浙教版数学八上第2章章末重难点专训 勾股定理的实际运用-最短路径问题
一、选择题
1．（2022·金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，
∵两点之间，线段最短，
∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.
故答案为：C.
【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.
2．（2022八下·临西期末）如图，一个圆桶底面直径为8cm，高为12cm，则桶内所能容下的最长木棒的长度为（ ）．
A．8cm B．10cm C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，BC为圆桶的高，
∴AC=8cm，BC=12cm，
∴cm，
即桶内所能容下的最长木棒的长度为cm．
故答案为：D．
【分析】将立体几何转换成平面几何，再利用勾股定理求解即可。
3．（2024八下·乌鲁木齐期中） 如图，有两棵垂直于地面树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：两棵树的高度差为，间距为，
由勾股定理得小鸟至少飞行的距离．
故答案为：C
【分析】先根据题意得到两棵树的高度差为，间距为，进而根据勾股定理即可求解。
4．（2024八下·合浦期中）如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（ ）
A．4 B．4π C．8 D．10
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
在圆柱的侧面展开图中，，，设，
∵点移动的最短距离为，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴圆柱的底面周长为：．
故答案为：C．
【分析】先根据题意分析圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可
5．（2024八下·翁源期中）如图，小明想用彩色胶带装饰他的笔筒，这条胶带沿着这个圆柱的表面，从点A粘贴到点C，再从圆柱另外一面粘贴到A，已知它的底面直径为6，圆柱高为4，最少要用到的胶带长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：从A点经正面绕到C点，因为两点之间线段最短，所以至少使用胶带的长度.
故答案为：D.
【分析】因为两点之间线段最短，所以正面半段即AC最短为AC连线长，其可通过勾股定理由AB长及半圆BC长算出，最后乘以2即可.
6．（2022八下·余姚期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）
A． B． C．120 D．130
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程为AB的长，
∴AB===50，
∴一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程为50.
故答案为：B.
【分析】先画出台阶阶梯平面展开图，可知蚂蚁从A点爬到B点的最短路程为AB的长，再根据勾股定理求出AB的长即可解决问题.
二、填空题
7．（2024八下·自贡月考） 如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为 ．
【答案】26
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意得，彩带绕侧面一圈到AB的中点C'时，彩带最短，如图，
∴ AC'=
同理，C'E=13，
∴ 彩条的最短长度为26cm.
故答案为：26.
【分析】先将立体图形展开为平面图形，再根据两点之间线段最短和勾股定理，即可求得.
8．（2024八下·大化月考） 如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱展开如图：
小虫爬行的最短路程为：
故答案为：
【分析】将图形展开，矩形的长为圆柱底面周长，矩形的宽为圆柱的母线长，根据两点之间线段最短以及勾股定理得到答案.
9．（2024八下·麻城月考） 如图，长方体的高为，底面长为，宽为．若一只蚂蚁从点爬到，则爬行的最短路程是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：
爬行共有三条路径：
①经过前面与右面，
②经过前面与上面， ③经过左面与上面，
如图①所示，A2C1==5cm，
如图②所示，A2C1==cm，
如图③所示，A2C1==2cm，
∵5＜2＜
∴爬行的最短路程是5cm.
故答案为：
【分析】分析共有三条路径，画出平面图，通过勾股定理即可求解.
10．（2024八下·中江月考）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】由题意得，将木块展开后，如图所示，
此时AB=5+3-1=7米，BC=6米，则最短路程为AC的长=米。
故答案为：。
【分析】本题考查两点之间线段最短，可先将长方体木块展开，再分别求出展开后所得长方形的长和宽，再利用勾股定理，求出最短路程AC的长。
三、解答题
11．（2024八下·潮州期中）如图，学校有一块长方形花圃，且，极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”E，为此也踩伤了嫩绿的小草．已知m，m，请问他们仅仅少走了多少米？
【答案】解：∵在Rt△AEF中，
，
答：他们仅仅少走了4米。
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】利用勾股定理求出EF，然后计算AE+AF-EF的值即可.
12．（2024八下·花溪月考）如图所示的是一个长8 m、宽6 m、高5 m的仓库，在其内壁的A(长的四等分点)处有一只壁虎，B(宽的三等分点)处有一只蚊子，求壁虎爬到蚊子处的最短路程.
【答案】解：①如图所示，将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为C，则△ABC为直角三角形.
∵AC=×8+×6=8(m)，BC=5 m，
∴AB===(m).
此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为 m.
②将正面和上面展开(图略)，则A到B的水平距离为6 m，垂直距离为7 m，
此时的最短路程为 m.
③将下面和右面展开(图略)，则A到B的水平距离为11 m，垂直距离为2 m，
此时的最短路程为5 m.
综上所述，②中路程最短，
∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为 m.
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】本题解题关键是将长方体展开，展开方式有三种，即正面和右面展开， 正面和上面展开， 下面和右面展开，对展开的图形，再利用勾股定理，分别求出AB的长度进行比较，找出最短路程即可。
13．（2024八上·峡江期末）一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，它发现在其正上方的点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的底面周长为20cm，A，B两点间的距离为15cm，求螳螂绕行的最短路程．
【答案】解：将圆柱侧面展开，得最短路程即为AB.
根据勾股定理，得cm
∴螳螂绕行的最短路程为25cm
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】将立体几何转换为平面几何，将圆柱侧面展开，得最短路程即为AB，再利用勾股定理求出AB的长即可.
14．（2023八上·南城期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点爬到上底面的点处，求它爬行的最短距离．已知圆柱底面半径为，高度为．小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段爬行，如图2．（取3）
图1 图2
（1）当，时，哪种方式的爬行距离更近？
（2）当，时，哪种方式的爬行距离更近？
（3）当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？
【答案】（1）解：方案1：爬行距离，
方案2：爬行距离，方案2爬行距离更近；
（2）解：方案1：爬行距离，
方案2：爬行距离，方案1爬行距离更近；
（3）解：根据题意得，解得：
，两种方式的爬行距离同样远．
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，即可得出答案；
（2）根据题意，利用勾股定理，即可得出答案；
（3）利用勾股定理，根据题意列出方程，求解，即可得出答案.
四、实践探究题
15．（2024八下·盐山期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲
【答案】（1）解：如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段SF就是蜘蛛走的最短路线．
由题意可得在中，
，，，
∴，
∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm．
（2）解：设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．
如图2，在中，
∵长方体的棱长，，
∴，，，，
∴，
解得．
答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）将立体几何问题转换为平面几何问题，先将圆柱侧面展开，再利用勾股定理求出SF的长即可；
（2）将立体几何问题转换为平面几何问题，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒，则，，，利用勾股定理可得，求出即可.
1 / 1浙教版数学八上第2章章末重难点专训 勾股定理的实际运用-最短路径问题
一、选择题
1．（2022·金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·临西期末）如图，一个圆桶底面直径为8cm，高为12cm，则桶内所能容下的最长木棒的长度为（ ）．
A．8cm B．10cm C． D．
3．（2024八下·乌鲁木齐期中） 如图，有两棵垂直于地面树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2024八下·合浦期中）如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（ ）
A．4 B．4π C．8 D．10
5．（2024八下·翁源期中）如图，小明想用彩色胶带装饰他的笔筒，这条胶带沿着这个圆柱的表面，从点A粘贴到点C，再从圆柱另外一面粘贴到A，已知它的底面直径为6，圆柱高为4，最少要用到的胶带长度为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022八下·余姚期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）
A． B． C．120 D．130
二、填空题
7．（2024八下·自贡月考） 如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为 ．
8．（2024八下·大化月考） 如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ．
9．（2024八下·麻城月考） 如图，长方体的高为，底面长为，宽为．若一只蚂蚁从点爬到，则爬行的最短路程是 ．
10．（2024八下·中江月考）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米.
三、解答题
11．（2024八下·潮州期中）如图，学校有一块长方形花圃，且，极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”E，为此也踩伤了嫩绿的小草．已知m，m，请问他们仅仅少走了多少米？
12．（2024八下·花溪月考）如图所示的是一个长8 m、宽6 m、高5 m的仓库，在其内壁的A(长的四等分点)处有一只壁虎，B(宽的三等分点)处有一只蚊子，求壁虎爬到蚊子处的最短路程.
13．（2024八上·峡江期末）一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，它发现在其正上方的点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的底面周长为20cm，A，B两点间的距离为15cm，求螳螂绕行的最短路程．
14．（2023八上·南城期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点爬到上底面的点处，求它爬行的最短距离．已知圆柱底面半径为，高度为．小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段爬行，如图2．（取3）
图1 图2
（1）当，时，哪种方式的爬行距离更近？
（2）当，时，哪种方式的爬行距离更近？
（3）当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？
四、实践探究题
15．（2024八下·盐山期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长．
【方法应用】
（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，
∵两点之间，线段最短，
∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.
故答案为：C.
【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，BC为圆桶的高，
∴AC=8cm，BC=12cm，
∴cm，
即桶内所能容下的最长木棒的长度为cm．
故答案为：D．
【分析】将立体几何转换成平面几何，再利用勾股定理求解即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：两棵树的高度差为，间距为，
由勾股定理得小鸟至少飞行的距离．
故答案为：C
【分析】先根据题意得到两棵树的高度差为，间距为，进而根据勾股定理即可求解。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
在圆柱的侧面展开图中，，，设，
∵点移动的最短距离为，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴圆柱的底面周长为：．
故答案为：C．
【分析】先根据题意分析圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：从A点经正面绕到C点，因为两点之间线段最短，所以至少使用胶带的长度.
故答案为：D.
【分析】因为两点之间线段最短，所以正面半段即AC最短为AC连线长，其可通过勾股定理由AB长及半圆BC长算出，最后乘以2即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程为AB的长，
∴AB===50，
∴一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程为50.
故答案为：B.
【分析】先画出台阶阶梯平面展开图，可知蚂蚁从A点爬到B点的最短路程为AB的长，再根据勾股定理求出AB的长即可解决问题.
7．【答案】26
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意得，彩带绕侧面一圈到AB的中点C'时，彩带最短，如图，
∴ AC'=
同理，C'E=13，
∴ 彩条的最短长度为26cm.
故答案为：26.
【分析】先将立体图形展开为平面图形，再根据两点之间线段最短和勾股定理，即可求得.
8．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱展开如图：
小虫爬行的最短路程为：
故答案为：
【分析】将图形展开，矩形的长为圆柱底面周长，矩形的宽为圆柱的母线长，根据两点之间线段最短以及勾股定理得到答案.
9．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：
爬行共有三条路径：
①经过前面与右面，
②经过前面与上面， ③经过左面与上面，
如图①所示，A2C1==5cm，
如图②所示，A2C1==cm，
如图③所示，A2C1==2cm，
∵5＜2＜
∴爬行的最短路程是5cm.
故答案为：
【分析】分析共有三条路径，画出平面图，通过勾股定理即可求解.
10．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】由题意得，将木块展开后，如图所示，
此时AB=5+3-1=7米，BC=6米，则最短路程为AC的长=米。
故答案为：。
【分析】本题考查两点之间线段最短，可先将长方体木块展开，再分别求出展开后所得长方形的长和宽，再利用勾股定理，求出最短路程AC的长。
11．【答案】解：∵在Rt△AEF中，
，
答：他们仅仅少走了4米。
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】利用勾股定理求出EF，然后计算AE+AF-EF的值即可.
12．【答案】解：①如图所示，将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为C，则△ABC为直角三角形.
∵AC=×8+×6=8(m)，BC=5 m，
∴AB===(m).
此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为 m.
②将正面和上面展开(图略)，则A到B的水平距离为6 m，垂直距离为7 m，
此时的最短路程为 m.
③将下面和右面展开(图略)，则A到B的水平距离为11 m，垂直距离为2 m，
此时的最短路程为5 m.
综上所述，②中路程最短，
∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为 m.
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】本题解题关键是将长方体展开，展开方式有三种，即正面和右面展开， 正面和上面展开， 下面和右面展开，对展开的图形，再利用勾股定理，分别求出AB的长度进行比较，找出最短路程即可。
13．【答案】解：将圆柱侧面展开，得最短路程即为AB.
根据勾股定理，得cm
∴螳螂绕行的最短路程为25cm
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】将立体几何转换为平面几何，将圆柱侧面展开，得最短路程即为AB，再利用勾股定理求出AB的长即可.
14．【答案】（1）解：方案1：爬行距离，
方案2：爬行距离，方案2爬行距离更近；
（2）解：方案1：爬行距离，
方案2：爬行距离，方案1爬行距离更近；
（3）解：根据题意得，解得：
，两种方式的爬行距离同样远．
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据题意，利用勾股定理，即可得出答案；
（2）根据题意，利用勾股定理，即可得出答案；
（3）利用勾股定理，根据题意列出方程，求解，即可得出答案.
15．【答案】（1）解：如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段SF就是蜘蛛走的最短路线．
由题意可得在中，
，，，
∴，
∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm．
（2）解：设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．
如图2，在中，
∵长方体的棱长，，
∴，，，，
∴，
解得．
答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）将立体几何问题转换为平面几何问题，先将圆柱侧面展开，再利用勾股定理求出SF的长即可；
（2）将立体几何问题转换为平面几何问题，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒，则，，，利用勾股定理可得，求出即可.
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