【基础版】浙教版数学九上3.3 垂径定理 同步练习
一、选择题
1．（2019九上·沙河口期末）如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（ ）
A．3cm B．3 cm C．4cm D．3 cm
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图所示，
由题意知 ，且 ，
，
，
则 .
故答案为： .
【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解.
2．（2024九上·浦北期末）如图，的半径为13，弦，于点，则的长为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，AB=24
∴AC=AB÷2=24÷2=12
又∵OA=13
∴OC=
故答案为：C.
【分析】首先由，根据垂径定理以及AB的长求出AC=AB÷2=12，然后再根据该圆的半径为13，根据勾股定理求出OC的长即可.
3．（2023九上·廊坊期中） 嘉嘉在半径为的中测量弦的长度，则下列测量结果中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【解答】∵圆的半径为5cm，
∴圆的直径为10cm，
∴圆的弦最大为10cm，
∴弦AB的长不可能是11cm，
故答案为：D.
【分析】先利用圆的半径求出圆的直径，再分析求解即可.
4．（2023九上·曾都月考）下列说法中，错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【解答】解：A．直径相等的两个圆是等圆，故选项A说法正确，不符合题意；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故选项B说法错误，符合题意；
C．圆中最长的弦是直径，故选项C说法正确，不符合题意；
D．一条直径弦圆分成两条弧，这两条弧是等弧，故选项D说法正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理，圆的基本概念，逐项判断即可．
5．（2023九上·杭州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E. 若BE=10，CD=8，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．4.2 C．5.8 D．6
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E ，
∴CE=CD=4，
在Rt△CEO中，由勾股定理得OE2+CE2=OC2，
即（10-x）2+42=x2，
解得x=5.8.
故答案为：C.
【分析】如图，连接OC，设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，根据垂径定理得CE=4，在Rt△CEO中，由勾股定理建立方程，求解可得x的值，从而即可得出答案.
6．如图所示，已知的半径为10，弦是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）.
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
∵AB=12，且OC⊥AB，
∴BC=AB=6，
在Rt△BCO中，∵OB=10，BC=6，
∴OC=8，
∵点M是AB上任意一点，
∴8≤OM≤10，
∴OM的长可能是9.
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理得BC=AB=6，根据勾股定理算出OC的长，进而即可求出OM的取值范围，从而逐项判断得出答案.
7．如图所示，已知在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，则这条圆弧所在圆的圆心是（ ）.
A．点P B．点Q C．点R D．点M
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵弦的垂直平分线必过圆心，
∴圆心一定在弦AB及弦BC的垂直平分线上，
∴观察可得经过A、B、C三点的圆的圆心在点Q处.
故答案为：B.
【分析】 由垂径定理的推论知弦的垂直平分线必过圆心，故任意两条弦的垂直平分线的交点就是该圆的圆心，从而利用方格纸的特点就会得出答案.
8．如图所示，的直径CD垂直弦AB于点，且，则AB的长是（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CE=2，DE=8，
∴CD=CE+DE=2+8=10，
∴CO=OB=5，
∴OE=OC-CE=5-2=3，
∵直径CD⊥AB，
∴AB=2BE，∠OEB=90°，
在Rt△OBE中，由勾股定理得，
∴AB=2BE=8.
故答案为：D.
【分析】易得CO=OB=5，OE=OC-CE=5-2=3，由垂径定理得AB=2BE，∠OEB=90°，在Rt△OBE中，由勾股定理算出BE，从而即可得出AB的长.
二、填空题
9．（2019九上·宜阳期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE= CD= ×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=DE= CD= ×6=3，在Rt△OCE中，利用勾股定理即可建立方程，求解即可。
10．（2024九上·昌平期末）如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA
∵在中，半径垂直弦于点D，
∴
∵OC=3
∴OA=OC=3
在Rt△AOD中，
∴CD=3-1=2
故答案为：2
【分析】连接OA ，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
11．（2023九上·拱墅月考）如图，PA交⊙O于点B，PB=4，AB=4，⊙O的半径为5，则OP的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA和OP，作OC⊥AP交AP于点C，如下图：
∵PA交⊙O于点B ，OC⊥AP；
∴AC=BC=2
∴OC=，CP=2+4=6；
∴OP=
故答案为：.
【分析】根据垂径定理，可得AC=BC=2；根据勾股定理，可得OC和OP的值.
12．（2019九上·钦州港期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC= .
【答案】4
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 为 的内接三角形， 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由垂径定理可得：AD=BD，AE=CE，所以DE是三角形ABC的中位线，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得BC=2DE可求解。
三、解答题
13．（2024九上·武胜期末）于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆孤对应的弦长，弓形高长求半径的长．
【答案】解：半径，则，
在中，，
，，
，
，即，
解得：，
答：半径的长为：．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】设半径，则，进而根据垂径定理结合勾股定理即可求解。
14．（2023九上·临洮月考） 往半径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，求水的最大深度．
【答案】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48，
∴BD＝AB＝×48＝24，
∵⊙O的直径为52，
∴OB＝OC＝26，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10，
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm）．
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】 连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 由垂径定理可得BD＝AB＝24， 在Rt△OBD中，由勾股定理求出OD＝10， 利用CD＝OC﹣OD即可求解.
15．（2024九上·杭州月考）如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF；根据等腰三角形的性质，可得AF=BF；根据等量关系，即可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理，列一元二次方程，解方程即可求出圆的半径.
1 / 1【基础版】浙教版数学九上3.3 垂径定理 同步练习
一、选择题
1．（2019九上·沙河口期末）如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（ ）
A．3cm B．3 cm C．4cm D．3 cm
2．（2024九上·浦北期末）如图，的半径为13，弦，于点，则的长为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．12
3．（2023九上·廊坊期中） 嘉嘉在半径为的中测量弦的长度，则下列测量结果中一定错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·曾都月考）下列说法中，错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
5．（2023九上·杭州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E. 若BE=10，CD=8，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．4.2 C．5.8 D．6
6．如图所示，已知的半径为10，弦是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）.
A．5 B．7 C．9 D．11
7．如图所示，已知在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，则这条圆弧所在圆的圆心是（ ）.
A．点P B．点Q C．点R D．点M
8．如图所示，的直径CD垂直弦AB于点，且，则AB的长是（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题
9．（2019九上·宜阳期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为 ．
10．（2024九上·昌平期末）如图，在中，半径垂直弦于点D，若，，则的长为 ．
11．（2023九上·拱墅月考）如图，PA交⊙O于点B，PB=4，AB=4，⊙O的半径为5，则OP的长为 ．
12．（2019九上·钦州港期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC= .
三、解答题
13．（2024九上·武胜期末）于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆孤对应的弦长，弓形高长求半径的长．
14．（2023九上·临洮月考） 往半径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，求水的最大深度．
15．（2024九上·杭州月考）如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图所示，
由题意知 ，且 ，
，
，
则 .
故答案为： .
【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，AB=24
∴AC=AB÷2=24÷2=12
又∵OA=13
∴OC=
故答案为：C.
【分析】首先由，根据垂径定理以及AB的长求出AC=AB÷2=12，然后再根据该圆的半径为13，根据勾股定理求出OC的长即可.
3．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【解答】∵圆的半径为5cm，
∴圆的直径为10cm，
∴圆的弦最大为10cm，
∴弦AB的长不可能是11cm，
故答案为：D.
【分析】先利用圆的半径求出圆的直径，再分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【解答】解：A．直径相等的两个圆是等圆，故选项A说法正确，不符合题意；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故选项B说法错误，符合题意；
C．圆中最长的弦是直径，故选项C说法正确，不符合题意；
D．一条直径弦圆分成两条弧，这两条弧是等弧，故选项D说法正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据垂径定理，圆的基本概念，逐项判断即可．
5．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E ，
∴CE=CD=4，
在Rt△CEO中，由勾股定理得OE2+CE2=OC2，
即（10-x）2+42=x2，
解得x=5.8.
故答案为：C.
【分析】如图，连接OC，设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，根据垂径定理得CE=4，在Rt△CEO中，由勾股定理建立方程，求解可得x的值，从而即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
∵AB=12，且OC⊥AB，
∴BC=AB=6，
在Rt△BCO中，∵OB=10，BC=6，
∴OC=8，
∵点M是AB上任意一点，
∴8≤OM≤10，
∴OM的长可能是9.
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理得BC=AB=6，根据勾股定理算出OC的长，进而即可求出OM的取值范围，从而逐项判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵弦的垂直平分线必过圆心，
∴圆心一定在弦AB及弦BC的垂直平分线上，
∴观察可得经过A、B、C三点的圆的圆心在点Q处.
故答案为：B.
【分析】 由垂径定理的推论知弦的垂直平分线必过圆心，故任意两条弦的垂直平分线的交点就是该圆的圆心，从而利用方格纸的特点就会得出答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CE=2，DE=8，
∴CD=CE+DE=2+8=10，
∴CO=OB=5，
∴OE=OC-CE=5-2=3，
∵直径CD⊥AB，
∴AB=2BE，∠OEB=90°，
在Rt△OBE中，由勾股定理得，
∴AB=2BE=8.
故答案为：D.
【分析】易得CO=OB=5，OE=OC-CE=5-2=3，由垂径定理得AB=2BE，∠OEB=90°，在Rt△OBE中，由勾股定理算出BE，从而即可得出AB的长.
9．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE= CD= ×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=DE= CD= ×6=3，在Rt△OCE中，利用勾股定理即可建立方程，求解即可。
10．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA
∵在中，半径垂直弦于点D，
∴
∵OC=3
∴OA=OC=3
在Rt△AOD中，
∴CD=3-1=2
故答案为：2
【分析】连接OA ，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA和OP，作OC⊥AP交AP于点C，如下图：
∵PA交⊙O于点B ，OC⊥AP；
∴AC=BC=2
∴OC=，CP=2+4=6；
∴OP=
故答案为：.
【分析】根据垂径定理，可得AC=BC=2；根据勾股定理，可得OC和OP的值.
12．【答案】4
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 为 的内接三角形， 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由垂径定理可得：AD=BD，AE=CE，所以DE是三角形ABC的中位线，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得BC=2DE可求解。
13．【答案】解：半径，则，
在中，，
，，
，
，即，
解得：，
答：半径的长为：．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】设半径，则，进而根据垂径定理结合勾股定理即可求解。
14．【答案】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48，
∴BD＝AB＝×48＝24，
∵⊙O的直径为52，
∴OB＝OC＝26，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10，
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm）．
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】 连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 由垂径定理可得BD＝AB＝24， 在Rt△OBD中，由勾股定理求出OD＝10， 利用CD＝OC﹣OD即可求解.
15．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF；根据等腰三角形的性质，可得AF=BF；根据等量关系，即可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理，列一元二次方程，解方程即可求出圆的半径.
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