【基础版】浙教版数学九上3.4 圆心角 同步练习
一、选择题
1．下列命题中不正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
C．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，正确，故不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 正确，故不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等， 正确，故不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系进行判断即可.
2．如图，∠AOB=2∠COD，则下列结论中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定与的大小关系
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ∠AOB=2∠COD，
∴ .
故答案为：B.
【分析】根据圆心角与弧的关系即可求得.
3．（2023九上·铜陵期中）如图、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠OAB=72°，∴∠AOB=36°
又∵B为劣弧AC的中点，∴∠AOC=72°
故答案为：C
【分析】根据半径相等得到三角形ABO为等腰三角形，进而可求∠AOB，再根据B是劣弧AC中点，可求∠AOC的度数。
4．如图，圆心角∠AOB=25°．将∠AOB绕点O旋转n°得到∠COD，则的度数为（ ）．
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：∵圆心角∠AOB=25°，将∠AOB绕点O旋转n°得到∠COD，
∴∠COD=∠AOD-∠DOB=25°+n°-n°=25°.
∴的度数为25°.
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质，结合∠AOB，求出∠COD，即可求得的度数.
5．（2024九下·温州开学考）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，
∵是劣弧的中点，
∴，
∴∠DOA=∠FOA，
∵∠EOD=32°，
∵OD=OA，
∴∠CDA=53°．
故答案为：C.
【分析】先说明，再根据等弧所对的圆心角相等得∠DOA=∠FOA，根据∠EOD=32°，求出∠DOA，根据“在同一个三角形同，等边对等角”求出∠CDA.
6．（2024·雁塔模拟） 下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，①错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，②正确；
③同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弦相等，③错误；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，④正确.
故答案为：B
【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，圆心角与弧、弦的关系，以及三角形外接圆圆心即可判定结论.
7．（2017·青山模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，∵ = = ，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
【分析】由 = = ，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
8．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图所示，是的直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据弧与圆心角的关系求解．由求得，再求得的度数；然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
二、填空题
9．（2024九上·惠州期中）已知的直径为10，AB是的弦，，那么在中弦AB所对的圆心角度数为 .
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵的直径为10，AB是的弦， ，
∴OA=AB=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
即弦AB所对的圆心角度数为60°.
故答案为：60°.
【分析】连接OA，OB，可证△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，继而得解.
10．（2021九上·孝义期中）如图，在⊙O中， ，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝ cm．
【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴OC⊥AB，
∴AD＝DB＝ AB＝4（cm），
∴ （cm），
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
【分析】先求出OC⊥AB，再求出AD=DB=4cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
11．（2020九上·嘉兴期中）如图，在⊙O中， ，则线段AB 2AC(填“>”“<”或“＝”).
【答案】<
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接BC
∵，
∴，
∴BC=AC
∵BC+AC＞AB，
∴AB＜2AC.
故答案为：＜.
【分析】连接BC，利用已知条件可证得，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理，可得到BC=AC，再利用三角形的三边关系定理，可得到AB＜2AC。
12．如图，AB，CD是⊙O的直径．若∠AOC=70°，则的度数是 ，的度数是 ，的度数是 .
【答案】70°；70°；110°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在⊙O中，若∠AOC=70°，则的度数是70°，
∵∠BOD=∠AOC=70°，
∴的度数是70°，∠AOD=180°-∠BOD=110°，
∴的度数是110°，
故答案为：70°，70°，110°.
【分析】在圆中，1°的弧所对的圆心角为1°，据此求解即可.
三、解答题
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.5 圆周角（2） 同步练习）如图，在⊙O中， ，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
【答案】证明：∵ ，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弧所对的先相等得出AB=AC，又∠ACB=60°，根据含有60°角的等腰三角形是等边三角形得出：△ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=BC=CA，根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等得出∠AOB=∠BOC=∠COA。
14．如图，
AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为70° ，求的度数．
【答案】解：如图，连结 OE．
∵的度数为70° ，∴∠COE=70°．
∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OEC=(180°-70°)÷2= 55°．
∵ CE∥AB，
∴∠BOE= ∠OEC=55°，
∴∠AOD=∠COB=∠COE+∠BOE= 125°，
∴的度数为125°．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结 OE．由的度数为70° 可得∠COE=70°，利用等腰三角形的性质可求∠OEC= 55°，由CE∥AB可得∠BOE= ∠OEC=55°，利用角的和差及对顶角相等求出∠AOD的度数，继而得解.
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一、选择题
1．下列命题中不正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
C．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
2．如图，∠AOB=2∠COD，则下列结论中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定与的大小关系
3．（2023九上·铜陵期中）如图、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，圆心角∠AOB=25°．将∠AOB绕点O旋转n°得到∠COD，则的度数为（ ）．
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
5．（2024九下·温州开学考）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·雁塔模拟） 下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2017·青山模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
8．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图所示，是的直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·惠州期中）已知的直径为10，AB是的弦，，那么在中弦AB所对的圆心角度数为 .
10．（2021九上·孝义期中）如图，在⊙O中， ，半径OC与AB交于点D，若AB＝8cm，OB＝5cm，则CD＝ cm．
11．（2020九上·嘉兴期中）如图，在⊙O中， ，则线段AB 2AC(填“>”“<”或“＝”).
12．如图，AB，CD是⊙O的直径．若∠AOC=70°，则的度数是 ，的度数是 ，的度数是 .
三、解答题
13．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.5 圆周角（2） 同步练习）如图，在⊙O中， ，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
14．如图，
AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，的度数为70° ，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，正确，故不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 正确，故不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等， 正确，故不符合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ∠AOB=2∠COD，
∴ .
故答案为：B.
【分析】根据圆心角与弧的关系即可求得.
3．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠OAB=72°，∴∠AOB=36°
又∵B为劣弧AC的中点，∴∠AOC=72°
故答案为：C
【分析】根据半径相等得到三角形ABO为等腰三角形，进而可求∠AOB，再根据B是劣弧AC中点，可求∠AOC的度数。
4．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：∵圆心角∠AOB=25°，将∠AOB绕点O旋转n°得到∠COD，
∴∠COD=∠AOD-∠DOB=25°+n°-n°=25°.
∴的度数为25°.
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质，结合∠AOB，求出∠COD，即可求得的度数.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，
∵是劣弧的中点，
∴，
∴∠DOA=∠FOA，
∵∠EOD=32°，
∵OD=OA，
∴∠CDA=53°．
故答案为：C.
【分析】先说明，再根据等弧所对的圆心角相等得∠DOA=∠FOA，根据∠EOD=32°，求出∠DOA，根据“在同一个三角形同，等边对等角”求出∠CDA.
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，①错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，②正确；
③同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弦相等，③错误；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，④正确.
故答案为：B
【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，圆心角与弧、弦的关系，以及三角形外接圆圆心即可判定结论.
7．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，∵ = = ，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
【分析】由 = = ，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据弧与圆心角的关系求解．由求得，再求得的度数；然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
9．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵的直径为10，AB是的弦， ，
∴OA=AB=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
即弦AB所对的圆心角度数为60°.
故答案为：60°.
【分析】连接OA，OB，可证△OAB为等边三角形，可得∠AOB=60°，继而得解.
10．【答案】2
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴OC⊥AB，
∴AD＝DB＝ AB＝4（cm），
∴ （cm），
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
【分析】先求出OC⊥AB，再求出AD=DB=4cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
11．【答案】<
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接BC
∵，
∴，
∴BC=AC
∵BC+AC＞AB，
∴AB＜2AC.
故答案为：＜.
【分析】连接BC，利用已知条件可证得，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理，可得到BC=AC，再利用三角形的三边关系定理，可得到AB＜2AC。
12．【答案】70°；70°；110°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在⊙O中，若∠AOC=70°，则的度数是70°，
∵∠BOD=∠AOC=70°，
∴的度数是70°，∠AOD=180°-∠BOD=110°，
∴的度数是110°，
故答案为：70°，70°，110°.
【分析】在圆中，1°的弧所对的圆心角为1°，据此求解即可.
13．【答案】证明：∵ ，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弧所对的先相等得出AB=AC，又∠ACB=60°，根据含有60°角的等腰三角形是等边三角形得出：△ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=BC=CA，根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等得出∠AOB=∠BOC=∠COA。
14．【答案】解：如图，连结 OE．
∵的度数为70° ，∴∠COE=70°．
∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OEC=(180°-70°)÷2= 55°．
∵ CE∥AB，
∴∠BOE= ∠OEC=55°，
∴∠AOD=∠COB=∠COE+∠BOE= 125°，
∴的度数为125°．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结 OE．由的度数为70° 可得∠COE=70°，利用等腰三角形的性质可求∠OEC= 55°，由CE∥AB可得∠BOE= ∠OEC=55°，利用角的和差及对顶角相等求出∠AOD的度数，继而得解.
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