浙教版数学八上第2章章末重难点专训 等腰三角形和等边三角形

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名称 浙教版数学八上第2章章末重难点专训 等腰三角形和等边三角形
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2024-08-28 15:43:08

文档简介

浙教版数学八上第2章章末重难点专训 等腰三角形和等边三角形
一、选择题
1.(2024八下·南海月考)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上,两把直尺的接触点为P,则射线OP,即为的角平分线.边OA与其中一把直尺边缘的交点为C,点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5,则OC的长度是(  )
A. B.2.5 C. D.3
2.(2024八下·南城期中) 如图,在,,平分,,,下列结论中:,,,.正确的是(  )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
3.(2024·织金模拟)点A,B在直线l同侧,若点C是直线l上的点,且是等腰三角形,则这样的点C最多有(  )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4.(2024八下·顺德期中)如图,中,,,BD、CD分别平分、,过点D作直线平行于BC,交AB、AC于E、F,则的周长为(  )
A.16 B.17 C.18 D.19
5.(2024·浙江模拟)如图,在中,,以点为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点,交BC于点,分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在的内部相交于点,画射线BP,交AC于点.若,则的度数为(  )
A. B. C. D.
6.(2024八上·仙居期末)如图,在“V”字形图形中,,,,,,若要求出这个图形的周长,则需添加的一个条件是(  ).
A.的长 B.的长 C.的长 D.与的和
7.(2022八上·杭州期中)如图,中,分别平分和,过点F作交于点D,交于点E,那么下列结论:
①;②为等腰三角形;③的周长等于的周长;④.其中正确的是(  )
A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③④
8.(2023八上·新丰期中)如图,点为线段上一点,和是等边三角形.下列结论:
①;②;③是等边三角形;④.其中正确的是(  )
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
9.(2023八上·洞口期中)如图,在中,,为的平分线,,垂足为M,且,,则(  ).
A.10 B.7 C.8 D.9
10.(2017七下·东营期末)如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线一点,当PA=CQ时,连结PQ交AC于D,则DE的长为(  )
A. B. C. D.
二、填空题
11.(2024八下·哈尔滨开学考)如图,P、两点关于对称,P、两点关于对称,若,,则   .
12.(三角形(289)+—+等腰三角形的判定与性质(普通))如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是   .
13.(2024八上·防城期末)如图,边长为的正三角形向右平移,得到正三角形,此时阴影部分的周长为   .
14.(2024九下·路桥开学考)如图,AB=AC,D为AC的垂直平分线上一点,且CD=BC,BD=AB,则∠A=   .
15.(2023八上·香坊期中)如图,在△ABC中,AB=AC.E为平面上一点,连接AE、CE,点D为AE上一点,连接CD、BD,BD与AC交于点F,若∠ACB=∠BDC=60°,∠E﹣∠CDE=∠CAD+∠ABD,BD=8,AF:AC=3:8,CE=.△ABD的面积为   .
16.(2023八上·朝阳期中) 如图,过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC边于D,则下面结论:①PE=2AE;②D为PQ的中点;③CQ=2AE;④CQ+2CD=2;其中正确的结论有:    .
三、解答题
17.(2024八上·赣州期末)在中,,,是边上的高,点E为直线上点,且.
(1)如图1,当点E在边上时,求证:为等边三角形;
(2)如图2,当点E在的延长线上时,求证:为等腰三角形.
18.(2024八上·道里期末)点D为的边上一点,连接,点E在外,连接,,,.
(1)如图1,若,请你判定的形状并证明;
(2)如图2,若,请你判定的形状并证明.
19.(2023八上·松原期中)△ABC中,AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B,C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE.
(1)如图①,若∠BAC=∠DAE=60°,则△BEF是   三角形;
(2)若∠BAC=∠DAE≠60°
①如图②,当点D在线段BC上移动,判断△BEF的形状并证明;
②当点D在线段BC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?请直接写出结论并画出相应的图形.
20.(2024八上·斗门期末)在等边中,点为边上任意一点,点在边的延长线上,且.
(1)如图1,若点为的中点,求证:;
(2)如图2,若点为上任意一点,求证:.
四、实践探究题
21.(2023八上·哈尔滨期中)数学课上,刘老师出示了如下的题目:如图1,在等边中,点在上,点在的延长线上,且,试确定线段与的大小关系,并说明理由.
小敏与同桌小聪探究解答的思路如下:
(1)特殊情况,探索结论:
当点为的中点时,如图2,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论:   (填“>”或填“<”或填“=”)
(2)特例启发,解答题目:
解:题目中,与的大小关系是: (填“>”或填“<”或填“=”).
理由如下:如图3,过点作,交于点.(请你补充完成解答过程)
(3)拓展结论,设计新题:
小敏解答后,提出了新的问题:在等边中,点在直线上,点在直线上,且,已知的边长为3,,则的长=   (请直接写出结果,备用图供选用).
五、综合题
22.(2023七下·闵行期末)已知在等边中,点是边上一点,点是延长线上一点,.
(1)如图1,如果点是的中点,说明;
(2)如图2,如果点是上任意一点(不与点、重合),还成立吗?请说明理由.
23.(2023八上·宁波期末)两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角顶点,并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形,我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连结BD,CE,则△ABD≌△ACE.
(1)请证明图1的结论成立;
(2)如图2,△ABC和△AED是等边三角形,连接BD,EC交于点O,求∠BOC的度数;
(3)如图3,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,试探究∠A与∠C的数量关系.
24.(2023八上·桂平期末)如图,已知点D是等边三角形中边所在直线上的点,连接,过点D作,与的邻补角的平分线交于点F.
(1)如图①,当点D在线段上时,过点D作,且交于点E.求证:;
(2)如图①,在(1)的条件下,求证:;
(3)如图②,当点D在线段的延长线上时,(2)中线段,,之间的数量关系式还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请写出线段,,之间新的数量关系式,并说明理由.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的判定与性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:∵是的角平分线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5,
∴,
故答案为:D.
【分析】根据角平分线的定义得到,再根据平行线的性质得到,则,再根据等角对等边可得,最后计算即可.
2.【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质;平行线的性质;等腰三角形的判定与性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:①∵AH⊥BC,EF∥BC
∴AH⊥EF
①正确
②∵BF平方∠ABC
∴∠ABF=∠CBF
∵EF∥BC
∴∠EFB=∠CBF
∴∠ABF=∠EFB
②正确
③∵BE⊥BF
∴∠E+∠EFB=90°,∠ABE+∠ABF=90°
∵∠ABF=∠EFB
∴∠E=∠ABE
③正确
④∵BE⊥BF,但∠BAC不一定是直角
∴BE不一定平行于AC
∴和不一定全等
∴AF不一定等于BE
④错误
故答案为:A.
【分析】①利用直线垂直的判定定理可得;
②利用BF平方∠ABC和EF∥BC即可得到答案;
③根据等角的余角相等即可得到答案;
④AF=BE的条件不足.
3.【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题可得如图:
这样的点C最多有5个,
故答案为:A.
【分析】根据题意作出图形即可求解.
4.【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:∵EF//BC,
∴∠CBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,
∵ BD、CD分别平分、,
∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,
∴∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,
∴BE=DE,DF=CF,
∵,,
∴ 的周长为AE+AF+EF
=AE+AF+DE+DF
=AE+AF+BE+CF
=AB+AC
=17
故答案为:B.
【分析】根据平行线的性质得到∠CBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,根据角平分线的定义得到∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,等量替换得到∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,进而得到BE=DE,DF=CF,即可求出的周长 。
5.【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质;尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解:由作图得:平分,








∴,
故答案为:A.
【分析】由作图可得平分,即,根据,可得,则,根据可得,然后利用三角形内角和定理列式求出即可.
6.【答案】A
【知识点】平行线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图,延长BE、CF交点M,
∵∠D=60°,DE=DF,
∴△DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF,
∵CF∥AB,
∴∠MFE=∠FED=60°,
同理,∠MEF=∠EFD=60°
∴△MEF是等边三角形
∴ME=MF=EF
∴ME=DE=MF=DF
同理可得△MBC是等边三角形
∴AB=AC=MB=ME+BE=DE+BE,
∴“V”形图的周长=4AB
故答案为:C.
【分析】本题根据两直线平行,同位角相等或内错角相等进行推角,利用等边三角形的判定定理判定△DEF,△ABC等为等边三角形,进行线段转化即可。
7.【答案】C
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;等腰三角形的判定与性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:①∵ 是 的角平分线,
∴ ,
又 ,

,故①正确;
②同理 ,

为等腰三角形故②正确;
③假设 为等边三角形,则 ,如图,连接 ,
∵ ,

的周长 ,
∵F是 的平分线的交点,
∴第三条平分线必过其点,即 平分 ,
∵ 为等边三角形,
∴ ,
∴ ,





即 的周长 的周长,故③错误;
④在 中, (1),
在 中, ,
即 (2),
得 ,故④正确;
故答案为:C.
【分析】①②根据角平分线的定义及平行线的性质可得,,可证△ECF为等腰三角形;③用特殊值法,当△ABC为等边三角形,则 ,连接 ,根据等边三角形的性质,角平分线的定义和等腰三角形的判定可得,进而得出,从而得出的周长 的周长,据此判断即可;④利用三角形的内角和可得①,+∠ABC+∠ACB=180°②,联合①②可得,据此判断即可.
8.【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:∵和是等边三角形,



∴则①正确;


在和中

∴则②正确;

∴为等边三角形,则③正确;









即 ,则④错误;
综上所述,正确的有:①②③,
故答案为:C.
【分析】利用"SAS"证明,即可判断①;利用"ASA"证明即可判断②;再根据等边三角形的判定定理即可判断③;在③的基础上可得到进而证明即可判断④.
9.【答案】A
【知识点】角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解:如图延长BM,交AC于E,
∵AD平分∠BAC,BM⊥AD,
∴∠BAM=∠EAM,∠AMB=∠AME=90°,
在△ABM和△AEM中,
∴△ABM≌△AEM(ASA),
∴BM=ME=2,AE=AB=6,∠AEB=∠ABE,
BE=4.
是的外角.
.
=3,

.
故A符合题意,B,C,D不符合题意.
故答案为:A.
【分析】延长BM,交AC于E,由ASA易证△ABM≌△AEM得出BM=ME,AE=AB,∠AEB=∠ABE,求出BE=4,AE=6,由得出∠EBC=∠ACB,EC=BE=4即可求出AC.
10.【答案】A
【知识点】平行线的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:过P作PF∥BC交AC于F.
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,
∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ.
∵在△PFD和△QCD中,
∠PDF=∠QDC,∠PFD=∠QCD,PF=CQ,
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴FD=CD,
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DE= AC,
∵AC=1,
∴DE= .
故答案为:A.
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,平行线的性质等知识点的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力,题型较好,难度适中.
11.【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的性质
【解析】【解答】解:如图,连接OP'与OP'',
∵ P、P'两点关于OA对称,P、P''两点关于OB对称,
∴OP'=OP=7,OP''=OP=7,∠P'OP=∠AOP,∠BOP=∠P''OP,
∴OP'=OP'',∠P'OP''=2∠AOP+2∠BOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=60°,
∴△P'OP''是等边三角形,
∴P'P''=OP'=7.
故答案为:7.
【分析】如图,连接OP'与OP'',由轴对称的性质得OP'=OP=7,OP''=OP=7,∠P'OP=∠AOP,∠BOP=∠P''OP,则OP'=OP'',∠P'OP''=2∠AOB=60°,由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△P'OP''是等边三角形,最后根据等边三角形的三边相等可得答案.
12.【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,∠ABD=36°,
即△ABC是等腰三角形,
∴∠C=∠B=36°,
∴∠BAC=108°,
∵∠DAE=∠EAC=36°,
∴∠BAD=36°,
∴∠BAD=∠B=36°,∠EAC=∠C=36°,
∴△ABD,△ACE是等腰三角形,
∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°,
∴△ADE,△ABE,△ACD是等腰三角形.
故答案为:6.
【分析】由在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理,易求得各角的度数,继而求得答案.
13.【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质;平移的性质
【解析】【解答】解:∵为边长为的等边三角形,
∴,,
∵等边向右平移得到,
∴,,
∴,,
∴阴影部分为边长为等边三角形,
∴阴影部分的周长为,
故答案为:.
【分析】根据等边三角形和平移的性质,可求出,,利用三角形的判定定理得出阴影部分为边长是的等边三角形,进而由周长的公式直接计算即可.
14.【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解:连接AD,如图:

∵D为AC的垂直平分线上一点,
∴AD=CD.
∵CD=BC,
∴AD=BC,∠CDG=∠CBD.
又∵AB=AC,BD=BA,
∴AC=BD.
∴△ADC≌△BCD(SSS)
∴∠DCG=∠CDG.
∴DG=CG,
∴AG=BG.
∴∠GAB=∠BAC.
∴∠GBA=∠CDG=∠CBG.
∴∠ABC=2∠GBA=2∠BAC.
设∠A=α,
∴∠ABC=∠ACB=2α.
故5α=180°,
解得:α=36°.
故答案为:36°.
【分析】连接AD,证得AD=CD,利用SSS证得△ADC≌△BCD,于是有∠DCG=∠CDG.根据等腰三角形的判定和性质证得∠GAB=∠BAC,从而有∠GBA=∠CDG=∠CBG.于是可证得∠ACB=∠ABC=2∠BAC,设∠A=α,利用三角形的内角和即可求得∠A的度数.
15.【答案】
【知识点】三角形的面积;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图,以DC为一边在DC的左侧作∠DCT=60°,
交BD于点T,连接AT,
∵∠ACB=60°,AB=AC,
∴△ABC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形),
∴BC=AC,∠ABC=60°,
∵∠BDC=60°,
∴△CDT是等边三角形,
∴CT=CD,∠DTC=60°,
∴∠BTC=180°-∠DTC=120°.
∴∠BCT=∠ACB-∠ACT=60°-∠ACT,
∠ACD=∠DCT-∠ACT=60°-∠ACT,
∴∠BCT=∠ACD.
在△BCT与△ACD中,
∴△BCT≌△ACD(SAS),
∴∠ADC=∠BTC=120°,AD=BT,
∴∠CDE=60°,
∵∠BAF=∠CDF,∠AFB=∠CFD,
∴∠ABD=∠ACD,
∵∠E ∠CDE=∠CAD+∠ABD,
∴∠E-30°=∠CAD+ACD,
又∵∠CAD+∠ACD=∠CDE=60°,
∴∠E-30°=60°,
∴∠E=90°,
∴∠DCE=30°,
∴DE=CE=2.5,CD=2DE=5,
∴DT=CD=5,
∴AD=BT=BD-DT=3,
∴S△ADC=AD CE=×3×=.
∵∠ADC+∠DCT=180°,
∴AD∥CT,
∴S△ADT=S△ACD=,
∵BD:DT=8:5,
∴S△ABD=S△ADT=.
故答案为:.
【分析】先证明△ABC是等边三角形,△CDT是等边三角形,进而证明△BCT与△ACD全等,得到∠ADC=∠BTC并求得其角度,从而可得AD=BT,求得∠CDE,再推出∠E=90°,可得∠DCE=30°,由此求出DE,CD,就可求得DT,AD,进一步求出S△ADC,由BD:DT=8:5,可求得S△ABD.
16.【答案】②③④
【知识点】三角形全等的判定;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示
①PE=2AE;
△ABC是等边三角形
PE⊥AC
故①不正确
②D为PQ的中点;
过点P作PFBC交AC于F
在三角形PFD和三角形QCD中
故②正确
③CQ=2AE;
由上一问知,PE⊥AC
(三线合一)
故③正确
④CQ+2CD=2;
如图所示
由②的全等证明可知CD=FD,CQ=FP=AF
故④正确
综上,
故填:②③④
【分析】根据等边三角形的性质,三边相等三个内角都是60°及三线合一的性质,由三角形全等得到等边等条件,逐一判定线段之间的数量关系。
17.【答案】(1)证明:∵,,
∴为等边三角形,
∴,
∵是边上的高,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形.
(2)证明:同(1)可知,
∴,
∵为等边三角形,
∴,
∴,
∴,即为等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)从已知条件入手,有等腰三角形和一个内角是60°,可推出等腰三角形是等边三角形且三个内角都是60°,由等腰三角形可想到著名的三线合一定理,由中点得到线段相等,再次应用有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形的定理可证得结论;
(2)在上一问的基础上,可由等腰三角形的三线合一定理知和CE=CD,等边对等角且是外角的一半,,再由等角对等边可证得为等腰三角形。
18.【答案】(1)解:(1)是等腰三角形,证明如下:
∵,
∴,
∵°,

在和中,

∴,
∴,
∴是等腰三角形;
(2)解:是等边三角形,证明如下:
如图2,过点作于点于点,
则,
∵,
∴是等边三角形,

∴,


在和中,

∴,
∴,

∴平分,
∵,
∴,




在和中,


∴,
∵,
∴是等边三角形.
【知识点】等腰三角形的判定;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)△ABC是等腰三角形,理由如下:由四边形的内角和定理及同角的补角相等得∠AEC=∠ADB,再由SAS判断出△ACE≌△ABD,由全等三角形的对应边相等,得AC=AB,从而根据等腰三角形的判定定理即可得出结论;
(2)△ABC是等边三角形,理由如下:过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥AC于点N,由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形,得∠AED=60°,DE=AE,由三角形外角性质推出∠EAN=∠EDM,从而由AAS判断出△EMD≌△EAN,得EM=EN,由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得CE平分∠ACM,则可得∠ACE=60°,再根据三角形的内角和定理及平角定理可推出∠AEC=∠ADB,从而用SAS判断出△ACE≌△ABD,由全等三角形的对应边相等得AC=AB,根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形.
19.【答案】(1)等边三角形
(2)解:①△BEF为等腰三角形.
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴△AED和△ABC为等腰三角形.
∴∠C=∠ABC,∠EAB =∠DAC.
∴△EAB≌△DAC.
∴∠EBA =∠C.
∵EF∥BC,
∴∠EFB=∠ABC.
∵在△EFB中,∠EFB=∠EBA,
∴△EFB为等腰三角形;
②△EFB为等腰三角形.
【知识点】平行线的性质;三角形全等及其性质;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:(1)∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°
∴△AED和△ABC为等边三角形
∴∠C=∠ABC=60°,∠EAB=∠DAC
∴△EAB≌△DAC
∴∠EBA=∠C=60°
∵EF∥BC
∴∠EFB=∠ABC=60°
∵在△EFB中,∠EFB=∠EBA=60°
∴△EFB为等边三角形
(2)AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B,C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,
过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
∴△AED和△ABC为等腰三角形
∴∠ACB=∠ABC,∠EAB=∠DAC
∴△EAB≌△DAC
∴∠EBA=∠ACD
∴∠EBF=∠ACB
∵EF∥BC
∴∠AFE=∠ABC
∵∠ABC=∠ACB
∴∠AFE=∠ACBA
∵在△EFB中,∠EBF=∠AFE
∴△EFB为等腰三角形
故答案为:△EFB为等腰三角形.
【分析】(1)根据等边三角形的判定定理可得△AED和△ABC为等边三角形,再根据全等三角形判定定理可得△EAB≌△DAC,则∠EBA=∠C=60°,根据直线平行性质,等边三角形判定定理即可求出答案.
(2)①根据等腰三角形性质,全等三角形判定定理及性质可得 ∠EBA =∠C,再根据直线平行性质,等腰三角形判定定理即可求出答案.
②AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B,C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,
过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE,根据等腰三角形性质,全等三角形判定定理及性质可得 ∠EBF=∠ACB,再根据直线平行性质,等腰三角形判定定理即可求出答案.
20.【答案】(1)证明:∵为等边三角形,点为的中点,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)证明:如图所示,过点E作交于H,
∵为等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,

∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 (1)通过等边三角形的内角及三线合一得出是等腰三角形,进而求出答案;
(2)证明线段相等,最常用办法是通过全等得到,可以构造平行线得到等边三角形,进而为下一步全等提供条件.
21.【答案】(1)=
(2)解:=;理由如下:
如图:作EF∥BC,交AB于E,AC于F,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠1=∠2,
∴∠3=∠5=120°,
∵EC=ED,
∴∠2=∠4,
∴∠1=∠4,
在△BDE和△EFC中,
∴△BDE≌△EFC(AAS),
∴DB=EF,
∵∠A=∠AEF=∠AFE=60°,
∴为等边三角形,
∴AE=DB;
故答案为:=;
(3)2或4
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:(1)∵等边△ABC中,点E为AB的中点,
∴∠ABC=60°,∠ECB=30°,AE=BE,
∴∠ABD=120°,
∵DE=CE,
∴∠D=∠ECB=30°,
∴∠DEB=30°,
∴∠DEB=∠D,
∴DB=BE,
∴AE=DB;
故答案为:=.
(3)①当点E在线段AB上时由(2)可知:AE=DB=1,
∵△ABC是等边三角形,边长为3,
∴BC=3,
∴CD=DB+BC=1+3=4,
②当点E在线段BA的延长线上时,如图:
过点E做EF∥BC交CA的延长线于点F,
∴∠FEC+∠ECD=180°,∠F=∠ACB=60°,
∵EC=ED,
∴∠ECD=∠EDC,
∵∠FEC+∠EDC=180°,
∠EDB+∠EDC=180°,
∴∠EDB=∠FEC,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ABC=∠BAC=60°,
∴∠B=∠F.
在△FEC和△EDB中,
∴△FEC≌△EDB,
∴BD=EF,
∵∠F=∠ACB=60°,
∠FAE=∠BAC=60°,
∴△FEA是等边三角形,
∴EF=AE=1,
∴CD=BC-BD=3-1=2.
∴CD 的长为2或4.
∴故答案为:2或4.
【分析】(1)由等边三角形性质,等腰三角形三线合一可知,CE是∠ACB的角平分线,∠ABC=60°,然后再利用等角对等边可得;
(2)作平行线,利用等边三角形,把AE转移到EF,利用全等三角形,把DB转移到EF,再利用等量代换即可得到;
(3)①当点E在线段AB上时,由(2)可知:AE=DB=1,因为△ABC是等边三角形,边长为3,所以BC=3,所以CD=DB+BC=1+3=4.②当点E在线段BA的延长线上时,过点E做EF∥BC交CA的延长线于点F,可知∠FEC+∠ECD=180°,∠F=∠ACB=60°。由EC=ED可得∠ECD=∠EDC。因为∠FEC+∠EDC=180°,∠EDB+∠EDC=180°所以∠EDB=∠FEC。由△ABC是等边三角形可知∠B=∠ABC=∠BAC=60°,所以∠B=∠F.在△FEC和△EDB中,由∠B=∠F,∠FDB=∠FEC,DE=CE,可得△FEC≌△EDB。所以BD=EF,再加上∠F=∠ACB=60°,∠FAE=∠BAC=60°,可得△FEA是等边三角形。所以EF=AE=1,所以CD=BC-BD=3-1=2.综上所述:CD 的长为2或4.
22.【答案】(1)解:是等边三角形,


点是的中点,
,,





(2)解:成立,理由如下:
如图,过点作,




是等边三角形,

,,
是等边三角形,

在和中,




【知识点】三角形全等及其性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用等边三角形的性质求出 , 再求出 , 最后计算求解即可;
(2)利用等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质证明求解即可。
23.【答案】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE;
(2)解:如图2,∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ADB=∠AEC,
记AD与CE的交点为G,
∵∠AGE=∠DGO,
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE,
∴∠DOE=∠DAE=60°,
∴∠BOC=60°
(3)解:∴∠A+∠BCD=180°.理由:
如图3,延长DC至P,使DP=DB,
∵∠BDC=60°,
∴△BDP是等边三角形,
∴BD=BP,∠DBP=60°,
∵∠ABC=60°=∠DBP,
∴∠ABD=∠CBP,
∵AB=CB,
∴△ABD≌△CBP(SAS),
∴∠BCP=∠A,
∵∠BCD+∠BCP=180°,
∴∠A+∠BCD=180°.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用已知条件可证得∠BAD=∠CAE,利用SAS可证得结论.
(2)利用等边三角形的性质可证得AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,由此可推出∠BAD=∠CAE,利用SAS可证得△ABD≌△ACE,利用全等三角形的对应角相等可得到∠ADB=∠AEC,再证明∠DOE=∠DAE,可求出∠DOE的度数,利用对顶角相等,可求出结果.
(3)延长DC至P,使DP=DB,可证得△BDP是等边三角形,利用等边三角形的性质可得到BD=BP,∠DBP=60°,由此可推出∠ABD=∠CBP,利用SAS证明△ABD≌△CBP,利用全等三角形的性质可得到∠BCP=∠A,利用∠BCD+∠BCP=180°,可证得结论.
24.【答案】(1)证明:是等边三角形,


,,

是等边三角形,

(2)证明:与都是等边三角形,
,,
,即.

.
是的邻补角的平分线,的邻补角为,


.
,,
.

.
在和中,



∴;
(3)解:(2)中线段,,之间的数量关系式不成立,
新的数量关系式是:.
理由如下:
过点D作交于点G,
则,,
为等边三角形,,
.
,,
.
在和中,




.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质及平行线的性质可得∠BDE=∠BED=60°,可证△BDE是等边三角形,可得BD=BE;
(2)由等边三角形的性质可得BA=BC,BD=BE,从而得出AE=CD,根据ASA证明△AED≌△DCF,可得DE=CF,从而得出;
(3).理由: 过点D作交于点G, 根据ASA证明△ACD≌△FGD,可得AC=FG,即得BC=FG,从而得出.
1 / 1浙教版数学八上第2章章末重难点专训 等腰三角形和等边三角形
一、选择题
1.(2024八下·南海月考)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上,两把直尺的接触点为P,则射线OP,即为的角平分线.边OA与其中一把直尺边缘的交点为C,点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5,则OC的长度是(  )
A. B.2.5 C. D.3
【答案】D
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的判定与性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:∵是的角平分线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5,
∴,
故答案为:D.
【分析】根据角平分线的定义得到,再根据平行线的性质得到,则,再根据等角对等边可得,最后计算即可.
2.(2024八下·南城期中) 如图,在,,平分,,,下列结论中:,,,.正确的是(  )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质;平行线的性质;等腰三角形的判定与性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:①∵AH⊥BC,EF∥BC
∴AH⊥EF
①正确
②∵BF平方∠ABC
∴∠ABF=∠CBF
∵EF∥BC
∴∠EFB=∠CBF
∴∠ABF=∠EFB
②正确
③∵BE⊥BF
∴∠E+∠EFB=90°,∠ABE+∠ABF=90°
∵∠ABF=∠EFB
∴∠E=∠ABE
③正确
④∵BE⊥BF,但∠BAC不一定是直角
∴BE不一定平行于AC
∴和不一定全等
∴AF不一定等于BE
④错误
故答案为:A.
【分析】①利用直线垂直的判定定理可得;
②利用BF平方∠ABC和EF∥BC即可得到答案;
③根据等角的余角相等即可得到答案;
④AF=BE的条件不足.
3.(2024·织金模拟)点A,B在直线l同侧,若点C是直线l上的点,且是等腰三角形,则这样的点C最多有(  )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题可得如图:
这样的点C最多有5个,
故答案为:A.
【分析】根据题意作出图形即可求解.
4.(2024八下·顺德期中)如图,中,,,BD、CD分别平分、,过点D作直线平行于BC,交AB、AC于E、F,则的周长为(  )
A.16 B.17 C.18 D.19
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:∵EF//BC,
∴∠CBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,
∵ BD、CD分别平分、,
∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,
∴∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,
∴BE=DE,DF=CF,
∵,,
∴ 的周长为AE+AF+EF
=AE+AF+DE+DF
=AE+AF+BE+CF
=AB+AC
=17
故答案为:B.
【分析】根据平行线的性质得到∠CBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD,根据角平分线的定义得到∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD,等量替换得到∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,进而得到BE=DE,DF=CF,即可求出的周长 。
5.(2024·浙江模拟)如图,在中,,以点为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点,交BC于点,分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在的内部相交于点,画射线BP,交AC于点.若,则的度数为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质;尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解:由作图得:平分,








∴,
故答案为:A.
【分析】由作图可得平分,即,根据,可得,则,根据可得,然后利用三角形内角和定理列式求出即可.
6.(2024八上·仙居期末)如图,在“V”字形图形中,,,,,,若要求出这个图形的周长,则需添加的一个条件是(  ).
A.的长 B.的长 C.的长 D.与的和
【答案】A
【知识点】平行线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图,延长BE、CF交点M,
∵∠D=60°,DE=DF,
∴△DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF,
∵CF∥AB,
∴∠MFE=∠FED=60°,
同理,∠MEF=∠EFD=60°
∴△MEF是等边三角形
∴ME=MF=EF
∴ME=DE=MF=DF
同理可得△MBC是等边三角形
∴AB=AC=MB=ME+BE=DE+BE,
∴“V”形图的周长=4AB
故答案为:C.
【分析】本题根据两直线平行,同位角相等或内错角相等进行推角,利用等边三角形的判定定理判定△DEF,△ABC等为等边三角形,进行线段转化即可。
7.(2022八上·杭州期中)如图,中,分别平分和,过点F作交于点D,交于点E,那么下列结论:
①;②为等腰三角形;③的周长等于的周长;④.其中正确的是(  )
A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;等腰三角形的判定与性质;角平分线的概念
【解析】【解答】解:①∵ 是 的角平分线,
∴ ,
又 ,

,故①正确;
②同理 ,

为等腰三角形故②正确;
③假设 为等边三角形,则 ,如图,连接 ,
∵ ,

的周长 ,
∵F是 的平分线的交点,
∴第三条平分线必过其点,即 平分 ,
∵ 为等边三角形,
∴ ,
∴ ,





即 的周长 的周长,故③错误;
④在 中, (1),
在 中, ,
即 (2),
得 ,故④正确;
故答案为:C.
【分析】①②根据角平分线的定义及平行线的性质可得,,可证△ECF为等腰三角形;③用特殊值法,当△ABC为等边三角形,则 ,连接 ,根据等边三角形的性质,角平分线的定义和等腰三角形的判定可得,进而得出,从而得出的周长 的周长,据此判断即可;④利用三角形的内角和可得①,+∠ABC+∠ACB=180°②,联合①②可得,据此判断即可.
8.(2023八上·新丰期中)如图,点为线段上一点,和是等边三角形.下列结论:
①;②;③是等边三角形;④.其中正确的是(  )
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:∵和是等边三角形,



∴则①正确;


在和中

∴则②正确;

∴为等边三角形,则③正确;









即 ,则④错误;
综上所述,正确的有:①②③,
故答案为:C.
【分析】利用"SAS"证明,即可判断①;利用"ASA"证明即可判断②;再根据等边三角形的判定定理即可判断③;在③的基础上可得到进而证明即可判断④.
9.(2023八上·洞口期中)如图,在中,,为的平分线,,垂足为M,且,,则(  ).
A.10 B.7 C.8 D.9
【答案】A
【知识点】角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解:如图延长BM,交AC于E,
∵AD平分∠BAC,BM⊥AD,
∴∠BAM=∠EAM,∠AMB=∠AME=90°,
在△ABM和△AEM中,
∴△ABM≌△AEM(ASA),
∴BM=ME=2,AE=AB=6,∠AEB=∠ABE,
BE=4.
是的外角.
.
=3,

.
故A符合题意,B,C,D不符合题意.
故答案为:A.
【分析】延长BM,交AC于E,由ASA易证△ABM≌△AEM得出BM=ME,AE=AB,∠AEB=∠ABE,求出BE=4,AE=6,由得出∠EBC=∠ACB,EC=BE=4即可求出AC.
10.(2017七下·东营期末)如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线一点,当PA=CQ时,连结PQ交AC于D,则DE的长为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】平行线的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:过P作PF∥BC交AC于F.
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,
∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ.
∵在△PFD和△QCD中,
∠PDF=∠QDC,∠PFD=∠QCD,PF=CQ,
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴FD=CD,
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DE= AC,
∵AC=1,
∴DE= .
故答案为:A.
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,平行线的性质等知识点的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力,题型较好,难度适中.
二、填空题
11.(2024八下·哈尔滨开学考)如图,P、两点关于对称,P、两点关于对称,若,,则   .
【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的性质
【解析】【解答】解:如图,连接OP'与OP'',
∵ P、P'两点关于OA对称,P、P''两点关于OB对称,
∴OP'=OP=7,OP''=OP=7,∠P'OP=∠AOP,∠BOP=∠P''OP,
∴OP'=OP'',∠P'OP''=2∠AOP+2∠BOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=60°,
∴△P'OP''是等边三角形,
∴P'P''=OP'=7.
故答案为:7.
【分析】如图,连接OP'与OP'',由轴对称的性质得OP'=OP=7,OP''=OP=7,∠P'OP=∠AOP,∠BOP=∠P''OP,则OP'=OP'',∠P'OP''=2∠AOB=60°,由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△P'OP''是等边三角形,最后根据等边三角形的三边相等可得答案.
12.(三角形(289)+—+等腰三角形的判定与性质(普通))如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是   .
【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,∠ABD=36°,
即△ABC是等腰三角形,
∴∠C=∠B=36°,
∴∠BAC=108°,
∵∠DAE=∠EAC=36°,
∴∠BAD=36°,
∴∠BAD=∠B=36°,∠EAC=∠C=36°,
∴△ABD,△ACE是等腰三角形,
∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°,
∴△ADE,△ABE,△ACD是等腰三角形.
故答案为:6.
【分析】由在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理,易求得各角的度数,继而求得答案.
13.(2024八上·防城期末)如图,边长为的正三角形向右平移,得到正三角形,此时阴影部分的周长为   .
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质;平移的性质
【解析】【解答】解:∵为边长为的等边三角形,
∴,,
∵等边向右平移得到,
∴,,
∴,,
∴阴影部分为边长为等边三角形,
∴阴影部分的周长为,
故答案为:.
【分析】根据等边三角形和平移的性质,可求出,,利用三角形的判定定理得出阴影部分为边长是的等边三角形,进而由周长的公式直接计算即可.
14.(2024九下·路桥开学考)如图,AB=AC,D为AC的垂直平分线上一点,且CD=BC,BD=AB,则∠A=   .
【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解:连接AD,如图:

∵D为AC的垂直平分线上一点,
∴AD=CD.
∵CD=BC,
∴AD=BC,∠CDG=∠CBD.
又∵AB=AC,BD=BA,
∴AC=BD.
∴△ADC≌△BCD(SSS)
∴∠DCG=∠CDG.
∴DG=CG,
∴AG=BG.
∴∠GAB=∠BAC.
∴∠GBA=∠CDG=∠CBG.
∴∠ABC=2∠GBA=2∠BAC.
设∠A=α,
∴∠ABC=∠ACB=2α.
故5α=180°,
解得:α=36°.
故答案为:36°.
【分析】连接AD,证得AD=CD,利用SSS证得△ADC≌△BCD,于是有∠DCG=∠CDG.根据等腰三角形的判定和性质证得∠GAB=∠BAC,从而有∠GBA=∠CDG=∠CBG.于是可证得∠ACB=∠ABC=2∠BAC,设∠A=α,利用三角形的内角和即可求得∠A的度数.
15.(2023八上·香坊期中)如图,在△ABC中,AB=AC.E为平面上一点,连接AE、CE,点D为AE上一点,连接CD、BD,BD与AC交于点F,若∠ACB=∠BDC=60°,∠E﹣∠CDE=∠CAD+∠ABD,BD=8,AF:AC=3:8,CE=.△ABD的面积为   .
【答案】
【知识点】三角形的面积;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图,以DC为一边在DC的左侧作∠DCT=60°,
交BD于点T,连接AT,
∵∠ACB=60°,AB=AC,
∴△ABC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形),
∴BC=AC,∠ABC=60°,
∵∠BDC=60°,
∴△CDT是等边三角形,
∴CT=CD,∠DTC=60°,
∴∠BTC=180°-∠DTC=120°.
∴∠BCT=∠ACB-∠ACT=60°-∠ACT,
∠ACD=∠DCT-∠ACT=60°-∠ACT,
∴∠BCT=∠ACD.
在△BCT与△ACD中,
∴△BCT≌△ACD(SAS),
∴∠ADC=∠BTC=120°,AD=BT,
∴∠CDE=60°,
∵∠BAF=∠CDF,∠AFB=∠CFD,
∴∠ABD=∠ACD,
∵∠E ∠CDE=∠CAD+∠ABD,
∴∠E-30°=∠CAD+ACD,
又∵∠CAD+∠ACD=∠CDE=60°,
∴∠E-30°=60°,
∴∠E=90°,
∴∠DCE=30°,
∴DE=CE=2.5,CD=2DE=5,
∴DT=CD=5,
∴AD=BT=BD-DT=3,
∴S△ADC=AD CE=×3×=.
∵∠ADC+∠DCT=180°,
∴AD∥CT,
∴S△ADT=S△ACD=,
∵BD:DT=8:5,
∴S△ABD=S△ADT=.
故答案为:.
【分析】先证明△ABC是等边三角形,△CDT是等边三角形,进而证明△BCT与△ACD全等,得到∠ADC=∠BTC并求得其角度,从而可得AD=BT,求得∠CDE,再推出∠E=90°,可得∠DCE=30°,由此求出DE,CD,就可求得DT,AD,进一步求出S△ADC,由BD:DT=8:5,可求得S△ABD.
16.(2023八上·朝阳期中) 如图,过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC边于D,则下面结论:①PE=2AE;②D为PQ的中点;③CQ=2AE;④CQ+2CD=2;其中正确的结论有:    .
【答案】②③④
【知识点】三角形全等的判定;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示
①PE=2AE;
△ABC是等边三角形
PE⊥AC
故①不正确
②D为PQ的中点;
过点P作PFBC交AC于F
在三角形PFD和三角形QCD中
故②正确
③CQ=2AE;
由上一问知,PE⊥AC
(三线合一)
故③正确
④CQ+2CD=2;
如图所示
由②的全等证明可知CD=FD,CQ=FP=AF
故④正确
综上,
故填:②③④
【分析】根据等边三角形的性质,三边相等三个内角都是60°及三线合一的性质,由三角形全等得到等边等条件,逐一判定线段之间的数量关系。
三、解答题
17.(2024八上·赣州期末)在中,,,是边上的高,点E为直线上点,且.
(1)如图1,当点E在边上时,求证:为等边三角形;
(2)如图2,当点E在的延长线上时,求证:为等腰三角形.
【答案】(1)证明:∵,,
∴为等边三角形,
∴,
∵是边上的高,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形.
(2)证明:同(1)可知,
∴,
∵为等边三角形,
∴,
∴,
∴,即为等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)从已知条件入手,有等腰三角形和一个内角是60°,可推出等腰三角形是等边三角形且三个内角都是60°,由等腰三角形可想到著名的三线合一定理,由中点得到线段相等,再次应用有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形的定理可证得结论;
(2)在上一问的基础上,可由等腰三角形的三线合一定理知和CE=CD,等边对等角且是外角的一半,,再由等角对等边可证得为等腰三角形。
18.(2024八上·道里期末)点D为的边上一点,连接,点E在外,连接,,,.
(1)如图1,若,请你判定的形状并证明;
(2)如图2,若,请你判定的形状并证明.
【答案】(1)解:(1)是等腰三角形,证明如下:
∵,
∴,
∵°,

在和中,

∴,
∴,
∴是等腰三角形;
(2)解:是等边三角形,证明如下:
如图2,过点作于点于点,
则,
∵,
∴是等边三角形,

∴,


在和中,

∴,
∴,

∴平分,
∵,
∴,




在和中,


∴,
∵,
∴是等边三角形.
【知识点】等腰三角形的判定;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)△ABC是等腰三角形,理由如下:由四边形的内角和定理及同角的补角相等得∠AEC=∠ADB,再由SAS判断出△ACE≌△ABD,由全等三角形的对应边相等,得AC=AB,从而根据等腰三角形的判定定理即可得出结论;
(2)△ABC是等边三角形,理由如下:过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥AC于点N,由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形,得∠AED=60°,DE=AE,由三角形外角性质推出∠EAN=∠EDM,从而由AAS判断出△EMD≌△EAN,得EM=EN,由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得CE平分∠ACM,则可得∠ACE=60°,再根据三角形的内角和定理及平角定理可推出∠AEC=∠ADB,从而用SAS判断出△ACE≌△ABD,由全等三角形的对应边相等得AC=AB,根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形.
19.(2023八上·松原期中)△ABC中,AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B,C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE.
(1)如图①,若∠BAC=∠DAE=60°,则△BEF是   三角形;
(2)若∠BAC=∠DAE≠60°
①如图②,当点D在线段BC上移动,判断△BEF的形状并证明;
②当点D在线段BC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?请直接写出结论并画出相应的图形.
【答案】(1)等边三角形
(2)解:①△BEF为等腰三角形.
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴△AED和△ABC为等腰三角形.
∴∠C=∠ABC,∠EAB =∠DAC.
∴△EAB≌△DAC.
∴∠EBA =∠C.
∵EF∥BC,
∴∠EFB=∠ABC.
∵在△EFB中,∠EFB=∠EBA,
∴△EFB为等腰三角形;
②△EFB为等腰三角形.
【知识点】平行线的性质;三角形全等及其性质;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:(1)∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°
∴△AED和△ABC为等边三角形
∴∠C=∠ABC=60°,∠EAB=∠DAC
∴△EAB≌△DAC
∴∠EBA=∠C=60°
∵EF∥BC
∴∠EFB=∠ABC=60°
∵在△EFB中,∠EFB=∠EBA=60°
∴△EFB为等边三角形
(2)AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B,C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,
过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
∴△AED和△ABC为等腰三角形
∴∠ACB=∠ABC,∠EAB=∠DAC
∴△EAB≌△DAC
∴∠EBA=∠ACD
∴∠EBF=∠ACB
∵EF∥BC
∴∠AFE=∠ABC
∵∠ABC=∠ACB
∴∠AFE=∠ACBA
∵在△EFB中,∠EBF=∠AFE
∴△EFB为等腰三角形
故答案为:△EFB为等腰三角形.
【分析】(1)根据等边三角形的判定定理可得△AED和△ABC为等边三角形,再根据全等三角形判定定理可得△EAB≌△DAC,则∠EBA=∠C=60°,根据直线平行性质,等边三角形判定定理即可求出答案.
(2)①根据等腰三角形性质,全等三角形判定定理及性质可得 ∠EBA =∠C,再根据直线平行性质,等腰三角形判定定理即可求出答案.
②AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B,C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,
过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE,根据等腰三角形性质,全等三角形判定定理及性质可得 ∠EBF=∠ACB,再根据直线平行性质,等腰三角形判定定理即可求出答案.
20.(2024八上·斗门期末)在等边中,点为边上任意一点,点在边的延长线上,且.
(1)如图1,若点为的中点,求证:;
(2)如图2,若点为上任意一点,求证:.
【答案】(1)证明:∵为等边三角形,点为的中点,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)证明:如图所示,过点E作交于H,
∵为等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,

∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 (1)通过等边三角形的内角及三线合一得出是等腰三角形,进而求出答案;
(2)证明线段相等,最常用办法是通过全等得到,可以构造平行线得到等边三角形,进而为下一步全等提供条件.
四、实践探究题
21.(2023八上·哈尔滨期中)数学课上,刘老师出示了如下的题目:如图1,在等边中,点在上,点在的延长线上,且,试确定线段与的大小关系,并说明理由.
小敏与同桌小聪探究解答的思路如下:
(1)特殊情况,探索结论:
当点为的中点时,如图2,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论:   (填“>”或填“<”或填“=”)
(2)特例启发,解答题目:
解:题目中,与的大小关系是: (填“>”或填“<”或填“=”).
理由如下:如图3,过点作,交于点.(请你补充完成解答过程)
(3)拓展结论,设计新题:
小敏解答后,提出了新的问题:在等边中,点在直线上,点在直线上,且,已知的边长为3,,则的长=   (请直接写出结果,备用图供选用).
【答案】(1)=
(2)解:=;理由如下:
如图:作EF∥BC,交AB于E,AC于F,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠1=∠2,
∴∠3=∠5=120°,
∵EC=ED,
∴∠2=∠4,
∴∠1=∠4,
在△BDE和△EFC中,
∴△BDE≌△EFC(AAS),
∴DB=EF,
∵∠A=∠AEF=∠AFE=60°,
∴为等边三角形,
∴AE=DB;
故答案为:=;
(3)2或4
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:(1)∵等边△ABC中,点E为AB的中点,
∴∠ABC=60°,∠ECB=30°,AE=BE,
∴∠ABD=120°,
∵DE=CE,
∴∠D=∠ECB=30°,
∴∠DEB=30°,
∴∠DEB=∠D,
∴DB=BE,
∴AE=DB;
故答案为:=.
(3)①当点E在线段AB上时由(2)可知:AE=DB=1,
∵△ABC是等边三角形,边长为3,
∴BC=3,
∴CD=DB+BC=1+3=4,
②当点E在线段BA的延长线上时,如图:
过点E做EF∥BC交CA的延长线于点F,
∴∠FEC+∠ECD=180°,∠F=∠ACB=60°,
∵EC=ED,
∴∠ECD=∠EDC,
∵∠FEC+∠EDC=180°,
∠EDB+∠EDC=180°,
∴∠EDB=∠FEC,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ABC=∠BAC=60°,
∴∠B=∠F.
在△FEC和△EDB中,
∴△FEC≌△EDB,
∴BD=EF,
∵∠F=∠ACB=60°,
∠FAE=∠BAC=60°,
∴△FEA是等边三角形,
∴EF=AE=1,
∴CD=BC-BD=3-1=2.
∴CD 的长为2或4.
∴故答案为:2或4.
【分析】(1)由等边三角形性质,等腰三角形三线合一可知,CE是∠ACB的角平分线,∠ABC=60°,然后再利用等角对等边可得;
(2)作平行线,利用等边三角形,把AE转移到EF,利用全等三角形,把DB转移到EF,再利用等量代换即可得到;
(3)①当点E在线段AB上时,由(2)可知:AE=DB=1,因为△ABC是等边三角形,边长为3,所以BC=3,所以CD=DB+BC=1+3=4.②当点E在线段BA的延长线上时,过点E做EF∥BC交CA的延长线于点F,可知∠FEC+∠ECD=180°,∠F=∠ACB=60°。由EC=ED可得∠ECD=∠EDC。因为∠FEC+∠EDC=180°,∠EDB+∠EDC=180°所以∠EDB=∠FEC。由△ABC是等边三角形可知∠B=∠ABC=∠BAC=60°,所以∠B=∠F.在△FEC和△EDB中,由∠B=∠F,∠FDB=∠FEC,DE=CE,可得△FEC≌△EDB。所以BD=EF,再加上∠F=∠ACB=60°,∠FAE=∠BAC=60°,可得△FEA是等边三角形。所以EF=AE=1,所以CD=BC-BD=3-1=2.综上所述:CD 的长为2或4.
五、综合题
22.(2023七下·闵行期末)已知在等边中,点是边上一点,点是延长线上一点,.
(1)如图1,如果点是的中点,说明;
(2)如图2,如果点是上任意一点(不与点、重合),还成立吗?请说明理由.
【答案】(1)解:是等边三角形,


点是的中点,
,,





(2)解:成立,理由如下:
如图,过点作,




是等边三角形,

,,
是等边三角形,

在和中,




【知识点】三角形全等及其性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用等边三角形的性质求出 , 再求出 , 最后计算求解即可;
(2)利用等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质证明求解即可。
23.(2023八上·宁波期末)两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角顶点,并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形,我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连结BD,CE,则△ABD≌△ACE.
(1)请证明图1的结论成立;
(2)如图2,△ABC和△AED是等边三角形,连接BD,EC交于点O,求∠BOC的度数;
(3)如图3,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,试探究∠A与∠C的数量关系.
【答案】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE;
(2)解:如图2,∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ADB=∠AEC,
记AD与CE的交点为G,
∵∠AGE=∠DGO,
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE,
∴∠DOE=∠DAE=60°,
∴∠BOC=60°
(3)解:∴∠A+∠BCD=180°.理由:
如图3,延长DC至P,使DP=DB,
∵∠BDC=60°,
∴△BDP是等边三角形,
∴BD=BP,∠DBP=60°,
∵∠ABC=60°=∠DBP,
∴∠ABD=∠CBP,
∵AB=CB,
∴△ABD≌△CBP(SAS),
∴∠BCP=∠A,
∵∠BCD+∠BCP=180°,
∴∠A+∠BCD=180°.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用已知条件可证得∠BAD=∠CAE,利用SAS可证得结论.
(2)利用等边三角形的性质可证得AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,由此可推出∠BAD=∠CAE,利用SAS可证得△ABD≌△ACE,利用全等三角形的对应角相等可得到∠ADB=∠AEC,再证明∠DOE=∠DAE,可求出∠DOE的度数,利用对顶角相等,可求出结果.
(3)延长DC至P,使DP=DB,可证得△BDP是等边三角形,利用等边三角形的性质可得到BD=BP,∠DBP=60°,由此可推出∠ABD=∠CBP,利用SAS证明△ABD≌△CBP,利用全等三角形的性质可得到∠BCP=∠A,利用∠BCD+∠BCP=180°,可证得结论.
24.(2023八上·桂平期末)如图,已知点D是等边三角形中边所在直线上的点,连接,过点D作,与的邻补角的平分线交于点F.
(1)如图①,当点D在线段上时,过点D作,且交于点E.求证:;
(2)如图①,在(1)的条件下,求证:;
(3)如图②,当点D在线段的延长线上时,(2)中线段,,之间的数量关系式还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请写出线段,,之间新的数量关系式,并说明理由.
【答案】(1)证明:是等边三角形,


,,

是等边三角形,

(2)证明:与都是等边三角形,
,,
,即.

.
是的邻补角的平分线,的邻补角为,


.
,,
.

.
在和中,



∴;
(3)解:(2)中线段,,之间的数量关系式不成立,
新的数量关系式是:.
理由如下:
过点D作交于点G,
则,,
为等边三角形,,
.
,,
.
在和中,




.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质及平行线的性质可得∠BDE=∠BED=60°,可证△BDE是等边三角形,可得BD=BE;
(2)由等边三角形的性质可得BA=BC,BD=BE,从而得出AE=CD,根据ASA证明△AED≌△DCF,可得DE=CF,从而得出;
(3).理由: 过点D作交于点G, 根据ASA证明△ACD≌△FGD,可得AC=FG,即得BC=FG,从而得出.
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