浙教版数学八上第2章章末重难点专训 勾股定理的广泛应用

浙教版数学八上第2章章末重难点专训 勾股定理的广泛应用
一、选择题
1．（2023八下·中山期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理得到：，进而代值计算即可.
2．（2024八下·丰润期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是 3、4、1、3， 则最大的正方形 E的面积是(　　)
A．11 B．47 C．26 D．35
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：解：如图所示：
由勾股定理得正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，
同理可得正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ，
故答案为：D
【分析】根据勾股定理得到正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，进而即可求解。
3．（2024七下·宜昌期中） 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（　　）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设绳索OA的长为x，则A'O=x，
∵AB=1，CB=A'D=5，
∴OC=OA+AB-CB=x+1-5=x-4，
∵A'C=10，
∴在中，根据勾股定理得，
∴(x-4)2+102=x2，
解得x=14.5.
故答案为：C.
【分析】设绳索OA的长为x，则A'O=x，根据题意得AB，CB的长，然后求OC的长，接下来根据勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
4．（2024八下·花都期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（　　）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AB=x，则AC=x+2，
在中，根据勾股定理得AB2+BC2=AC2，
∵BC=10，
∴x2+102=(x+2)2，
解得x=24，即河的宽度AB是24米.
故答案为：D.
【分析】设AB=x，则AC=x+2，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值即可得到AB的值.
5．（2020七上·岱岳期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为（　　）
A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：D．
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
6．（2024八下·绥江月考）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．16
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，，分别表示三个正方形的面积，
∴，，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意，，，再根据，以及，即可求解．
7．（2021八下·汉阳期末）如图，在高为 ，坡面长为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= =12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理求出楼梯的水平宽度，由于地毯的长度=楼梯的水平宽度与垂直高度的和，据此计算即可.
8．（2024八下·河池期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处距离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AC=24，BC=7，
在中，，
∵AB=AD=25，DE=20，
∴在中，，
∴ 底部边缘处与之间的距离为15cm.
故答案为：A.
【分析】在中，根据勾股定理求出AB的长，在中，根据勾股定理求出AE的长，即可得到答案.
二、填空题
9．（2024八下·大祥期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
设
则
在Rt△ACD中，
解得：
即绳索的长是
故答案为：．
【分析】设设，则，在Rt△ACD中，利用勾股定理：，列出方程：，解出x即可.
10．（2019·江西）我国古代数学名著（孙子算经）有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七。见方求邪，七之，五而一。”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为 ，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长
故答案为： .
【分析】根据新定义运算要求，估算即可。
11．（2024八下·江夏期中）刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康.如图，是一把长为15cm的牙刷置于底面直径为6cm，高为8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为cm，则的取值范围是　 　cm.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h值最大 ，h最大值=15-8=7cm，
当牙刷如下图放置时， 牙刷露在杯子外面的长度为h最小，
由题意知：AD=6cm，BD=8cm，∠BDA=90°，
∴AB==10cm，
∴h最小值=15-10=5cm，
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理解答即可.
12．（2023八上·济南开学考）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形面积为9cm2 ，则图中所有的正方形的面积之和为 　 　cm2．
【答案】27
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，根据勾股定理可知，
S2+S3=S1，
S4+S5=S2，
S6+S7=S3， ∴S4+S5+S6+S7=S1， ∴S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7=3S1=（cm2)
故答案为：27.
【分析】由勾股定理延伸的勾股数，既有以直角三角形两直边构造的正方形面积=斜边构造的正方形面积，进而利用等量代换转化为题干信息即得答案.
13．（2024八下·沙河口月考）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何.”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘、两点到门槛的距离为1尺（1尺=10寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为　 　寸.
【答案】101
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=r，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，，AE=r-1．
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，
即（r-1）2+102=r2，
解得：2r=101．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：101.
【分析】设OA=OB=AD=BC=r，过D作DE⊥AB于E，求出DE=10，OE=1，表示出AE=r-1，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出2r的值，即可求解.
三、解答题
14．（2024八下·廉江月考）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.
（1）求公路CD、AD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用．
【答案】（1）解：千米，千米，
（千米），
千米，
千米，
（千米）；
（2）解：，
解得千米，
修建公路DH的费用为（万元）.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求解即可.
（）根据三角形的等面积方法，即可计算DH的长度，再根据长度和每千米的费用计算总费用即可．
15．（2024八下·贺州期末） 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路﹖请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）解：是，理由，
在中，，，
，
，
根据垂线段最短，则CH是从村庄C到河边的最近路
（2）解：设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，，
解得：，
答：原来的路线AC的长为2.5千米．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）通过证明 CH2+BH2=BC2 ，可得 CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2） 设AC=x在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-1.8，CH=2.4， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 可得方程即可求解，根据勾股定理解答即可.
16．某军舰以每小时20海里的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以每小时30海里的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至处时，电子侦察船正位于处正南方向的处，且海里．如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由．
【答案】解： 航行途中侦察船能侦察到这艘军舰，
如图所示，
设侦察船航行x小时后从B点行到C点时，最早侦察到在D点的军舰，
则AD=20x，BC=30x，AC=AB-BC=90-30x，
由勾股定理得，AD2+AC2=CD2，
∴ (90-30x)2+(20x)2=502，
化简得，13x2-54x+56=0，
(13x-28)(x-2)=0，
解得，x1=，x2=2，
∵＞2，
∴ x=2，
答： 航行途中侦察船能侦察到这艘军舰，最早两个小时后能侦察到.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设侦察船航行x小时后从B点行到C点时，最早侦察到在D点的军舰，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程，即可求得.
17．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． 在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四， 则弦五”的记载， 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” （如图 ①， 后人称之为 “赵爽弦图”， 流传至今．
（1） ①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明， 人们已经找到了 400 多种方法， 请从以下三种常见的证明方法中任选一种来证明该定理 （图 ①②③均满足证明勾股定理所需的条件）．
（2） ①如图④⑤⑥， 以直角三角形的三边为边或直径， 分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 ▲ 个．
②如图⑦， 分别以直角三角形三边为直径作半圆， 设图中两个月牙形图案（图中阴影部分） 的面积分别为 ， ， 直角三角形的面积为 ， 请判断 的数量关系并证明．
【答案】（1）解：（1）①勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么.
②选择图①，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
选择图②，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
化简得：
选择图③，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
即：
化简得：.
（2）3.
②∵
∴
∵
∴.
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（2）①，图④，
观察图形可知：
∵
∴，
图⑤，
观察图形可知：
∵
∴，
图⑥，
观察图形可知：
∵
∴，
∴这三个图形中面积关系满足 的有3个，
故答案为：3.
【分析】（1）①直接写出勾股定理的定义即可；
②根据图形的面积之间的关系列式进行计算即可求解；
（2）①分别根据图形用含a、b和c的代数式表示，进而即可求解；
②根据图形表示，即最后根据据此即可求解.
四、综合题
18．（2017八上·义乌期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，
（1）求高台A比矮台B高多少米？
（2）求旗杆的高度OM；
（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【答案】（1）解：10-3=7(米）
（2）解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM与F，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE=BF，AE=OF，
即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）
∵EF=EM﹣FM=AC﹣BD=10﹣3=7（m），
∴2EO+EF=17，
则2EO=10，
所以OE=5m，OF=12m，
所以OM=OF+FM=15m
（3）解：由勾股定理得ON=OA=13，
所以MN=15﹣13=2（m）．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到高台A比矮台B高（10-3）米；（2）根据题意和全等三角形的判定方法AAS，得到△AOE≌△OBF，得到对应边相等，求出旗杆的高度OM的值；（3）根据勾股定理求出ON=OA的值，得到玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
19．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
1 / 1浙教版数学八上第2章章末重难点专训 勾股定理的广泛应用
一、选择题
1．（2023八下·中山期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·丰润期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是 3、4、1、3， 则最大的正方形 E的面积是(　　)
A．11 B．47 C．26 D．35
3．（2024七下·宜昌期中） 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（　　）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
4．（2024八下·花都期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（　　）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
5．（2020七上·岱岳期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为（　　）
A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m
6．（2024八下·绥江月考）如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．16
7．（2021八下·汉阳期末）如图，在高为 ，坡面长为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·河池期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处距离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八下·大祥期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　 　．
10．（2019·江西）我国古代数学名著（孙子算经）有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七。见方求邪，七之，五而一。”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为 ，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是　 　．
11．（2024八下·江夏期中）刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康.如图，是一把长为15cm的牙刷置于底面直径为6cm，高为8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为cm，则的取值范围是　 　cm.
12．（2023八上·济南开学考）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形面积为9cm2 ，则图中所有的正方形的面积之和为 　 　cm2．
13．（2024八下·沙河口月考）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何.”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘、两点到门槛的距离为1尺（1尺=10寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为　 　寸.
三、解答题
14．（2024八下·廉江月考）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路.如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC，AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米.
（1）求公路CD、AD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用．
15．（2024八下·贺州期末） 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路﹖请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
16．某军舰以每小时20海里的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以每小时30海里的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至处时，电子侦察船正位于处正南方向的处，且海里．如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由．
17．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． 在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四， 则弦五”的记载， 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” （如图 ①， 后人称之为 “赵爽弦图”， 流传至今．
（1） ①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明， 人们已经找到了 400 多种方法， 请从以下三种常见的证明方法中任选一种来证明该定理 （图 ①②③均满足证明勾股定理所需的条件）．
（2） ①如图④⑤⑥， 以直角三角形的三边为边或直径， 分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 ▲ 个．
②如图⑦， 分别以直角三角形三边为直径作半圆， 设图中两个月牙形图案（图中阴影部分） 的面积分别为 ， ， 直角三角形的面积为 ， 请判断 的数量关系并证明．
四、综合题
18．（2017八上·义乌期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，
（1）求高台A比矮台B高多少米？
（2）求旗杆的高度OM；
（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
19．（2020八上·四川月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向 由 行驶向 ，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 ， 的距离分别为 ， ，又 ，以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域．
（1）求 的度数．
（2）海港 受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 处时，海港 刚好受到影响，当台风运动到点 时，海港 刚好不受影响，即 ，则台风影响该海港持续的时间有多长？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理得到：，进而代值计算即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：解：如图所示：
由勾股定理得正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，
同理可得正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ，
故答案为：D
【分析】根据勾股定理得到正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，进而即可求解。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设绳索OA的长为x，则A'O=x，
∵AB=1，CB=A'D=5，
∴OC=OA+AB-CB=x+1-5=x-4，
∵A'C=10，
∴在中，根据勾股定理得，
∴(x-4)2+102=x2，
解得x=14.5.
故答案为：C.
【分析】设绳索OA的长为x，则A'O=x，根据题意得AB，CB的长，然后求OC的长，接下来根据勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设AB=x，则AC=x+2，
在中，根据勾股定理得AB2+BC2=AC2，
∵BC=10，
∴x2+102=(x+2)2，
解得x=24，即河的宽度AB是24米.
故答案为：D.
【分析】设AB=x，则AC=x+2，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值即可得到AB的值.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：D．
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，，分别表示三个正方形的面积，
∴，，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意，，，再根据，以及，即可求解．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= =12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理求出楼梯的水平宽度，由于地毯的长度=楼梯的水平宽度与垂直高度的和，据此计算即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AC=24，BC=7，
在中，，
∵AB=AD=25，DE=20，
∴在中，，
∴ 底部边缘处与之间的距离为15cm.
故答案为：A.
【分析】在中，根据勾股定理求出AB的长，在中，根据勾股定理求出AE的长，即可得到答案.
9．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
设
则
在Rt△ACD中，
解得：
即绳索的长是
故答案为：．
【分析】设设，则，在Rt△ACD中，利用勾股定理：，列出方程：，解出x即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长
故答案为： .
【分析】根据新定义运算要求，估算即可。
11．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h值最大 ，h最大值=15-8=7cm，
当牙刷如下图放置时， 牙刷露在杯子外面的长度为h最小，
由题意知：AD=6cm，BD=8cm，∠BDA=90°，
∴AB==10cm，
∴h最小值=15-10=5cm，
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理解答即可.
12．【答案】27
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，根据勾股定理可知，
S2+S3=S1，
S4+S5=S2，
S6+S7=S3， ∴S4+S5+S6+S7=S1， ∴S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7=3S1=（cm2)
故答案为：27.
【分析】由勾股定理延伸的勾股数，既有以直角三角形两直边构造的正方形面积=斜边构造的正方形面积，进而利用等量代换转化为题干信息即得答案.
13．【答案】101
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=r，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，，AE=r-1．
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，
即（r-1）2+102=r2，
解得：2r=101．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：101.
【分析】设OA=OB=AD=BC=r，过D作DE⊥AB于E，求出DE=10，OE=1，表示出AE=r-1，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出2r的值，即可求解.
14．【答案】（1）解：千米，千米，
（千米），
千米，
千米，
（千米）；
（2）解：，
解得千米，
修建公路DH的费用为（万元）.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求解即可.
（）根据三角形的等面积方法，即可计算DH的长度，再根据长度和每千米的费用计算总费用即可．
15．【答案】（1）解：是，理由，
在中，，，
，
，
根据垂线段最短，则CH是从村庄C到河边的最近路
（2）解：设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，，
解得：，
答：原来的路线AC的长为2.5千米．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）通过证明 CH2+BH2=BC2 ，可得 CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2） 设AC=x在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-1.8，CH=2.4， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 可得方程即可求解，根据勾股定理解答即可.
16．【答案】解： 航行途中侦察船能侦察到这艘军舰，
如图所示，
设侦察船航行x小时后从B点行到C点时，最早侦察到在D点的军舰，
则AD=20x，BC=30x，AC=AB-BC=90-30x，
由勾股定理得，AD2+AC2=CD2，
∴ (90-30x)2+(20x)2=502，
化简得，13x2-54x+56=0，
(13x-28)(x-2)=0，
解得，x1=，x2=2，
∵＞2，
∴ x=2，
答： 航行途中侦察船能侦察到这艘军舰，最早两个小时后能侦察到.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设侦察船航行x小时后从B点行到C点时，最早侦察到在D点的军舰，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程，即可求得.
17．【答案】（1）解：（1）①勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么.
②选择图①，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
选择图②，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
化简得：
选择图③，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
即：
化简得：.
（2）3.
②∵
∴
∵
∴.
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（2）①，图④，
观察图形可知：
∵
∴，
图⑤，
观察图形可知：
∵
∴，
图⑥，
观察图形可知：
∵
∴，
∴这三个图形中面积关系满足 的有3个，
故答案为：3.
【分析】（1）①直接写出勾股定理的定义即可；
②根据图形的面积之间的关系列式进行计算即可求解；
（2）①分别根据图形用含a、b和c的代数式表示，进而即可求解；
②根据图形表示，即最后根据据此即可求解.
18．【答案】（1）解：10-3=7(米）
（2）解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM与F，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE=BF，AE=OF，
即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）
∵EF=EM﹣FM=AC﹣BD=10﹣3=7（m），
∴2EO+EF=17，
则2EO=10，
所以OE=5m，OF=12m，
所以OM=OF+FM=15m
（3）解：由勾股定理得ON=OA=13，
所以MN=15﹣13=2（m）．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到高台A比矮台B高（10-3）米；（2）根据题意和全等三角形的判定方法AAS，得到△AOE≌△OBF，得到对应边相等，求出旗杆的高度OM的值；（3）根据勾股定理求出ON=OA的值，得到玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
19．【答案】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°
（2）解：海港 受台风影响，
过点 作 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港 受台风影响．
（3）解：当 ， 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
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