浙教版数学八上第2章章末重难点专训 轴对称-最短距离问题
一、选择题
1．（2018·嘉兴模拟）已知 ABC(AB
A． B．
C． D．
2．（2024八上·合江期末）如图，在中，，，垂直平分，P点为直线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2023七下·市南区期末）如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·宁洱模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝ S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
5．（2021·蒙阴模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是BC边上的高．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）．
A．6 B．8 C．9.6 D．12
6．（2023八上·中江期中） 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B＝56°，当△DMN的周长最小值时，则∠MDN的度数是（ ）
A．124° B．68° C．60° D．56°
二、填空题
7．（2024七下·花溪月考）如图， 在 Rt 中， ， 平分 交 于点 ， 点 分别是 边上的动点， 则 的最小值为 .
8．（2024·广安）如图，在中，，点为直线BC上一动点，则的最小值为 ．
9．（2020八上·福州期中）如图，在 中， ， ， ， ， 是 的平分线，若点 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
10．（2020八上·阳信期中）如图，在 中， 垂直平分 ，点P为直线 上一动点，则 周长的最小值是 ．
11．（2023八上·禹城月考）如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
12．（2024·织金期末） 如图， ∠AOB=45°， 点 M、N分别在射线OA、OB上，MN=6， △OMN的面积为12， 点 P 是线段MN上的动点，点P关于 OA 对称的点为P1，点P关于 OB 的对称点为P2，当 点 P 在 线段 MN 上运动时 ， ∠P1OP2 的度 数 为 °， △P1OP2的面积最小值为 .
三、解答题
13．（2023八上·喀什地月考） 如图，A、B两村在一条小河m的同侧，今要在河边的某一处建一供水站用管道直接向A、B两村供水，若要使供水站到A、B两村铺设的管道最短，供水站应建在什么位置？
14．（2022七上·海阳期中）如图，在中，，的垂直平分线与，分别相交于点E，D，连接．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，的周长为14．
①求的长；
②在直线上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
15．（2022七下·遂宁期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作关于直线MN对称的图形．
（2）若网格中最小正方形的边长为2，求的面积．
（3）点P在直线MN上，当周长最小时，P点在什么位罝，在图中标出P点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：A、由作图可知AB=BP，则BC=BP+PC=AB+PC，因此A不符合题意；
B、连接AP，由作图可知AP=BP，则BC=BP+PC=AP+PC，因此B符合题意；
C、连接AP，由作图可知AP=PC，则BC=BP+PC=AP+BP，因此C不符合题意；
D、由作图可知AC=PC，则BC=PC+BP=AC+BP，因此D不符合题意；
故答案为：B
【分析】观察各选项的作图，可知BC=PB+PC，再结合PA+PC=BC，可知PA=PB，因此点P在AB的垂直平分线上，可判断正确答案。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
连接，如图，
，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵（当且仅当A、P、C共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∴周长的最小值．
故答案为：C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后根据（当且仅当A、P、C共线时取等号）求出的最小值为的长，所以周长的最小值为．
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，
由作图得：是的垂直平分线，
，
，
，为的中点，
，
的面积为，，
，
故选：B．
【分析】根据垂直平分线性质及三角形面积即可求出答案。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h
∵S△PAB= S矩形ABCD，
∴ AB h= AB AD，
∴h= AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，
则BE就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中，
∵AB=5，AE=2+2=4，
∴BE= = = ，
即PA+PB的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】利用已知条件S△PAB= S矩形ABCD，可求出△ABP的AB边上的高，由此可知动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，可得到BE就是所求的最短距离，然后利用勾股定理求出BE的长。
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】因为AB=AC，AD是BC的高，所以AD是∠BAC的角平分线，以AD为对称轴，作Q的对称点E，连接CE与AD交于点P，如图所示：
∵AD是∠BAC的角平分线
∴QP=PE
∴PC+PQ=PC+PE=EC
要使PC+PQ最小，即EC最小，所以CE是△ABC底边AB上的高的时候，CE最小
由三角形面积公式得：解得，CE=9.6，∴PC+PQ的最小值是9.6，
故答案为：C
【分析】要使PC+PQ最小，即EC最小，所以CE是△ABC底边AB上的高的时候，CE最小，再利用三角形的面积公式求出CE=9.6，即可得到答案。
6．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，
此时，△DMN的周长最小，
∵AB⊥AD，BC⊥DC，
∴∠DAB＝∠DCB＝90°，
DM＝FM，DN＝EN，
∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，
∵∠B＝56°，
∴∠ADC＝124°，
设∠MDN＝α，
∴∠ADN+∠CDM＝124°﹣α
∴∠DNM+∠DMN＝2（124°﹣α），
∴α+2（124°﹣α）＝180°，
解得：α＝68°，
故选：B．
【分析】延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，利用轴对称的性质可得△DMN的周长最小，再设∠MDN＝α，利用三角形的内角和可得α+2（124°﹣α）＝180°，再求解即可.
7．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上取一点，使，连接，作，如图所示：
平分，
，
，
∴，
，
，
∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
，
，
即的最小值为，
故答案为：.
【分析】根据轴对称-最短距离问题在上取一点，使，连接，作，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而结合题意即可得到当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，进而根据三角形的面积结合题意即可求解.
8．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作A关于直线BC的对称点，连接交BC于，如图所示，
由题意得， AH=A'H，AH⊥BC，AM'=A'M' ， ∴的最小值就是在一条直线，即最小值是.
∵在直角三角形ABH中，AB=4，∠ABC=30°，
∴，
∴，
∴，
∴在直角三角形中，.
∴的最小值就是.
故答案为：.
【分析】根据最短路径找出AM+MD的最小值是，利用直角三角形30°对应边是斜边一半和轴对称的性质求出AH和的长度，最后利用勾股定理即可求出长度，即是AM+MD的最小值.
9．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，
CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，
∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，
∵ ，
∴CM= ，即PC+PQ的最小值为 ，
故答案为 ．
【分析】如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时， CO=PC+PO=PC
+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
PC+PQ的最小值即为CM的长度，利用求出CM的长即可.
10．【答案】7
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ 垂直平分 ，
∴B，C关于直线 对称．设 交 于点D，
∴当P和D重合时， 的值最小，最小值等于 AC 的长，
∴ 周长的最小值是 ．
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
11．【答案】80°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
如图，分别作A点关于BC、DC的对称点A1、A2，连接A1A2，分别交BC、DC于点E、F，在DA延长线上取一点G；
由图形可知：AE=A1E，AF=A2F，∴=AE+EF+AF=A1E+EF+A2F=A1A2，此时周长最小；
∵∠C=50°，∠B=∠D=90°，∴∠DAB=130°，∠GAB=50°
又∵∠GAB=∠A2+∠A1，∴∠A2+∠A1=50°
由图形对称可得，∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，∴∠DAF+∠EAB=50°，
∠EAF=∠DAB-∠DAF-∠EAB=∠DAB-（∠DAF+∠EAB）=130°-50°=80°。
故答案为：80°。
【分析】先根据要求作图，然后用已知条件，以及四边形内角和等于360°，求出关键角∠DAB及其补角∠GAB的度数，然后利用三角形外角性质得到∠GAB=∠A2+∠A1，通过倒角∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，最终求出∠EAF的度数。
12．【答案】90；8
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：当点在线段上，连接，过点作交的延长线于，如图所示：
∵，且，
∴，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，
同法可得：，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，
同法可得：，
的面积的最小值为，
综上：，的面积的最小值为；
故答案为：90，8．
【分析】根据题意分类讨论：当点在线段上，当点在线段上，当点在点的右侧时，进而根据轴对称-最短距离问题，垂线段的性质结合三角形的面积即可求解.
13．【答案】解：解：1.根据对称的性质作出A点关于河一岸的对称点A’；
2.连接A’B，与河岸交点P即为所求的供水站的位置.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，根据轴对称的性质作出A点关于河岸的对称点A'，然后连接对称点A'与B点，交河岸与点P，即为所求。
14．【答案】（1）30°
（2）解：①垂直平分，
．
的周长为14，，
．
．
②存在．当P点与D点重合时，的值最小，此时，
．
即的最小值为8．
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）在中，，
，
，
垂直平分，
，
．
故答案为：30°．
【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）①根据线段垂直平分线的性质求出DA=DB，再计算求解即可；
②根据题意先求出 ，再作答即可。
15．【答案】解：（1）（3）如图，、点P即为所求．
（2）解：由图可知，.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据对应点到对称轴的距离相等找出点A、B、C关于直线MN的对称点A′、B′、C′，然后顺次连接即可；
（2）直接根据三角形的面积公式进行计算即可；
（3）连接A′C，与MN交于点P，此时△PAC的周长最小.
1 / 1浙教版数学八上第2章章末重难点专训 轴对称-最短距离问题
一、选择题
1．（2018·嘉兴模拟）已知 ABC(ABA． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：A、由作图可知AB=BP，则BC=BP+PC=AB+PC，因此A不符合题意；
B、连接AP，由作图可知AP=BP，则BC=BP+PC=AP+PC，因此B符合题意；
C、连接AP，由作图可知AP=PC，则BC=BP+PC=AP+BP，因此C不符合题意；
D、由作图可知AC=PC，则BC=PC+BP=AC+BP，因此D不符合题意；
故答案为：B
【分析】观察各选项的作图，可知BC=PB+PC，再结合PA+PC=BC，可知PA=PB，因此点P在AB的垂直平分线上，可判断正确答案。
2．（2024八上·合江期末）如图，在中，，，垂直平分，P点为直线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
连接，如图，
，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵（当且仅当A、P、C共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∴周长的最小值．
故答案为：C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后根据（当且仅当A、P、C共线时取等号）求出的最小值为的长，所以周长的最小值为．
3．（2023七下·市南区期末）如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，
由作图得：是的垂直平分线，
，
，
，为的中点，
，
的面积为，，
，
故选：B．
【分析】根据垂直平分线性质及三角形面积即可求出答案。
4．（2019·宁洱模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝ S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h
∵S△PAB= S矩形ABCD，
∴ AB h= AB AD，
∴h= AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，
则BE就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中，
∵AB=5，AE=2+2=4，
∴BE= = = ，
即PA+PB的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】利用已知条件S△PAB= S矩形ABCD，可求出△ABP的AB边上的高，由此可知动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，可得到BE就是所求的最短距离，然后利用勾股定理求出BE的长。
5．（2021·蒙阴模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是BC边上的高．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）．
A．6 B．8 C．9.6 D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】因为AB=AC，AD是BC的高，所以AD是∠BAC的角平分线，以AD为对称轴，作Q的对称点E，连接CE与AD交于点P，如图所示：
∵AD是∠BAC的角平分线
∴QP=PE
∴PC+PQ=PC+PE=EC
要使PC+PQ最小，即EC最小，所以CE是△ABC底边AB上的高的时候，CE最小
由三角形面积公式得：解得，CE=9.6，∴PC+PQ的最小值是9.6，
故答案为：C
【分析】要使PC+PQ最小，即EC最小，所以CE是△ABC底边AB上的高的时候，CE最小，再利用三角形的面积公式求出CE=9.6，即可得到答案。
6．（2023八上·中江期中） 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B＝56°，当△DMN的周长最小值时，则∠MDN的度数是（ ）
A．124° B．68° C．60° D．56°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，
此时，△DMN的周长最小，
∵AB⊥AD，BC⊥DC，
∴∠DAB＝∠DCB＝90°，
DM＝FM，DN＝EN，
∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，
∵∠B＝56°，
∴∠ADC＝124°，
设∠MDN＝α，
∴∠ADN+∠CDM＝124°﹣α
∴∠DNM+∠DMN＝2（124°﹣α），
∴α+2（124°﹣α）＝180°，
解得：α＝68°，
故选：B．
【分析】延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，利用轴对称的性质可得△DMN的周长最小，再设∠MDN＝α，利用三角形的内角和可得α+2（124°﹣α）＝180°，再求解即可.
二、填空题
7．（2024七下·花溪月考）如图， 在 Rt 中， ， 平分 交 于点 ， 点 分别是 边上的动点， 则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上取一点，使，连接，作，如图所示：
平分，
，
，
∴，
，
，
∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
，
，
即的最小值为，
故答案为：.
【分析】根据轴对称-最短距离问题在上取一点，使，连接，作，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而结合题意即可得到当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，进而根据三角形的面积结合题意即可求解.
8．（2024·广安）如图，在中，，点为直线BC上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作A关于直线BC的对称点，连接交BC于，如图所示，
由题意得， AH=A'H，AH⊥BC，AM'=A'M' ， ∴的最小值就是在一条直线，即最小值是.
∵在直角三角形ABH中，AB=4，∠ABC=30°，
∴，
∴，
∴，
∴在直角三角形中，.
∴的最小值就是.
故答案为：.
【分析】根据最短路径找出AM+MD的最小值是，利用直角三角形30°对应边是斜边一半和轴对称的性质求出AH和的长度，最后利用勾股定理即可求出长度，即是AM+MD的最小值.
9．（2020八上·福州期中）如图，在 中， ， ， ， ， 是 的平分线，若点 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，
CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，
∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，
∵ ，
∴CM= ，即PC+PQ的最小值为 ，
故答案为 ．
【分析】如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时， CO=PC+PO=PC
+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
PC+PQ的最小值即为CM的长度，利用求出CM的长即可.
10．（2020八上·阳信期中）如图，在 中， 垂直平分 ，点P为直线 上一动点，则 周长的最小值是 ．
【答案】7
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ 垂直平分 ，
∴B，C关于直线 对称．设 交 于点D，
∴当P和D重合时， 的值最小，最小值等于 AC 的长，
∴ 周长的最小值是 ．
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
11．（2023八上·禹城月考）如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
【答案】80°
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
如图，分别作A点关于BC、DC的对称点A1、A2，连接A1A2，分别交BC、DC于点E、F，在DA延长线上取一点G；
由图形可知：AE=A1E，AF=A2F，∴=AE+EF+AF=A1E+EF+A2F=A1A2，此时周长最小；
∵∠C=50°，∠B=∠D=90°，∴∠DAB=130°，∠GAB=50°
又∵∠GAB=∠A2+∠A1，∴∠A2+∠A1=50°
由图形对称可得，∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，∴∠DAF+∠EAB=50°，
∠EAF=∠DAB-∠DAF-∠EAB=∠DAB-（∠DAF+∠EAB）=130°-50°=80°。
故答案为：80°。
【分析】先根据要求作图，然后用已知条件，以及四边形内角和等于360°，求出关键角∠DAB及其补角∠GAB的度数，然后利用三角形外角性质得到∠GAB=∠A2+∠A1，通过倒角∠DAF=∠A2，∠EAB=∠A1，最终求出∠EAF的度数。
12．（2024·织金期末） 如图， ∠AOB=45°， 点 M、N分别在射线OA、OB上，MN=6， △OMN的面积为12， 点 P 是线段MN上的动点，点P关于 OA 对称的点为P1，点P关于 OB 的对称点为P2，当 点 P 在 线段 MN 上运动时 ， ∠P1OP2 的度 数 为 °， △P1OP2的面积最小值为 .
【答案】90；8
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：当点在线段上，连接，过点作交的延长线于，如图所示：
∵，且，
∴，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，
同法可得：，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，
同法可得：，
的面积的最小值为，
综上：，的面积的最小值为；
故答案为：90，8．
【分析】根据题意分类讨论：当点在线段上，当点在线段上，当点在点的右侧时，进而根据轴对称-最短距离问题，垂线段的性质结合三角形的面积即可求解.
三、解答题
13．（2023八上·喀什地月考） 如图，A、B两村在一条小河m的同侧，今要在河边的某一处建一供水站用管道直接向A、B两村供水，若要使供水站到A、B两村铺设的管道最短，供水站应建在什么位置？
【答案】解：解：1.根据对称的性质作出A点关于河一岸的对称点A’；
2.连接A’B，与河岸交点P即为所求的供水站的位置.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，根据轴对称的性质作出A点关于河岸的对称点A'，然后连接对称点A'与B点，交河岸与点P，即为所求。
14．（2022七上·海阳期中）如图，在中，，的垂直平分线与，分别相交于点E，D，连接．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若，的周长为14．
①求的长；
②在直线上是否存在点P，使得的值最小？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）30°
（2）解：①垂直平分，
．
的周长为14，，
．
．
②存在．当P点与D点重合时，的值最小，此时，
．
即的最小值为8．
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）在中，，
，
，
垂直平分，
，
．
故答案为：30°．
【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）①根据线段垂直平分线的性质求出DA=DB，再计算求解即可；
②根据题意先求出 ，再作答即可。
15．（2022七下·遂宁期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作关于直线MN对称的图形．
（2）若网格中最小正方形的边长为2，求的面积．
（3）点P在直线MN上，当周长最小时，P点在什么位罝，在图中标出P点．
【答案】解：（1）（3）如图，、点P即为所求．
（2）解：由图可知，.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据对应点到对称轴的距离相等找出点A、B、C关于直线MN的对称点A′、B′、C′，然后顺次连接即可；
（2）直接根据三角形的面积公式进行计算即可；
（3）连接A′C，与MN交于点P，此时△PAC的周长最小.
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