【培优版】浙教版数学九上3.1圆 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·南山月考）下列四个命题中不正确的是（ ）
A．直径是弦
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角
D．半径相等的两个半圆是等弧
2．（2024九上·东莞期末）已知⊙O的半径为10，若PO＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
3．（2024九上·石家庄期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
4．（广东省广州市海珠区2023-2024学年九年级上学期数学期末试题）在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（ ）．
A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法确定
5．（2023九上·临洮月考）已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P（ ）
A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部
C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的内部
6．（2023九上·长沙期中）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（ ）
A．2 B．5 C．1 D．5或1
7．若△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
8．（2023九上·淮南月考）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
二、填空题
9．一个直角三角形的两边长分别为5，12，则此三角形的外接圆半径是
10．写出图中所有⊙O的内接三角形：
11．（2023九上·绍兴月考）已知⊙O外有一动点P，⊙O上有一动点Q，线段PQ长的最小值为4cm，最大值为9cm，则⊙O的半径为 .
12．（2023九上·通榆月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 (写出一个即可)．
三、作图题
13．已知点A，B和线段a(如图)．求作⊙O，使⊙O过点A，B，且半径为a．这样的圆能作几个？
14．用直尺和圆规作出如图三角形的外接圆．(只需作出图形，并保留作图痕迹，不必写作法)
四、解答题
15．（2022九上·广平期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
五、实践探究题
16．平面内有A，B，C，D四个点，试探索：
（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作 个圆．
（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作 个圆．
（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作 个圆．
（4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？
六、综合题
17．（2023·南海模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的中，求证：点在上．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；三角形的外接圆与外心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、经过圆心的弦是直径，故直径是弦，选项A不符合题意；
B、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，选项B不符合题意；
C、顶点在圆上，两边与圆还有一个交点的角是圆周角，选项C符合题意；
D.半径相等的两个半圆，可以完全重合，因此是等弧，选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据直径、弦的定义，三角形的外心，圆周角以及等弧的定义逐项进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ ⊙O的半径为r=10，PO＝6，
∴PO＜r，
∴ 点P在⊙O内，
故答案为：A.
【分析】比较圆心到点的距离与圆的半径的大小，结合点与圆的位置关系即可判断.
3．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：根据图形可知，直线DG是△ABC的BC边上的中垂线，点D在△ABC的AB边上的中垂线上，
∴点D是△ABC外心．
故答案为：A
【分析】根据三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是这个三角形的外心，结合图形判断即可求解。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 在中，，，，
∴，
又∵AC=5<，
∴ 点A在内
故答案为：A.
【分析】根据题意利用勾股定理即可求出BC边，根据点与圆的位置关系分析判断即可得出即可.即若圆的半径为r，任一点P与圆心O的距离记为d，当时，此时点P在圆上；当时，此时点P在圆内；当时，此时点P在圆外；
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程x2－2x＋d=0有实根 ，
∴△=（-2）2-4d≥0，
解得：d≤1，
∵ ⊙O的半径为1 ，
∴ 点P在⊙O上或⊙O的内部 .
故答案为：D.
【分析】根据方程有实数根，可得△≥0，据此可得d≤1=r，再根据点与圆的位置关系进行判断即可.
6．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设此圆的半径r，
当点P在圆外时，r=(6-4)=1，
当点P在圆内时，r=(6+4)=5，
∴此圆的半径为1或5.
故答案为：D.
【分析】由于点P的位置关系不确定，所以分两种情况：当点P在圆外时和当点P在圆内时，据此分别解答即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：若外心在三角形的外部，则三角形为钝角三角形，若外心在三角形的内部，则三角形为锐角三角形，若外心在三角形的边上，则三角形为直角三角形，∵若△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是 锐角三角形.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查三角形的外接圆圆心，根据若外心在三角形的外部，则三角形为钝角三角形，若外心在三角形的内部，则三角形为锐角三角形，若外心在三角形的边上，则三角形为直角三角形进行求解即可.
8．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
点A、点B关于原点O对称，
，
为斜边上的中线，
，
点P是上的任意一点，
当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，如图：
的半径为2，圆心M的坐标为，
的最大值，
的最大值为，
故选D．
【分析】连接，由对称性及直角三角形的性质可得，当OP取最大值时，AB值就最大，连接OM并延长交于点P'，此时OP'最大，求出此时OP'的长即可.
9．【答案】6或
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当5、12为直角边时，斜边=，
∵直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处，
∴三角形的外接圆半径=；
②当12为斜边时，
∵直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处，
∴三角形的外接圆半径==6.
故答案为：6或.
【分析】由题意分两种情况：①当5、12为直角边时，②当12为斜边时，根据直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处可求解.
10．【答案】△ABC，△ABD
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图：图中所有⊙O的内接三角形：△ABC、△ABD.
故答案为：△ABC，△ABD.
【分析】根据圆内解三角形的定义并结合图形可判断求解.
11．【答案】2.5cm
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图所示：连接交于点A和点B，点Q为上一动点，连接
当Q与A重合时，此时最小，即，
当Q与B重合时，此时最大，即，
∴，
∴的半径，
故答案为：.
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，能够判断圆外一点过圆心与圆交于两点，此时两点与P之间的距离为最大值和最小值是解题的关键．作图，根据圆外一点到圆上的距离，过圆心时与圆交于两点，此时有最大值和最小值，然后计算半径即可.
12．【答案】4（答案不唯一）
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解： 在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
∴，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
∴r的值可以是4.
故答案为： 4（答案不唯一） .
【分析】在△ABC中，根据勾股定理得AC的长，由点C在⊙A内且点B在⊙A外，根据点与圆的位置关系可得3＜r＜5，从而求解.
13．【答案】解：作AB的垂直平分线，以点A或点B为圆心，以a为半径作圆，交AB的垂直平分线于点O或O'，以O或O'为圆心，以a为半径作圆，
这样的圆有2个
【知识点】确定圆的条件
【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可求解.
14．【答案】解：如图所示：
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】 分别作BC和AC的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA长为半径即可作△ABC的外接圆；分别作AB和AC的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA长为半径即可作△ABC的外接圆.
15．【答案】解：如图，
∵，
∴，
由，
知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】先求出线段的和差求出BC的长，再利用时间、路程和速度的关系求出答案即可。
16．【答案】（1）0
（2）3
（3）1或4
（4）解：过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作4个圆，最少可以作0个圆．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作0个圆；
（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3圆；
（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4个圆；
【分析】 （1）由不在同一条直线上的三点可以作圆得知四点共线不可以作圆；
（2）由线上的任意两点和线外的一点可以构成一个圆可得出可以作3个圆；
（3） 如果4点不共圆，就是4个；如果4点共圆，就是1个；
（4）分三点共线和三点不共线两种情况讨论即可解答；
17．【答案】（1）解：如图所示，为所求，
；
（2）解：如图，连接，由（1）得直线为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，
∴且，
∴
∴，即，
∴三点共圆，点在上．
【知识点】点与圆的位置关系；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）先求出，可得，再结合，可得，即可得到三点共圆，点在上。
1 / 1【培优版】浙教版数学九上3.1圆 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·南山月考）下列四个命题中不正确的是（ ）
A．直径是弦
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角
D．半径相等的两个半圆是等弧
【答案】C
【知识点】圆的相关概念；三角形的外接圆与外心；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、经过圆心的弦是直径，故直径是弦，选项A不符合题意；
B、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，选项B不符合题意；
C、顶点在圆上，两边与圆还有一个交点的角是圆周角，选项C符合题意；
D.半径相等的两个半圆，可以完全重合，因此是等弧，选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据直径、弦的定义，三角形的外心，圆周角以及等弧的定义逐项进行判断即可.
2．（2024九上·东莞期末）已知⊙O的半径为10，若PO＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ ⊙O的半径为r=10，PO＝6，
∴PO＜r，
∴ 点P在⊙O内，
故答案为：A.
【分析】比较圆心到点的距离与圆的半径的大小，结合点与圆的位置关系即可判断.
3．（2024九上·石家庄期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：根据图形可知，直线DG是△ABC的BC边上的中垂线，点D在△ABC的AB边上的中垂线上，
∴点D是△ABC外心．
故答案为：A
【分析】根据三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是这个三角形的外心，结合图形判断即可求解。
4．（广东省广州市海珠区2023-2024学年九年级上学期数学期末试题）在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（ ）．
A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法确定
【答案】A
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 在中，，，，
∴，
又∵AC=5<，
∴ 点A在内
故答案为：A.
【分析】根据题意利用勾股定理即可求出BC边，根据点与圆的位置关系分析判断即可得出即可.即若圆的半径为r，任一点P与圆心O的距离记为d，当时，此时点P在圆上；当时，此时点P在圆内；当时，此时点P在圆外；
5．（2023九上·临洮月考）已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P（ ）
A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部
C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的内部
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程x2－2x＋d=0有实根 ，
∴△=（-2）2-4d≥0，
解得：d≤1，
∵ ⊙O的半径为1 ，
∴ 点P在⊙O上或⊙O的内部 .
故答案为：D.
【分析】根据方程有实数根，可得△≥0，据此可得d≤1=r，再根据点与圆的位置关系进行判断即可.
6．（2023九上·长沙期中）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（ ）
A．2 B．5 C．1 D．5或1
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设此圆的半径r，
当点P在圆外时，r=(6-4)=1，
当点P在圆内时，r=(6+4)=5，
∴此圆的半径为1或5.
故答案为：D.
【分析】由于点P的位置关系不确定，所以分两种情况：当点P在圆外时和当点P在圆内时，据此分别解答即可.
7．若△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：若外心在三角形的外部，则三角形为钝角三角形，若外心在三角形的内部，则三角形为锐角三角形，若外心在三角形的边上，则三角形为直角三角形，∵若△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是 锐角三角形.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查三角形的外接圆圆心，根据若外心在三角形的外部，则三角形为钝角三角形，若外心在三角形的内部，则三角形为锐角三角形，若外心在三角形的边上，则三角形为直角三角形进行求解即可.
8．（2023九上·淮南月考）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
点A、点B关于原点O对称，
，
为斜边上的中线，
，
点P是上的任意一点，
当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，如图：
的半径为2，圆心M的坐标为，
的最大值，
的最大值为，
故选D．
【分析】连接，由对称性及直角三角形的性质可得，当OP取最大值时，AB值就最大，连接OM并延长交于点P'，此时OP'最大，求出此时OP'的长即可.
二、填空题
9．一个直角三角形的两边长分别为5，12，则此三角形的外接圆半径是
【答案】6或
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当5、12为直角边时，斜边=，
∵直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处，
∴三角形的外接圆半径=；
②当12为斜边时，
∵直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处，
∴三角形的外接圆半径==6.
故答案为：6或.
【分析】由题意分两种情况：①当5、12为直角边时，②当12为斜边时，根据直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处可求解.
10．写出图中所有⊙O的内接三角形：
【答案】△ABC，△ABD
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图：图中所有⊙O的内接三角形：△ABC、△ABD.
故答案为：△ABC，△ABD.
【分析】根据圆内解三角形的定义并结合图形可判断求解.
11．（2023九上·绍兴月考）已知⊙O外有一动点P，⊙O上有一动点Q，线段PQ长的最小值为4cm，最大值为9cm，则⊙O的半径为 .
【答案】2.5cm
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图所示：连接交于点A和点B，点Q为上一动点，连接
当Q与A重合时，此时最小，即，
当Q与B重合时，此时最大，即，
∴，
∴的半径，
故答案为：.
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，能够判断圆外一点过圆心与圆交于两点，此时两点与P之间的距离为最大值和最小值是解题的关键．作图，根据圆外一点到圆上的距离，过圆心时与圆交于两点，此时有最大值和最小值，然后计算半径即可.
12．（2023九上·通榆月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 (写出一个即可)．
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】 解： 在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
∴，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
∴r的值可以是4.
故答案为： 4（答案不唯一） .
【分析】在△ABC中，根据勾股定理得AC的长，由点C在⊙A内且点B在⊙A外，根据点与圆的位置关系可得3＜r＜5，从而求解.
三、作图题
13．已知点A，B和线段a(如图)．求作⊙O，使⊙O过点A，B，且半径为a．这样的圆能作几个？
【答案】解：作AB的垂直平分线，以点A或点B为圆心，以a为半径作圆，交AB的垂直平分线于点O或O'，以O或O'为圆心，以a为半径作圆，
这样的圆有2个
【知识点】确定圆的条件
【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可求解.
14．用直尺和圆规作出如图三角形的外接圆．(只需作出图形，并保留作图痕迹，不必写作法)
【答案】解：如图所示：
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】 分别作BC和AC的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA长为半径即可作△ABC的外接圆；分别作AB和AC的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，OA长为半径即可作△ABC的外接圆.
四、解答题
15．（2022九上·广平期末）如图，某海域以点A为圆心、为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B、A两点之间的距离是，如果渔船始终保持的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
【答案】解：如图，
∵，
∴，
由，
知到之间，渔船是安全的；渔船进入危险区域
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】先求出线段的和差求出BC的长，再利用时间、路程和速度的关系求出答案即可。
五、实践探究题
16．平面内有A，B，C，D四个点，试探索：
（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作 个圆．
（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作 个圆．
（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作 个圆．
（4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？
【答案】（1）0
（2）3
（3）1或4
（4）解：过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作4个圆，最少可以作0个圆．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作0个圆；
（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3圆；
（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4个圆；
【分析】 （1）由不在同一条直线上的三点可以作圆得知四点共线不可以作圆；
（2）由线上的任意两点和线外的一点可以构成一个圆可得出可以作3个圆；
（3） 如果4点不共圆，就是4个；如果4点共圆，就是1个；
（4）分三点共线和三点不共线两种情况讨论即可解答；
六、综合题
17．（2023·南海模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的中，求证：点在上．
【答案】（1）解：如图所示，为所求，
；
（2）解：如图，连接，由（1）得直线为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，
∴且，
∴
∴，即，
∴三点共圆，点在上．
【知识点】点与圆的位置关系；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）先求出，可得，再结合，可得，即可得到三点共圆，点在上。
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