理得，，
故答案为：.
【分析】由轴对称的性质可得，即可证得，设，则，设，则，由勾股定理可得，进而解得，故可得，即可计算出的值.
16．（2024八上·滨江期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BG=x，则FG=EG=BG=x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴AF=AB-BF=2-2x，
∴EF=AF=2-2x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
∵AB⊥CD，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=AC=，
∴DF=AD-AF=，
∴DG=GF-DF=，
在直角三角形EFD中，；
在直角三角形EGD中，；
∴，
∴，
∴x=，
∴AF=2-2x=；
故答案为：.
【分析】先利用直角三角形中30°锐角所对的直角边是斜边的一半得到AD、AB长；设BG=x，再根据折叠性质得到EG=BG=x，进而得到GF=x，从而AF长可以用含x的式子表示出来，可以把EF、DF、DG都用含x的式子表示出来；再根据勾股定理得到，，等量代换得到，把含x的式子代入解出x，再根据AF=2-2x即可求出AF长.
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题8分，第20题11分，第21题8分，第22题8分，第23题7分，第24题10分，共66分）
17．（2024八下·麒麟期中） 如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）判断是直角三角形吗？请说明理由．
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）解：是直角三角形．
理由：∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：如图，过点D作交延长线于点M．
由（1）可知，
所以．
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的面积，熟知勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的面积计算公式是解题关键.
（1）由∠ACD=90°和勾股定理可知：在Rt△ACD中， 4，再由3，1，由勾股定理逆定理可知：△ABC为直角三角形，即可得出答案；
（2）过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M，由∠ACD=90°，∠ABC=90°和三角形内角和为180°可知：∠ACD+∠DCM=90°，∠ACB+∠CAB=90°，由同角的余角相等可知：∠CAB=∠DAM，由AC=CD，∠ABC=∠CMD=90°，由全等三角形的判定方法AAS可证得△ABC≌△CMD，再由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知：DM=BC=1，最后代入三角形面积计算公式：×BC×DM=，即可得出答案.
18．（2024·沙坪坝模拟）已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．
图1 图2 图3
（1）如图1，延长交于点，若，，求的长；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
（3）如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）解 ：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，
【分析】(1)作FP⊥BC，利用特殊角45°和60°求出CF的长；
(2)延长到I，使，作，证明，，可得结论；
(3)先转化线段，作DF⊥BC，得BD=2BF由BD=2CH得，再得得DE=DK，BE=AD，BD=AK，当DE取最小值时，△ADk的周长取最小值，得CG=AK=BD=4； 求出此时△CKQ的面积即可.
19．（2024八下·自贡月考） 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间秒．
（1）出发2秒后，求周长；
（2）求当为何值时，为等腰三角形．
（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】（1）解：，，，
根据勾股定理可得，
动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
出发2秒后，，则，
，
根据勾股定理可得，
周长为.
（2）解：①若在边上时，，
此时用的时间为，为等腰三角形，
②若在边上时，有三种情况：
若使，此时，运动的路程为，所以用的时间为，
故时为等腰三角形；
若， 过作斜边的高， 根据面积法求得高为，
根据勾股定理求得，
所以运动的路程为，
的时间为，为等腰三角形，
若时，则，
，
，
，
，
的路程为， 所以时间为时， 为等腰三角形，
或或或时为等腰三角形；
（3）解：由题意可得周长为，且24÷8=3，
∴ t≤3s，
即点P一定在AC上，
两点同时出发，均按的路径运动，速度为每秒，速度为每秒，
①当在上，在上时，直线把的周长分成相等的两部分，此时，t≤2.25s，
可得，解得；
②当在AC上，在上时，直线把的周长分成相等的两部分，此时，2.25s ≤t＜3s，
可得，解得（舍去），
综上，当是，直线把的周长分成相等的两部分.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，再根据题意可知CP，AP，根据勾股定理求得PB，即可求得△ABP的周长；
（2）①若在边上时，；
②若在边上时，有三种情况：若，此时；
若， 过作斜边的高，根据等面积法和勾股定理可得BP；
若时，根据等腰三角形的性质和等角的余角相等可得∠ACP=∠CAP，再根据等角对等边可得PA；
（3）先判断t的取值范围，即可判断出P在AC上，再分两种情况：①当在上，在上时；②
当在AC上，在上时；分别根据周长的一半建立关系，即可求得.
20．（2024八下·景德镇期中） 实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：
（1）如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由；
（2）在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论；
（3）如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系；
（4）如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长．
【答案】（1）解：同意，
理由如下：
∵在等边三角形中，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，即
（2）解：（1）的结论成立，
证明：线段朝外作等边三角形，连接，如图，
在等边，等边中，，，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）解：如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，，，
在等腰直角，等腰直角中，，，，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即
（4）解：
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（4）解：过点A作，交延长线于点D，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，再根据三角形的外角求出∠PAB，进而得到∠PAC，最后根据勾股定理证出即可.
（2）线段朝外作等边三角形，连接，先根据等边三角形的性质和全等三角形的判定SAS证出，进而得到，再证出，最后根据勾股定理即可得到结论.
（3）先根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定SAS证出，进而得到，证出，最后根据勾股定理证出即可.
（4）过点A作，交延长线于点D，得是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定SAS证出进而得到，进而求出PA即可.
21．（2024八下·黎川期中） 某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
（1）探究一：
如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为
（2）探究二：
如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，求“等补四边形”的面积．
（3）探究三：
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”，连接，若，，，试求出“等补四边形”的面积（用含，的代数式表示）．
【答案】（1）9
（2）解：如图，过点作交于点，
根据题意可得：，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积为：．
（3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，
作于点，
∴，，，，
在等补四边形中，，
∴，
∴点，，在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积等于的面积：．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）“等补四边形”的面积为，
故答案为：．
【分析】（1）根据旋转的性质，四边形的面积等于直角梯形面积的一半，结合题意，求出直角梯形的面积即可；
（2）根据旋转的性质，四边形的面积等于等边三角形的面积的三分之一，根据等边三角形的性质求出∠FCE=30°，根据30°直角三角形的性质求出EF的长，根据勾股定理求出三角形的高，即可求出等边三角形的面积；
（3）作AH⊥BC于点H，根据等补四边形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，得出，当点，B，C在同一直线上，则，据此求出
，再根据30°直角三角形的性质和勾股定理求出，根据“等补四边形”ABCD的面积等于的面积．
22．（2023七下·钢城期末）在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
（1）如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
（2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
（3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
【答案】（1）解：①与全等
证明：，
，即．
在与中，
，
②，
，
，
，
，
，
，
（2）
（3）解：当点运动到中点时，的周长最小．
，
，
为等边三角形
，
的周长
；
当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2），
，即．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据SAS即可证明 与全等 ；②由①知 与全等 ，可以得出对应角 ， 再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=90°，即可得出，从而得出∠BCE；
（2）由（1）知，再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=60°，即可得出，从而得出∠BCE；
（3）首先可得出 △ ADE是等边三角形，可得出DE=AD，然后可求出 △ DCE的周长=BC+DE=BC+AD，其中BC为定值，所以当AD最小时， △ DCE的周长最小，故而可得出当AD⊥BC，即点D是BC中点时， △ DCE的周长最小。
23．（2023七下·开江期末）在中，，是直线上一动点（不与点，重合）．
（1）如图1，若，点在边上，交于点，交于点．若，求的度数．
（2）如图2，若，点在边上，，交直线于点，交直线于点．
①线段，，三者之间的数量关系是 ▲ ；
②若点在的延长线①中的结论是否成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请画出图形，并直接写出，，三者之间的数量关系．
③若点在边上，且，请判断，，三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①
②不成立．如图2，．
如图，当在延长线上时，，
理由是：即，，
，，
，
，
，
在和中，
（），
，
．
③
理由：∵，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，，，
∴，
∴，．
∵，
∴，即．
又∵．
∴是的垂直平分线．
∴．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（2）①
∵ ， ，
∴
∵ ∠EBD=∠ADC
∴∠ABF=∠ACD
∵ AB=AC
∴
∴ AF=AD
∵ AB=AD+BD
∴ AB=AF+BD
【分析】本题考查等腰三角形的性质、垂直的性质、三条线段的数量关系、垂直平分线的判定应用。（1）根据 ，可得邻补角 ；依据两个垂直，可得三个直角，则可得 ；依据 ，可得，则，
得；（2）①求线段之间的数量关系，则需要转化成的证明上，找出其中线段的替换线段即可。 ② 判断①结论不成立，证明 当在延长线上时， 。根据 和 可知 ，根据AB=AC，可证（），则， 可得 ；
③ 如图所示：
证明 即可得到 ，，根据 ，可得 ，即．结合 ，可知是的垂直平分线．可得．
24．（2023七下·张店期末）已知线段垂直直线于点，点在直线上，分别以，为边作等边三角形（点在边的右侧）和等边三角形，直线交直线于点．
（1）当点在线段上时，如图1，求证：；
（2）①当点在线段的延长线上时（如图2），请直接写出线段，，之间的数量关系；
②当点在线段的延长线上时（如图3），请直接写出线段，，之间的数量关系；
③在①和②中，选择其中一个进行证明；
（3）当，且时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：设交于，如图：
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）解：①结论：．②结论：；
③证明①：如图2中，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
证明②：如图3中，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）的长为或
当点在线段上时，过点作于点于点，如图1：
∵，，设，
则，，
∵，
故，
解得：，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
故，
即；
当点在线段的延长线上时，如图2：
∵，即，故该情况不符合题意；
当点在线段的延长线上时，过点作于点于点，如图3：
∵，，设，
则， ，
∵，
故，
解得：，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
故，
即；
综上，当，且时，的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】（2）②结论DF=CE+CF。证明：如图3所示，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠DAB=∠EAC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，又∵AB⊥l，∴∠ABD=∠ABF=90°，又∠ABC=60°，∴∠FBC=30°，又∠ACE=∠ABD，∴∠ACE=90°，∴∠BFC+∠BAC=360°-（90°+90°）=180°，∴∠BFC=180°-60°=120°，∴∠FCB=30°，∴CF=BF，∵DF=BD+BF，∴DF=CE+CF；
【分析】（1）先根据SAS证明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分别计算∠FBC=30°，∠OFD=60°，根据三角形外角的性质，求得∠FCB=30°，根据等角对等边得出CF=BF，然后等量代换，即可得出结论；
（2）①DF=CF-CE，先根据SAS证明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分别计算∠FBC=30°，∠DFE=120°，根据三角形内角和定理求得∠FCB=30°，根据等角对等边得出CF=BF，然后等量代换，即可得出结论；
②DF=CE+CF，先根据SAS证明△ABD和△ACE全等，得出BD=CE，然后再分别计算∠FBC=30°，∠BFC=120°，根据三角形内角和定理求得∠FCB=30°，根据等角对等边得出CF=BF，然后等量代换，即可得出结论；
（3）根据点F的位置，可以分成三种情况分别计算AB的长度。①点F在线段BD上时，过点F作FH⊥BC于点H，设BF=CF=x，根据（2）的结论，可求得x的值，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出BH的长，再根据等腰三角形的性质，求出BC的长，根据等边三角形三边相等可知AB的长；②点F在线段BD的延长线上时， BD＜BF， 不符合BD=3BF，故该情况不符合题意；③点F在线段DB的延长线上时，过点F作FH⊥BC于点H，设BF=CF=x，根据（2）的结论，可求得x的值，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出BH的长，再根据等腰三角形的性质，求出BC的长，根据等边三角形三边相等可知AB的长；即可得出线段AB的两个值。
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